1、第第 5 节节指数与指数函数指数与指数函数 知识梳理 1.根式的概念及性质 (1)概念：na称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数. (2)性质：(na)na；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|. 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 am n nam(a0，m，nN*，且 n1)；正数 的负分数指数幂的意义是 am n 1 n am (a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指 数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：asatas t，(as)tas_t，(ab)sasbs，其中 a0，b0，s， tR
2、. 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数 yax称为指数函数，其中 a 是常数，a0 且 a1. (2)指数函数的图像与性质 a10a0 过定点过定点(0，1)，即 x0 时，y1 函数值 的变化 当 x0 时，y1；当 x0 时，0y0 时，0y1； 当 x1 单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数 对称性 yax与 y 1 a x 的图像关于 y 轴对称 1.画指数函数 yax(a0，且 a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， 1，1 a . 2.指数函数 yax(a0，且 a1)的图像和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a0，且 a1)的
3、图像越高，底数越大. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1) 4 （4）44.() (2)分数指数幂 a m n可以理解为 m n 个 a 相乘.() (3)函数 y2x 1 是指数函数.() (4)函数 yax2 1(a1)的值域是(0，).( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)由于 4 （4）4 4 444，故(1)错误. (2)当m n 0，且 a1)的图像经过 2，1 3 ，则 f(1)() A.1B.2C. 3D.3 答案C 解析依题意可知 a21 3，解得 a 3 3 ， 所以 f(x) 3 3 x ，所以 f(1) 3 3 1 3. 3.(多选题
4、)下列函数中在区间(0，1)内单调递减的是() A.yx 1 2B.y21x C.yln(x1)D.y|1x| 答案BD 解析A 项，yx 1 2在(0，1)内单调递增， B 项，y21 x2 1 2 x ，在(0，1)内单调递减， C 项，yln(x1)在(0，1)内单调递增， D 项，y|1x| x1，x1， x1，x1， 故在(0，1)上单调递减. 4.(2021日照检测)函数 f(x)1e|x|的图像大致是() 答案A 解析易知 f(x)为偶函数，且 f(x)1e|x|0，A 正确. 5.(2021合肥冲刺)若 0ba1，则 ab，ba，aa，bb中最大的是() A.abB.baC.a
5、aD.bb 答案A 解析0baaa，babb，即 ab，ba，aa，bb中最大的是 ab. 6.(2021重庆月考)计算： 3 2 1 37 6 0 8 1 4 4 2 2 3 2 3_. 答案2 解析原式 2 3 1 312 3 42 1 4 2 3 1 32. 考点一指数幂的运算 1.(0.064 1 5)2.5 2 3 3 33 8 0_. 答案0 解析原式 64 1 000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 31 4 10 3 1 5 5 2 2 3 3 2 31 31 5 2 3 210. 2.已知 f(x)2x2 x，若 f(a)3，则 f(2a)_. 答案7 解析f(a)2a
6、2 a3. f(2a)22a2 2a(2a2a)223227. 3.(2021沧州联考) 1 4 1 2 （4ab 1）3 （0.1） 1（a3b3） 1 2 (a0，b0)_. 答案 8 5 解析原式 24 3 2a 3 2b 3 2 10a 3 2b 3 2 8 5. 4.已知常数 a0，函数 f(x) 2x 2xax的图像经过点 P p，6 5 ，Q q，1 5 .若 2p q 36pq，则 a_. 答案6 解析因为 f(x) 2x 2xax 1 1ax 2x ，且其图像经过点 P，Q， 则 f(p) 1 1ap 2p 6 5，即 ap 2p 1 6， f(q) 1 1aq 2q 1 5
