1、复习验收卷复习验收卷(二二)函数与基本初等函数函数与基本初等函数 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 y2x1，xxZ|0 x3，则该函数的值域为 () A.y|1y7B.y|1y7 C.1，3，5，7D.1，3，5 答案D 解析由题意可知，函数的定义域为0，1，2， 把 x0，1，2 代入函数解析式可得 y1，3，5， 所以该函数的值域为1，3，5，故选 D. 2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)x22x(x0)，则函数 f(x)的零点个数为
2、 () A.0B.1C.2D.3 答案D 解析依题意，当 x0 时，由 f(x)x22x0 得 x2，即函数 f(x)的一个零 点为 x2. 又函数 f(x)为奇函数，于是2 也是函数 f(x)的一个零点， 又 f(0)0，因此函数 f(x)的零点个数为 3，故选 D. 3.已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值 范围是 () A. 1 3， 2 3B. 1 3， 2 3C. 1 2， 2 3D. 1 2， 2 3 答案A 解析由于函数 f(x)在区间0，)上单调递增，且 f(x)为偶函数， 则由 f(2x1)f 1 3 得 f(|2x1|)
3、f 1 3 ，即有1 32x1 1 3，解得 1 3x 2 3. 故 x 的取值范围是 1 3， 2 3 . 4.(2020北京海淀区一模)形如 22n1(n 是非负整数)的数称为费马数，记为 Fn， 数学家费马根据 F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数. 多年之后，数学家欧拉计算出 F5不是质数，那 F5的位数是 () (参考数据：lg 20.301 0) A.9B.10C.11D.12 答案B 解析F52321，设 m232，则两边取常用对数得 lg mlg 23232lg 2 320.301 09.632.m109.632109100.632，所以 F51091
4、00.6321，又 1 100.63210，故 F5是 10 位数. 5.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲 线 yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 若再过 m min 甲桶中的水只 有a 4升，则 m 的值为 () A.5B.6C.8D.10 答案A 解析根据题意知，因为 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数 f(t)aent 满足 f(5)ae5n1 2a，可得 n 1 5ln 1 2，设当 k min 后甲桶中的水只有 a 4升，所以 f(k)a 4，即 1 5ln 1 2kln 1 4，所以 1 5ln 1
5、2k2ln 1 2，解得 k10，所以 k55， 即 m5，故选 A. 6.(2021安徽联盟联考)已知函数 f(x)10（x 21） xe|x| ，则函数 f(x)的图像大致为 () 答案A 解析函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)， 又 f(x)10（x） 21 xe| x| 10（x 21） xe|x| f(x)，故函数 f(x)为奇函数，则 函数 f(x)的图像关于原点对称，排除 B， 因为 f(1)20 e 0，且 f(5)52 e5 1，所以排除 C，D，选 A. 7.设函数 f(x)x3bx2cxd，若 2f(2)3f(3)4f(4)，则 f(5)1 3f(1)的值等于 ()
6、 A.8B.12C.20D.36 答案A 解析设 2f(2)3f(3)4f(4)k， 则 xf(x)k(x2)(x3)(x4)(xp). 令 x0，得 p k 24，于是 f(1)6 3k 4 ，f(5)6k 4， 即 f(5)1 3f(1)8，故选 A. 8.已知函数 f(x) ln（x1） （x0） ， x33x（x0） ， 若函数 yf(x)k 有三个不同的零点，则 实数 k 的取值范围是() A.(2，2)B.(2，1)C.(0，2)D.(1，3) 答案C 解析当 x0 时，f(x)x33x，则 f(x)3x23， 令 f(x)0，所以 x1(舍去正根)， 故 f(x)在(，1)上单调
7、递增，在(1，0)上单调递减， 又 f(x)ln(x1)在0，)上单调递增， 则函数 f(x)的图像如图所示. 当 x0 时，f(x)极大值f(1)2，且 f(0)0， 故当 k(0，2)时，yf(x)k 有三个不同的零点. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.在下列四组函数中，f(x)与 g(x)表示同一函数的是 () A.f(x)x1，g(x)x 21 x1 B.f(x)|x1|，g(x) x1，x1， 1x，x1 C.f(x)1，g(x)(x1)0
