1、阶段综合检测（四）阶段综合检测（四） 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 (时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分) 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分) 1下列各式中成立的是下列各式中成立的是() A. n m 7 n7m 1 7 C. x3y3(xy) 3 2 D. 3 9 3 3 解析解析：选选 DA 中应为中应为 n m 7 n7m 7； ；B 中等式左侧为正数中等式左侧为正数，右侧为负数右侧为负数；C 中中 xy1 时不成立，错误时不成立，错误D 中中 3 3，正确，故选，正确，故选 D. 2函数
2、函数 f(x) 1x 1 x2 log3(2x1)的定义域是的定义域是() A. 2，1 2B(2,1 C. 1 2， ，1 D. 1 2， ，1 解析解析：选选 D由已知得由已知得 1x0， x20， 2x10， 解得解得1 2 x1， 所以函数所以函数 f(x)的定义域为的定义域为 1 2， ，1 ，故选，故选 D. 3甲甲、乙两人解关于乙两人解关于 x 的方程的方程：log2xbclogx20，甲写错了常数甲写错了常数 b，得到根为得到根为 x1 4， ， x1 8；乙写错了常数 ；乙写错了常数 c，得到根为，得到根为 x1 2， ，x64.那么原方程的根正确的是那么原方程的根正确的是(
3、) Ax4Bx3 Cx4 或或 x8Dx2 或或 x3 解析解析： 选选 C设设 tlog2x， 则方程则方程 log2xbclogx20 变为变为 tbc t 0， 即即 t2btc0， 由题意，方程由题意，方程 t2mtc0 的解是的解是2，3，则，则 c2(3)6，方程，方程 t2btn0 的解是的解是1,6，16b，b5，方程方程 t2btc0 为为 t25t60，解得解得 t2 或或 t 3，由，由 tlog2x 得得 x4 或或 x8. 4数值数值 30.3,3 2， ，log30.3 大小关系正确的是大小关系正确的是() A3 2 30.3log30.3B30.33 2 log3
4、0.3 Clog30.330.33 2 D30.3log30.33 2 解析解析：选选 B因为因为 y3x在在 R R 上递增，所以上递增，所以 30.33 2 0，又因为，又因为 ylog3x 在在(0，)上上 递增，所以递增，所以 log30.3log310，所以，所以 30.33 2 log30.3，故选，故选 B. 5函数函数 f(x) 1 2 x2 6x5 的值域为的值域为() A(0,16B16，) C. 0， 1 16D. 1 16， ， 解析解析：选选 A设设 ux26x5，则则 ux26x5(x3)244，g(u) 1 2 u ，u4， 因为因为 y 1 2 x 为减函数，所
5、以为减函数，所以 0g(u)g(4)16，即值域为，即值域为(0,16，故选，故选 A. 6 已知已知 a0， b0， 且且 ab1， 则函数则函数 f(x)ax与函数与函数 g(x)logbx 的图象可能是的图象可能是() 解析解析：选选 B依题意，由于依题意，由于 a，b 为正数，且为正数，且 ab1，故，故 f(x)，g(x)log 1 bx 单调性相同 单调性相同， 所以选所以选 B. 7 设函数设函数 f(x) x2bxc，x0， 2，x0， 若若 f(4)f(0)， f(2)2， 则关于则关于 x 的方程的方程 f(x) x 的解的个数是的解的个数是() A1B2 C3D4 解析解
6、析：选选 C因为因为 f(4)f(0)，f(2)2， 所以所以 164bcc， 42bc2， 解得解得 b4， c2， 所以所以 f(x) x24x2，x0， 2，x0. 当当 x0 时，方程时，方程 f(x)x 为为 x2，此时方程，此时方程 f(x)x 只有只有 1 个解；当个解；当 x0 时，方程时，方程 f(x) x 为为 x24x2x，解得，解得 x1 或或 x2，此时方程，此时方程 f(x)x 有有 2 个解故方程个解故方程 f(x)x 共有共有 3 个解个解 8为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚假设为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚假设 2
7、020 年年 A，B 两市全年用于垃圾分类的资金均为两市全年用于垃圾分类的资金均为 a 万元万元在此基础上在此基础上，A 市每年投入的资金比上一年增市每年投入的资金比上一年增长长 20%，B 市每年投入的资金比上一年增长市每年投入的资金比上一年增长 50%，则用于垃圾分类的资金，则用于垃圾分类的资金 B 市开始超过市开始超过 A 市市 两倍的年份是两倍的年份是(参考数据：参考数据：lg 20.301 0)() A2024 年年B2023 年年 C2022 年年D2021 年年 解析解析：选选 A设从设从 2020 年开始年开始，第第 n(nN N*)年年 A 市市、B 市投入的资金分别为市投入
8、的资金分别为 f(n)，g(n)， 则则 f(n)a 11 5 n a 6 5 n， ，g(n)a 11 2 n a 3 2 n，由题意得出 ，由题意得出 g(n)2f(n)， 即即 a 3 2 n 2a 6 5 n ，整理可得，整理可得 3 2 5 6 n 5 4 n 2，所以，所以 nlog5 42 lg 2 lg 10 8 lg 2 13lg 23.103， ， nN*，n4，故用于垃圾分类的资金，故用于垃圾分类的资金 B 市开始超过市开始超过 A 市两倍的年份是市两倍的年份是 2024 年年 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