7、，即 aq 2q6， 得a 2pq 2p q1，则 2 pqa2pq36pq， 所以 a236，解得 a6，因为 a0，所以 a6. 感悟升华1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后 顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考点二指数函数的图像及应用 【例 1】 (1)(多选题)(2021济南调研)已知实数 a，b 满足等式 2 020a2 021b，则 下列关系式成立的是() A.0baB.ab0 C.0
8、abD.ab (2)已知函数 f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 () A.a0，b0，c0B.a0 C.2 a2c D.2a2c2 答案(1)ABD(2)D 解析(1)如图，观察易知 a，b 的关系为 ab0 或 0ba 或 ab0. (2)作出函数 f(x)|2x1|的图像，如图， abf(c)f(b)， 结合图像知， 0f(a)1，a0， 02a1. f(a)|2a1|12a， f(c)1，0c1. 12cf(c)， 12a2c1， 2a2c0，且 a1)的图像可能是( ) (2)如果函数 y|3x1|m 的图像不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是
9、_. 答案(1)D(2)(，1 解析(1)当 a1 时，yax1 a为增函数，且在 y 轴上的截距为 01 1 a1，此时 四个选项均不对；当 0a1个单位长度得到，选项 D 适合. (2)在同一平面直角坐标系中画出y|3x1|与ym的图像， 如图所示.由函数 y|3x1|m 的图像不经过第二象限， 则 y |3x1|与 ym 在第二象限没有交点，由图像知m1， 即 m1. 考点三解决与指数函数性质有关的问题 角度 1比较指数式的大小 【例 2】 (1)(2020天津卷)设 a30.7，b 1 3 0.8 ，clog0.70.8，则 a，b，c 的大 小关系为() A.abcB.bac C.b
10、caD.cab (2)已知 f(x)2x2 x，a 7 9 1 4，b 9 7 1 5，则 f(a)，f(b)的大小关系是_. 答案(1)D(2)f(a)f(b) 解析(1)因为 a30.7301，b 1 3 0.8 30.830.7， clog0.70.8log0.70.71，所以 bac.故选 D. (2)a 7 9 1 4 9 7 1 4 9 7 1 5b0， 又函数 f(x)2x2 x 在 R 上为增函数， f(a)f(b). 角度 2解简单的指数方程或不等式 【例 3】 (1)已知实数 a1，函数 f(x) 4x，x0， 2a x，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的 值为_.
11、 (2)设函数 f(x) 1 2 x 7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_. 答案(1)1 2 (2)(3，1) 解析(1)当 a1 时，2a (1a)4a1 无解，故 a 的值为1 2. (2)当 a0 时，原不等式化为 1 2 a 71， 则 2 a3，所以3a0. 当 a0 时，则 a1，0a1. 综上，实数 a 的取值范围是(3，1). 角度 3指数函数性质的综合应用 【例 4】 (1)函数 y 1 4 x 1 2 x 1 在区间3，2上的值域是_. (2)已知定义域为 R 的函数 f(x)1 2 1 2x1，则关于 t 的不等式 f(t 22t)f(2t
12、2 1)0 的解集为_. 答案(1) 3 4，57(2) ，1 3 (1，) 解析(1)因为 x3，2，所以若令 t 1 2 x ， 则 t 1 4，8， 故 yt2t1 t1 2 2 3 4. 当 t1 2时，y min3 4； 当 t8 时，ymax57. 故所求函数值域为 3 4，57. (2)由题意知 f(x)是奇函数，且在 R 上为减函数， 则 f(t22t)f(2t21)0， 即 f(t22t)12t2，解得 t1 或 t1 3. 感悟升华1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂， 再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
