1、微课三微课三含有含有 ex与与 ln x 的组合函数或不等式问题的组合函数或不等式问题 题型一分离 ex和 ln x 【例 1】已知函数 f(x)ex2xln x.证明：当 x0 时，f(x)xex1 e. 证明要证 f(x)xex1 e， 只需证 exln xex 1 ex，即 exe x0)，则 h(x) ex1 ex2 ， 易知 h(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e，上单调递增，则 h(x)minh 1 e 0， 所以 ln x 1 ex0. 再令(x)exex，则(x)eex， 易知(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 则(x)max(1)0，所以 exex0
2、. 因为 h(x)与(x)不同时为 0， 所以 exexexe x(x0)(分离 ln x 与 ex)，便于探求构造的函数 h(x)ln x 1 ex和(x)exe x的单调性，分别求出 h(x)的最小值与(x)的最大值，借助“中间媒介”证明不等式. 【 训 练 1 】 已 知 函 数 f(x) 1ln x x ， 证 明 ： 当 x1 时 ， 不 等 式 f（x） e1 2ex 1 （x1） （xex1）成立. 证明将不等式 f（x） e1 2ex 1 （x1） （xex1） 变形为 1 e1 （x1） （ln x1） x 2ex 1 xex1， 分别构建函数 g(x)（x1） （ln x1
3、） x 和函数 h(x) 2ex 1 xex1. 则 g(x)xln x x2 ，令(x)xln x， 则(x)11 x x1 x . 因为 x1，所以(x)0，所以(x)在(1，)上是增函数，所以(x)(1)10， 所以 g(x)0，所以 g(x)在(1，)上是增函数，所以 x1 时，g(x)g(1)2，故 g（x） e1 2 e1. h(x)2e x1（1ex） （xex1）2 ，因为 x1，所以 1ex0，所以 h(x)1 时，h(x)h(x)， 即f（x） e1 2ex 1 （x1） （xex1）. 题型二借助 exx1 和 ln xx1(x0)进行放缩 【例 2】已知函数 f(x)x
4、1aln x. (1)若 f(x)0，求 a 的值； (2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n， 11 2 1 1 22 1 1 2nm，求 m 的最 小值. 解(1)f(x)的定义域为(0，)， 若 a0，因为 f 1 2 1 2aln 20，由 f(x)1a x xa x 知， 当 x(0，a)时，f(x)0； 所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增， 故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1. (2)由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0， 即 ln xx1. 令 x1 1 2n，得 ln 1
5、1 2n 1 2n. 从而 ln 11 2 ln 1 1 22ln 1 1 2n1 2 1 22 1 2n1 1 2n1. 故 11 2 1 1 22 1 1 2n2， 从而 m 的最小正整数是 m3. 感悟升华1.第(1)问可借助 yx1 与 yaln x 图像的位置关系，利用导数的几 何意义求解，请读者完成. 2.第(2)问利用教材习题结论 x1ln x(x0，且 x1)进行放缩，优化了解题过程. 若利用 ex替换 x，可进一步得到不等式 exx1(当 x0 时取等号). 【训练 2】已知函数 f(x)exa. (1)若函数 f(x)的图像与直线 l：yx1 相切，求 a 的值； (2)若
6、 f(x)ln x0 恒成立，求整数 a 的最大值. 解(1)f(x)ex，因为函数 f(x)的图像与直线 yx1 相切，所以令 f(x)1，即 ex1，得 x0， 切点坐标为(0，1)，则 f(0)1a1，a2. (2)先证明 exx1，设 F(x)exx1， 则 F(x)ex1，令 F(x)0，则 x0， 当 x(0，)时，F(x)0；当 x(，0)时，F(x)ln x. 当 a2 时，ln x0 恒成立. 当 a3 时，存在 x，使 exaln x 不恒成立. 综上，整数 a 的最大值为 2. 1.(2021重庆调研)函数 f(x)ex 11 2ax 2(a1)xa2在(， )上单调递增