8、 D.f(x)（ x） 2 x ，g(x) x （ x）2 答案BD 解析对于 A，函数 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为x|x1，f(x)与 g(x) 的定义域不相同，则不是同一函数； 对于 B，函数 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 R，f(x)与 g(x)的定义域相同， f(x)|x1| x1，x1， 1x，x0)，g(x) x （ x）21(x0)的定义域与对应 法则均相同，是同一函数，故选 BD. 10.关于函数 f(x) x22x3的结论正确的是 () A.定义域、值域分别是1，3，0，) B.单调增区间是(，1 C.定义域、值域分别是1，3，0，2 D.单调增
9、区间是1，1 答案CD 解析由x22x30，可得 x22x30， 解得1x3，即函数的定义域是1，3， 由二次函数的性质可知，yx22x3(x1)240，4， 函数的值域为0，2， 结合二次函数的性质可知，函数在1，1上单调递增，在1，3上单调递减. 故选 CD. 11.设 x，y，z 为正实数，且 log2xlog3ylog5z0，则下列关系式可能成立的是 () A.x 2 y 3 z 5 B.z 5 y 3 x 2 C.y 3 z 50， 则 x2k1，y3k1，z5k1， 故x 22 k1，y 33 k1，z 55 k1， 若 0k1 时，f(x)xk 1 在(0，)上单调递减， 则z
10、5 y 31 时，则 f(x)xk 1 在(0，)上单调递增， x 2 y 3 z 5，选项 A 成立.C 不成立. 12.(2021福州质检)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图像关于点(1，0)对称. 以下关于 f(x)的结论正确的有 () A.f(x)是周期函数 B.f(x)满足 f(x)f(4x) C.f(x)在(0，2)上单调递减 D.f(x)cos x 2 是满足条件的一个函数 答案ABD 解析因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x). 又其图像关于点(1，0)对称，所以 f(x)f(2x)，所以 f(x2)f(x)，所 以 f(x4)f(x2)f(x)， 所以函数
11、f(x)是以 4 为周期的周期函数， 故 A 正确； 由题意知，f(x)f(x)f(x4). 又 f(x4)f(x4)，所以 f(x)f(4x)，故 B 正确； 函数 f(x)cos x 2 是定义在 R 上的偶函数，且由x 2 k 2(kZ)，得 x2k 1(kZ)，所以(1，0)是它的一个对称中心，故 D 正确； 又 f(x)在(0，2)上不能确定单调性，故 C 错误.综上所述，故选 ABD. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.求值：log3151 2log 325_. 答案1 解析log3151 2log 325log315log325 1 2 log3
12、15log35log331. 14.若函数 f(x) 2x2，x1， 2x1，x1，则 f(f(0)_. 答案5 解析f(0)3，f(f(0)f(3)5. 15.已知函数 f(x)的定义域为(0，1)，则 yflog1 2(2x1)的定义域为_. 答案 3 4，1 解析函数 f(x)的定义域为(0，1)，0log1 2(2x1)1，即 1 22x11，解得 3 4x1，函数 yf log1 2 （2x1） 的定义域为 3 4，1. 16.已知函数 f(x)m9x3x，若存在非零实数 x0，使得 f(x0)f(x0)成立，则实 数 m 的取值范围是_. 答案 0，1 2 解析由题意得关于 x 的
13、方程 m9 x3xm9x3x 有非零实数解，整理得到 m 3x （3x）21 1 3x 1 3x 1 2，又 m0，所以实数 m 的取值范围是 0m 1 2. 四、 解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知幂函数 f(x)(m1)2xm2 4m2 在(0，)上单调递增， 函数 g(x)2xk. (1)求 m 的值； (2)当 x1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：xA，q：xB， 若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围. 解(1)依题意得：(m1)21m0 或 m2，
14、 当 m2 时，f(x)x 2 在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0. (2)由(1)得，f(x)x2， 当 x1，2)时，f(x)1，4)，即 A1，4)， 当 x1，2)时，g(x)2k，4k)， 即 B2k，4k)， 因 p 是 q 成立的必要条件，则 BA， 则 2k1， 4k4，即 k1， k0，得 0k1. 故实数 k 的取值范围是0，1. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x24xa3，aR. (1)若函数 yf(x)的图像与 x 轴无交点，求 a 的取值范围； (2)若函数 yf(x)在1，1上存在零点，求 a 的取值范围. 解(1)若函数 yf(x)的图