13、. 2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函 数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性 质分析判断. 易错警示在研究指数型函数的单调性时， 当底数 a 与“1”的大小关系不确定时， 要分类讨论. 【训练 2】 (1)(2021郑州调研)已知函数 f(x)4 x1 2x ，af(20.3)，bf(0.20.3)，c f(log0.32)，则 a，b，c 的大小关系为() A.cbaB.bac C.bcaD.ca1，00.20.31，log0.32f(0.20.3)f(lo
14、g0.32)，则 abc. (2)y 1 3 t 是减函数，且 f(x)的值域是 0，1 9 ， tax22x3 有最小值 2， 则 a0 且12a2 2 4a 2，解之得 a1， 因此 tx22x3 的单调递减区间是(，1， 故 f(x)的单调递增区间是(，1. A 级基础巩固 一、选择题 1.下列函数中，与函数 y2x2 x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是() A.ysin xB.yx3 C.y 1 2 x D.ylog2x 答案B 解析y2x2 x 是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数.ysin x 不是单调 递增函数，不符合题意； y 1 2 x 是非奇非偶函数，不符合题意；
15、 ylog2x 的定义域是(0，)，不符合题意； yx3是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 2.(2020武汉检测)不论 a 为何值，函数 y(a1)2xa 2恒过定点，则这个定点的 坐标是() A. 1，1 2B. 1，1 2 C. 1，1 2D. 1，1 2 答案C 解析y(a1)2xa 2变为 2x1 2 a(2xy)0， 依题意，对 aR， 2x1 2 a(2xy)0 恒成立， 则 2x1 20，且 2 xy0， x1 且 y1 2，即恒过定点 1，1 2 . 3.(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则() A.abcB.acb C
16、.cabD.bca 答案B 解析由对数函数的单调性可得 alog20.2201，0c0.20.30.201，所以 acb.故选 B. 4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预 测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 yf(x)的图像大致为() 答案D 解析设原有荒漠化土地面积为 b，经过 x 年后荒漠化面积为 z，则 zb(1 10.4%)x，故 yz b(110.4%) x，其是底数大于 1 的指数函数.其图像应为 D. 5.(多选题)(2021济南一模)若 a，b，cR，且 1 2 a 1 2 b ，则下列不等式中一定成 立的是() A.acb
17、cB.(ab)c20 C.1 a 1 b D.a3b3 答案BD 解析 1 2 a 1 2 b ，ab. 对于 A，若 c0，则不等式不成立； 对于 B，c20，不等式成立； 对于 C，若 a0，b0，则不等式不成立； 对于 D，a3b3(ab)(a2abb2)(ab) ab 2 2 3b 2 4 0，不等式成 立(或利用幂函数的性质易得成立).故选 BD. 6.(2021衡水检测)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0 恒成立，则实 数 m 的取值范围是() A.(2，1)B.(4，3) C.(3，4)D.(1，2) 答案D 解析原不等式变形为 m2m 1 2 x ， 因为函数 y 1
18、2 x 在(，1上是减函数， 所以 1 2 x 1 2 1 2， 当 x(，1时，m2m 1 2 x 恒成立等价于 m2m2，解得1m0，b0，则 a3b2 3 ab2 （a 1 4b 1 2） 4a1 3b 1 3 _. 答案 a b 解析原式 （a3b2a 1 3b 2 3） 1 2 ab2a 1 3b 1 3 a 3 2 1 6 11 3b 11 3 21 3 a b. 8.设偶函数 g(x)a|x b|在(0，)上单调递增，则 g(a)与 g(b1)的大小关系是 _. 答案g(a)g(b1) 解析由于 g(x)a|x b|是偶函数，知 b0， 又 g(x)a|x|在(0，)上单调递增，