7、， 则实数 a 的取值范围是() A.1B.1，1 C.0，1D.1，0 答案A 解析f(x)ex 1ax(a1)0 恒成立， 即 ex 1ax(a1)恒成立， 由于：exx1，即 ex 1x， 只需要 xax(a1)，即(a1)(x1)0 恒成立， 所以 a1. 2.已知函数 f(x)axln x1，对任意的 x0，f(x)xe2x恒成立，求实数 a 的取值 范围. 解由 f(x)axln x1，所以对任意的 x0，f(x)xe2x恒成立，等价于 ae2x ln x1 x 在(0，)上恒成立， 先证明 exx1，当且仅当 x0 时取等号(证明略). 所以当 x0 时，有 xe2xeln xe
8、2xeln x 2xln x2x1， 所以 e2xln x x 21 x，即 e 2xln x1 x 2，当且仅当 ln x2x0 时取等号， 所以实数 a 的取值范围为(，2. 3.已知 f(x)ex，g(x)x1(e 为自然对数的底数). (1)求证：f(x)g(x)恒成立； (2)设 m 是正整数，对任意正整数 n， 11 3 1 1 32 1 1 3nm，求 m 的最小 值. (1)证明令 h(x)f(x)g(x)exx1，则 h(x)ex1， 当 x(，0)时，h(x)0，当 x(0，)时，h(x)0， 故 h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增， 所以 h(x)minh
9、(0)0，即 h(x)0 恒成立， 所以 f(x)g(x)恒成立. (2)解由(1)可知 01 1 3ne 1 3n，由不等式的性质得 11 3 1 1 32 1 1 33 1 1 3ne 1 3e 1 32e 1 33e 1 3n e 1 3 1 32 1 33 1 3n e 1 3 1 1 3 n 11 3 e 1 2 1 1 3 n e 1 2 e2. 所以 m 的最小值为 2(mN*). 4.已知函数 f(x)ln xa x，证明：当 a 2 e时，f(x)e x0. 证明要证当 a2 e时，ln x a xe x0， 即证 ln xa xe x， x0，即证 xln xaxe x，
10、即证(xln xa)min(xe x)max. 令 h(x)xln xa，则 h(x)ln x1. 当 0 x1 e时，f(x) 1 e时，f(x)0. 函数 h(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e，上单调递增， h(x)minh 1 e 1 ea， 故当 a2 e时，h(x) 1 ea 1 e. 令(x)xe x，则(x)exxexex(1x). 当 0 x0；当 x1 时，(x)0 时，(x)1 e. 显然，不等式中的等号不能同时成立， 故当 a2 e时，ln x a xe x0. 5.(2021武汉质检)已知函数 f(x)aln(x1) 2 x1，其中 a 为正实数. (1)求
11、f(x)的单调区间； (2)证明：当 x2 时，f(x)0， 得 x1， 所以 f(x)的定义域为(1， )， f(x) a x1 2 （x1）2 a（x1）2 （x1）2 ax（a2） （x1）2 . 由 f(x)0，得 xa2 a ，所以当 1x12 a时，f(x)1 2 a时，f(x)0，所 以 f(x)的单调递减区间为 1，12 a ，单调递增区间为 12 a，. (2)证明令 g(x)ln xx1，则 g(x)1 x1. 所以当 0 x0； 当 x1 时，g(x)2 时，有 ln(x1)0， 所以要证 f(x)ex(a1)x2a， 只需证 a(x2) 2 x10 对任意 x2 恒成立
12、. 令 h(x)exx 2 x1，x2， 则 h(x)ex1 2 （x1）2， 因为 x2，所以 h(x)0 恒成立， 所以 h(x)在(2，)上单调递增， 所以 h(x)h(2)e240， 所以当 x2 时，f(x)ln(n1)都成立. (1)解因为 f(x) 1 xa2x1， 又因为 x0 为 f(x)的极值点. 所以 f(0)1 a10，所以 a1. (2)证明由(1)知 f(x)ln(x1)x2x. 因为 f(x) 1 x12x1 x（2x3） x1 (x1). 令 f(x)0 得1x0. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表. x(1，0)0(0，) f(x)0 f(x)极大值 所以 f(x)f(0)0，即 ln(x1)x2x(当且仅当 x0 时取等号). 令 x1 n，则 ln 1 n1 1 n 2 1 n， 即 lnn1 n n1 n2 ，所以 ln 2 1ln 3 2ln n1 n ln(n1).
