1、第第 3 节节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性定义图像特点 偶函数 一般地， 设函数 yf(x)的定义域为 D， 如果对 D 内的任 意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则称 yf(x)为 偶函数. 关于 y 轴对称 奇函数 一般地， 设函数 yf(x)的定义域为 D， 如果对 D 内的任 意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则称 yf(x) 为奇函数. 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得对定义域 内的每一个 x，都满足 f(xT)f(x)，那么就称 f(x)为周
2、期函数，非零常数 T 称为 这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 1.奇偶函数的运算性质 在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶 函数； (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. 2.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0). (2)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0). (3)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0)
3、. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图像关于直线 xa 对称. (2)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称. (3)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)或 f(ax)f(ax)， 则 yf(x)的图像关于直线 xa 对称. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 yx2在 x(0，)上是偶函数.() (2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.() (3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.() (
4、4)若函数 f(x)满足关系 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图像关于点 ab 2 ，0 对 称.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx2在(0，)上不具有奇偶 性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，且在 x0 处有意义时才满足 f(0)0， (2)错误. 2.下列函数中为偶函数的是() A.yx2sin xB.yx2cos x C.y|ln x|D.y2 x 答案B 解析根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项的定义域为(0，)，不具有奇
5、偶性； D 选项既不是奇函数，也不是偶函数. 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x)满足 f(x3)f(x)，且当 x 0，3 2 时，f(x) x3，则 f 11 2 _. 答案 1 8 解析由 f(x3)f(x)知函数 f(x)的周期为 3， 又函数 f(x)为奇函数， 所以 f 11 2 f 1 2 f 1 2 1 2 3 1 8. 4.(2020江苏卷改编)已知 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)x 2 3，则 f(8)的值 是() A.8B.8C.4D.4 答案D 解析f(8)8 2 34，因为 f(x)为奇函数，所以 f(8)f(8)4. 5.(多选题)(202
6、1日照质检)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x1)与 f(x2)都为奇函 数，则() A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数 C.f(x3)为奇函数D.f(x4)为偶函数 答案ABC 解析由 f(x1)与 f(x2)都为奇函数知函数 f(x)的图像关于点(1，0)，(2，0)对 称， 所以 f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0， 所以 f(2x)f(4x)，即 f(x)f(x2)， 所以 f(x)是以 2 为周期的函数. 所以 f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数. 6.(2021全国大联考)已知 f(x)exeax是偶函数，则 f(x)的最小值为_. 答案2 解析f(x
7、)exeax是偶函数， f(1)f(1)，得 eeae 1ea，则 a1. 所以 f(x)exe x2 exex2. 当且仅当 x0 时取等号， 故函数 f(x)的最小值为 2. 考点一函数的奇偶性及其应用 角度 1函数奇偶性的判断 【例 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x) x2x，x0； (3)f(x)log2(x x21). 解(1)由 3x20， x230 得 x23，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， 从而 f(x) 3x2 x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. (2
8、)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当 x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)成立，函数 f(x)为奇函 数. (3)显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)log2(x （x）21)log2( x21x) log2( x21x) 1log2( x21x)f(x)， 故 f(x)为奇函数. 感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考 虑定义域； (2)判断
9、f(x)与 f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数) 是否成立. 角度 2函数奇偶性的应用 【例 2】 (1)(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)eax，若 f(ln 2)8，则 a_. (2)设奇函数 f(x)的定义域为5，5，若当 x0，5时，f(x) 的图像如图所示，则不等式 f(x)0，x0 时，f(x)f(x)(e ax)eax，所以 f(ln 2)e aln 2eln 2a2a823，即 2a23，所以 a3. (2)由图像知，当 0 x0；当
10、2x5 时，f(x)0，又 f(x)是奇函数， 当2x0 时，f(x)0，当5x0. 综上，f(x)0 的解集为(2，0)(2，5. 感悟升华1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借 助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式， 利用方程思想求参数 的值. 2.画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像，结合几何 直观求解相关问题. 【训练 1】 (1)(2021武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 () A.yxsin xB.yxln x C.ye x1 ex1 D.yxln( x21x) (2)已知 f(x)为定义在 R 上的奇