19、得 a1. 则 g(b1)g(1)g(1)，故 g(a)g(1)g(b1). 9.已知函数 f(x) 2x 1a2x的图像关于点 0，1 2 对称，则 a_，f(x)的值域 为_. 答案1(0，1) 解析依题设 f(x)f(x)1， 则 2x 1a2x 2 x 1a2 x1， 整理得(a1)4x(a1)2x10. 所以 a10，则 a1. 因此 f(x) 2x 12x1 1 12x. 由于 12x1，0 1 12x1，0f(x)1. 故 f(x)的值域为(0，1). 三、解答题 10.已知函数 f(x)3 xa 3x1为奇函数. (1)求 a 的值； (2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证
20、明. 解(1)因为函数 f(x)是奇函数，且 f(x)的定义域为 R；所以 f(0)1a 110，所以 a1(经检验，a1 时 f(x)为奇函数，满足题意). (2)由(1)知 f(x)3 x1 3x11 2 3x1，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.证明如下： 设 x1，x2R，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 2（3x13x2） （3x11） （3x21）. 因为 x1x2，所以 3x13x2，所以 3x13x20， 所以 f(x1)0，a1)的图像经过点 A(1，6)， B(3，24). (1)求 f(x)的表达式； (2)若不等式 1 a x 1 b x m0 在 x(，
21、1上恒成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)因为 f(x)的图像过 A(1，6)，B(3，24)， 所以 ba6， ba324. 所以 a24，又 a0，所以 a2，b3. 所以 f(x)32x. (2)由(1)知 a2，b3，则当 x(，1时， 1 2 x 1 3 x m0 恒成立，即 m 1 2 x 1 3 x 在 x(，1上恒成立. 又因为 y 1 2 x 与 y 1 3 x 均为减函数，所以 y 1 2 x 1 3 x 也是减函数，所以当 x 1 时，y 1 2 x 1 3 x 有最小值5 6. 则 m5 6，故 m 的取值范围是 ，5 6 . B 级能力提升 12.(多选题)(20
22、20青岛模拟)关于函数 f(x) 1 4x2的性质，下列说法中正确的是 () A.函数 f(x)的定义域为 R B.函数 f(x)的值域为(0，) C.方程 f(x)x 有且只有一个实根 D.函数 f(x)的图像是中心对称图形 答案ACD 解析函数 f(x) 1 4x2的定义域为 R，所以 A 正确； 因为 y4x在定义域内单调递增，所以函数 f(x) 1 4x2在定义域内单调递减，所 以函数的值域为 0，1 2 ，所以方程 f(x)x 只有一个实根，所以 B 不正确，C 正 确； 因为 f(x1)f(x) 1 4x 12 1 4 x2 1 44x2 4x 24x1 1 2， f(x)关于 1
23、 2， 1 4 对称，所以 D 正确. 13.(多选题)(2021武汉质量评估)若实数 a，b 满足 2a3a3b2b，则下列关系 式中可能成立的是() A.0ab1B.ba0 C.1abD.ab 答案ABD 解析设 f(x)2x3x，g(x)3x2x，f(x)和 g(x)在(，)上均为增函数， 且 f(0)g(0)，f(1)g(1). x(，0)时，f(x)g(x)； x(0，1)时，f(x)g(x)； x(1，)时，f(x)g(x). 由函数 f(x)与 g(x)的图像可知，若 f(a)2a3a3b2bg(b)，则 ba0 或 0 ab1 或 ab1 或 ab，故选 ABD. 14.(20
24、21重庆检测)设 f(x) ex，x0， 21 ex，x0. (1)判断函数 f(x)的单调性，求出函数图像的对称中心； (2)当 x0 时，f(x)是增函数， x0 时，f(x)e x0，故 f(x)在(，0上是增函数， 又f(0)1，f(x)在 R 上是增函数. f(x) 2ex，x0， e x，x0， 当 x0 时，f(x)f(x)2exex2； 当 x0 时，f(x)f(x)e x21 ex2， 综上xR，恒有 f(x)f(x)2， 所以 f(x)的图像关于点(0，1)成中心对称. (2)由 f(xa)f(xln x2)2 得 f(xln x2)2f(xa)， 即 f(xln x2)f(ax)，故 xln x2ax， a2xln x2， 令 g(x)2xln x2，x0，则 ag(x)max. x0 时，g(x)2x2ln(x)，则 g(x)2 11 x ， 当 x(1，0)时，g(x)0，g(x)单调递增， g(x)maxg(1)2，a2. 实数 a 的取值范围是2，).