15、像与 x 轴无交点， 则 f(x)0 的根的判别式0，即 164(a3)0，解得 a1. 故 a 的取值范围为(1，). (2)因为函数 f(x)x24xa3 图像的对称轴是直线 x2， 所以 yf(x)在1，1上单调递减. 又 yf(x)在1，1上存在零点， 所以 f（1）0， f（1）0，即 a0， a80， 解得8a0. 故实数 a 的取值范围为8，0. 19.(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 1 2f(x)g(x) x1 x21. (1)求 f(x)，g(x)的解析式； (2)若 g(x5)g 1 x1 g(x)g 1 x ，求 x 的
16、取值范围. 解(1)因为 1 2f(x)g(x) x1 x21， 所以 1 2f(x)g(x) x1 x21 ， 即1 2f(x)g(x) x1 x21 ，所以 f(x) x1 x21 x1 x21 2x x21，g(x) 1 x21. (2)因为 g(x)g 1 x 1 x21 1 1 x21 1，所以由 g(x5)g 1 x1 g(x)g 1 x ， 得 1 （x5）21 （x1）2 1（x1）21， 整理得 1 （x5）21 1 1（x1）2，解得 x2. 结合分母不为零得 x 的取值范围是(2，0)(0，1)(1，). 20.(本小题满分 12 分)已知定义在区间(1，1)上的函数 f
17、(x) xa x21为奇函数. (1)求函数 f(x)的解析式，并判断函数 f(x)在区间(1，1)上的单调性； (2)解关于 t 的不等式 f(t1)f(t)0. 解(1)f(x)是在区间(1，1)上的奇函数， f(0)a0，f(x) x 1x2(经验证 f(x)为奇函数). 设1x1x21， 则 f(x1)f(x2) x1 1x21 x2 1x22 （x 1x2） （1x1x2） （1x21） （1x22） ， 1x1x21， x1x20，1x1x20，(1x2 1)(1x22)0， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在区间(1，1)上单调递增. (2)f(
18、t1)f(t)0，且 f(x)为奇函数， f(t)f(t1)f(1t). 又函数 f(x)在区间(1，1)上单调递增， t1t， 1t1， 11t1， 解得 0t1 2， 关于 t 的不等式的解集为 t|0t1 2 . 21.(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)ax22ax1b(a0)在区间2，3上有最 大值 4 和最小值 1.设 f(x)g（x） x . (1)求 a，b 的值； (2)若不等式 f(2x)k2x0 在 x1，1上有解，求实数 k 的取值范围. 解(1)g(x)a(x1)21ba，因为 a0，所以 g(x)在区间2，3上是增函 数，故 g（2）1， g（3）4，解得 a
19、1， b0. (2)由(1)可得 g(x)x22x1， 所以 f(x)x1 x2， 所以 f(2x)k2x0 可化为 2x 1 2x2k2 x，即 1 1 2x 2 2 1 2xk. 令 t 1 2x，则 kt 22t1. 因为 x1，1，所以 t 1 2，2. 记 h(t)t22t1，因为 t 1 2，2，所以 h(t)max1， 所以实数 k 的取值范围是(，1. 22.(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)， 当 x0 时， f(x) 1 2 x x3 3 . (1)求 f(x)的解析式； (2)若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求实
20、数 k 的取值范 围. 解(1)当 x0 时，x0， 则 f(x) 1 2 x x3 3 2xx3 3 . 又 f(x)为奇函数， 所以f(x)2xx3 3 ，所以 f(x)2x3x 3 ， 所以 f(x) 1 2 x x3 3 ，x0， 2x3x 3 ，x0. (2)因为当 x0 时，f(x) 1 2 x x3 3 ，y 1 2 x 单调递减，yx3 3 也单调递减， 所以 f(x)在0，)上单调递减. 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(x)在(，0上单调递减， 所以 f(x)在 R 上单调递减. 因为 f(t22t)f(2t2k)0 在 tR 上恒成立， 所以 f(t22t)f(2t2k). 又 f(x)为奇函数， 所以 f(t22t)f(k2t2)， 所以 t22tk2t2在 tR 上恒成立，即 3t22tk0 在 tR 上恒成立， 所以 412k0，即 k1 3. 所以实数 k 的取值范围是 ，1 3 .