11、函数， 当 x0 时， f(x)2xm， 则 f(3)_. 答案(1)B(2)7 解析(1)A 中，yxsin x 为偶函数，D 中，yxln( x21x)是偶函数. B 中，函数 yxln x 的定义域为(0，)，非奇非偶函数. C 中，f(x)e x1 e x1 1ex 1exf(x)，则 y ex1 ex1为奇函数. (2)因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0， 即 f(0)20m0，解得 m1， 故 f(x)2x1(x0)， 则 f(3)f(3)(231)7. 考点二函数的周期性及其应用 1.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x) 4
12、x22，1x0， x，0 x1， 则 f 3 2 _. 答案1 解析由题意得，f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21. 2.(2021重庆质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x， f(x2)f(x2)，当 x(0，2)时，f(x)x2，则 f 13 2 () A.9 4 B.1 4 C.1 4 D.9 4 答案A 解析由 f(x2)f(x2)，知 yf(x)的周期 T4， 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f 13 2 f 83 2 f 3 2 f 3 2 9 4. 3.已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x).若 f(1)2，
13、 则 f(1)f(2)f(3)f(50)() A.50B.0C.2D.50 答案C 解析法一f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1x)f(1x). f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x). 因此 f(x4)f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数， 由于 f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令 x1，得 f(0)f(2)0， 令 x2，得 f(3)f(1)f(1)2， 令 x3，得 f(4)f(2)f(2)0， 故 f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以 f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2. 法二由题意可设 f(x)2sin 2x，作出 f(x
14、)的部分图像如图所示.由图可知，f(x) 的一个周期为4， 所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49) f(50)120f(1)f(2)2. 4.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则 函数 yf(x)的图像在区间0，6上与 x 轴的交点个数为_. 答案7 解析因为当 0 x2 时，f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 且 f(0)0， 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0，f(3)f(5)f(1)0， 故函数 yf(x)的图像在区间0，6上与 x
15、 轴的交点有 7 个. 感悟升华1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函 数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题， 转化到已知区间上，进而解决问题. 考点三函数性质的综合运用 角度 1函数的单调性与奇偶性 【例 3】 (1)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x).若 ag(log25.1)， bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为() A.abcB.cba C.bacD.bclog25.1220.8，且 ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8
16、)，则 cab. (2)因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0.又 f(x)在(，0)单调递 减，且 f(2)0，画出函数 f(x)的大致图像如图(1)所示，则函数 f(x1)的大致图 像如图(2)所示. 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得1x0. 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0，得 1x3. 故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1，01，3.故选 D. 感悟升华1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上 的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上， 再利用函数的单调性比较 大小； 2.对于
17、抽象函数不等式的求解，应变形为 f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱去 “f”变成常规不等式，转化为 x1x2)求解. 角度 2函数的奇偶性与周期性 【例 4】 (1)(2021贵阳调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(2x)f(x)，且当 1x0 时，f(x)2x1，则 f(log220)() A.1 4 B.1 5 C.1 5 D.1 4 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实 数 a 的取值范围为() A.(1，4)B.(2，0) C.(1，0)D.(1，2) 答案(1)B(2)A 解析(1)依题意，知
18、 f(2x)f(x)f(x)，则 f(4x)f(x)，所以 f(x)是周期 函数，且周期为 4. 又 2log253，则12log250， 所以 f(log220)f(2log25)f(log252) f(2log25)(22 log251) 4 511 5. (2)因为 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数. f(5)f(1)f(1)1. 从而2a3 a1 1，解得1a3 的解集为() A. 1 10，10B. ， 1 10 (10，) C.(1，10)D. 1 10，1(1，10) (2)(多选题)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 f(x2)为偶函数，则下列结 论
19、正确的是() A.函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称 B.f(4)0 C.f(x8)f(x) D.若 f(5)1，则 f(2 019)1 答案(1)D(2)BCD 解析(1)f(x)的定义域为x|xR，且 x0， 且 f(x)f(x)，则 yf(x)是偶函数， 易知 f(x)在(0，)上是单调递减函数， f(1)log22 43， 所以不等式 f(lg x)3 可化为 0|lg x|1， 即1lg x1，且 lg x0，解得 1 10 x10，且 x1， 所以所求不等式的解集为 1 10，1(1，10). (2)根据题意，f(x)是定义域为 R 的奇函数， 则 f(x)f(x)， 又由
20、函数 f(x2)为偶函数， 则函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称， 则有 f(x)f(4x)， 则有 f(x4)f(x)， 即 f(x8)f(x4)f(x)， 则函数 f(x)是周期为 8 的周期函数； 据此分析选项： 对于 A，函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称，A 错误； 对于 B，f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0，又由函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称，则 f(4)0，B 正确； 对于 C，函数 f(x)是周期为 8 的周期函数，即 f(x8)f(x)，C 正确； 对于 D，若 f(5)1，则 f(2 019)f(52 024)f(5)1，D 正确. 活
21、用函数性质中三类“二级结论” 通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形 成规范化、程序化的思维品质. 一、抽象函数的周期性问题 (1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. (2)如果 f(xa) 1 f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 【例 1】已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，有 f(x3)f(x)， 且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 023)f(2 024)() A.3B.2C.1D.0 答案C 解析因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数
22、， 所以 f(2 023)f(2 023)， 因为当 x0 时，有 f(x3)f(x)， 所以 f(x6)f(x3)f(x)， 即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出现一次， 又当 x(0，3)时，f(x)x1， f(2 023)f(33761)f(1)2， f(2 024)f(33762)f(2)3. 故 f(2 023)f(2 024)f(2 023)31. 二、函数的对称性问题 (1)若函数 yf(x)为奇函数(或偶函数)，则函数 yf(xa)的图像关于点(a，0) 对称(或关于直线 xa 对称). (2)若函数 yf(xa)为奇函数(或偶函数)，则函数 yf(x)的图像
23、关于点(a，0)对 称(或关于直线 xa 对称). (3)函数 yf(x)的图像关于点 A(a，b)对称的充要条件是 f(x)f(2ax)2b. 【例 2】 (1)(2020鹰潭二模)已知偶函数 f(x)的图像关于点(1，0)对称，当1x 0 时，f(x)x21，则 f(2 021)() A.2B.0C.1D.1 (2)(2021长沙质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)， 且在区间1， 2上单调递减，令 aln 2，b 1 4 1 2，clog1 22，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 () A.f(b)f(c)f(a)B.f(a)f(c)f(b) C.f(c
24、)f(b)f(a)D.f(c)f(a)0. 由 0aln 2f(0)0， b 1 4 1 2 42，则 f(b)f(2)f(0)0， clog1 221，则 f(c)f(1)f(1)0， 所以 f(c)f(b)f(3)B.f(2)f(6) C.f(3)f(5)D.f(3)f(6) 答案BCD 解析yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)， 因此 yf(x)的图像关于直线 x4 对称， f(2)f(6)，f(3)f(5). 又 yf(x)在(4，)上为减函数， f(5)f(6)，所以 f(3)f(6). 5.(2021山师大附中检测)已知函数 f(x)cos 22x x x211，若 f(a)
25、 1 3，则 f(a)() A.1 3 B.2 3 C.1 3 D.5 3 答案D 解析f(x)sin 2x x x211， 设 g(x)f(x)1sin 2x x x21，易知 g(x)为奇函数， g(a)f(a)12 3，则 g(a)g(a) 2 3， 因此 f(a)12 3，故 f(a) 5 3. 6.(多选题)(2021武汉质检)设 f(x)为定义在 R 上的函数，f(x)f(x)0，f(x1) f(x3)0，f(x)在0，1上单调递减，下列说法正确的是() A.函数 f(x)的图像关于 y 轴对称 B.函数 f(x)的最小正周期为 2 C.f(3)f(4) D.函数 f(x)在2 0
26、21，2 022上单调递减 答案ABC 解析由 f(x)f(x)0 可得 f(x)f(x)，故函数 f(x)是偶函数，图像关于 y 轴 对称，所以 A 正确； 由 f(x1)f(x3)0 可得 f(x1)f(x3)，f(x)f(x2)，即函数 f(x)的最小正 周期为 2，所以 B 正确； 因为函数 f(x)是偶函数，且在0，1上单调递减，最小正周期为 2，故函数 f(x)在 1，2上单调递增，在3，4上单调递增，f(3)f(4)，故 C 正确； 因为函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数 f(x)在2 021，2 022与在1，2上单调 性一致，故函数 f(x)在2 021，2 022上
27、单调递增，所以 D 错误，故选 ABC. 二、填空题 7.已知奇函数 f(x)在区间3，6上是增函数，且在区间3，6上的最大值为 8，最 小值为1，则 f(6)f(3)的值为_. 答案9 解析由于 f(x)在3，6上为增函数，所以 f(x)的最大值为 f(6)8，f(x)的最小值 为 f(3)1，因为 f(x)为奇函数，所以 f(3)f(3)1，所以 f(6)f(3)8 19. 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且 f(x) xa，1x0， |2x|，0 xf(2x1)成立的 x 的取值范围为_. 答案 1 3，1 解析由已知得函数 f(x)为偶函数， 所以 f(x
28、)f(|x|)， 由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|). 当 x0 时，f(x)ln(1x) 1 1x2， 因为 yln(1x)与 y 1 1x2在(0，)上都单调递增，所以函数 f(x)在(0， )上单调递增. 由 f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得 x2(2x1)2，整理得 3x24x10， 解得1 3x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数. (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以
29、f(x)f(x). 于是 x1， a21， 所以 10，f(x2) 1 f（x）对任意 xR 恒成立， 则 f(2 021)_. 答案1 解析因为 f(x)0，f(x2) 1 f（x）， 所以 f(x4)f(x2)2 1 f（x2） 1 1 f（x） f(x)， 则函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(2 021)f(50541)f(1). 因为函数 f(x)为偶函数， 所以 f(2 021)f(1)f(1). 当 x1 时，f(12) 1 f（1），得 f(1) 1 f（1）. 由 f(x)0，得 f(1)1，所以 f(2 021)f(1)1. 14.设 f(x)是 R 上的奇函数，f(x
30、2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积. 解(1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x). 故函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称. 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图像关于原点成中心对称，则 f(x)的图像如图 所示. 当4x4 时，f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4SOAB4 1 2214.