9、 20 分分) 9若若 10a4,10b25，则，则() Aab2Bba1 Cab8lg22Dbalg 6 解析解析：选选 AC10a4,10b25，alg 4，blg 25，ablg 4lg 25lg 1002， balg 25lg 4lg25 4 lg 6，ab2lg 22lg 54lg 2lg 54lg 2lg 48lg22.故选故选 A、C. 10下列函数中，是奇函数且存在零点的是下列函数中，是奇函数且存在零点的是() Ayx3xBylog2x Cy2x23Dyx|x| 解析解析：选选 ADA 中，中，yx3x 为奇函数，且存在零点为奇函数，且存在零点 x0，与题意相符；，与题意相符；
10、 B 中，中，ylog2x 为非奇非偶函数，与题意不符；为非奇非偶函数，与题意不符； C 中，中，y2x23 为偶函数，与题意不符；为偶函数，与题意不符； D 中，中，yx|x|是奇函数，且存在零点是奇函数，且存在零点 x0，与题意相符，与题意相符 11定义运算定义运算 ab a，ab， b，ab， 设函数设函数 f(x)12 x，则下列命题正确的有 ，则下列命题正确的有() Af(x)的值域为的值域为1，) Bf(x)的值域为的值域为(0,1 C不等式不等式 f(x1)f(2x)成立的范围是成立的范围是(，0) D不等式不等式 f(x1)f(2x)成立的范围是成立的范围是(0，) 解析解析：
11、 选选 AC由函数由函数 f(x)12 x， ， 有有 f(x) 1，12 x， ， 2 x， ，12 x， ， 即即 f(x) 2 x， ，x0， 1，x0， 作出函数作出函数 f(x)的图象，如图所示，根据函数图象得的图象，如图所示，根据函数图象得 f(x) 的值域为的值域为1，)，故，故 A 正确，正确，B 错误；若不等式错误；若不等式 f(x1)f(2x)成立，由函数图象知，成立，由函数图象知，当当 2xx10 即即 x1 时成立，当时成立，当 2x0， x10 即即1x0 时也成立所以不等式时也成立所以不等式 f(x1) f(2x)成立时，成立时，x0.故故 C 正确，正确，D 错误
12、故选错误故选 A、C. 12下列命题中正确的是下列命题中正确的是() A函数函数 y 1 2 x x2在区间在区间(0,1)上有且只有上有且只有 1 个零点个零点 B若函数若函数 f(x)x2axb，则，则 f x1x2 2 C如果函数如果函数 yx1 x在 在a，b上单调递增，那么它在上单调递增，那么它在b，a上单调递减上单调递减 D若定义在若定义在 R R 上的函数上的函数 yf(x)的图象关于点的图象关于点(a，b)对称对称，则函数则函数 yf(xa)b 为奇函为奇函 数数 解析解析：选选 ABD对于对于 A 选项选项，函数函数 y1 1 2 x 在区间在区间(0,1)上单调递减上单调递
13、减，函数函数 y2x2在区间在区间 (0,1)上单调递增，所以函数上单调递增，所以函数 y 1 2 x x2在区间在区间(0,1)上单调递减，上单调递减， 因为因为 1 2 0 020， 1 2 1 120，所以函数所以函数 y 1 2 x x2在区间在区间(0,1)上有且只有上有且只有 1 个零点个零点，A 选项正确；选项正确； 对于对于 C 选项，令选项，令 f(x)x1 x，定义域为 ，定义域为x|x0，关于原点对称，关于原点对称， 且且 f(x)x 1 x x1 x f(x)，所以函数，所以函数 f(x)x 1 x为奇函数， 为奇函数， 由于该函数在区间由于该函数在区间a，b上单调递增
14、上单调递增，则该函数在区间则该函数在区间b，a上也单调递增上也单调递增，C 选项选项 错误；错误； 对于对于 D 选项，由于函数选项，由于函数 yf(x)的图象关于点的图象关于点(a，b)对称，则对称，则 f(ax)f(ax)2b，令令 g(x)f(xa)b，定义域为定义域为 R R，且且 g(x)g(x)f(xa)bf(xa)b2b2b0，即即 g(x)g(x)，所以函数，所以函数 yf(xa)b 为奇函数，为奇函数，D 选项正确选项正确 三、填空题三、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13函数函数 yax 2 020 2 022(a0，
15、且，且 a1)的图象恒过定点的图象恒过定点_ 解析解析：a01(a0，且且 a1) ，令令 x2 0200，得得 x2 020，ya02 0222 023， 函数函数 yax 2 020 2 022(a0，且，且 a1)的图象恒过定点的图象恒过定点(2 020,2 023) 答案答案：(2 020,2 023) 14函数函数 f(x) 1 2 x2 3x10的递增区间是 的递增区间是_ 解析解析：因为因为 x23x100 x2 或或 x5，所以函数的定义域为，所以函数的定义域为(，25，)， 由由 t x23x10在在(，2上单调递减，在上单调递减，在5，)单调递增，由复合函数单调性质得单调递
16、增，由复合函数单调性质得 函数函数 f(x) 1 2 x2 3x10在 在(，2单调递增单调递增 答案答案：(，2 15若函数若函数 f(x)logax(a0，且，且 a1)在在 1 2， ，4 上的最大值为上的最大值为 2，最小值为，最小值为 m，函数，函数 g(x) (32m) x在在0，)上是增函数，则上是增函数，则 am_. 解析解析：当当 a1 时时，函数函数 f(x)logax 是正实数集上的增函数是正实数集上的增函数，而函数而函数 f(x)logax 在在 1 2， ，4 上的最大值为上的最大值为 2，因此有，因此有 f(4)loga42a2，所以，所以 mlog21 2 1，此
17、时，此时 g(x) x在在0， )上是增函数，符合题意，因此上是增函数，符合题意，因此 am211； 当当 0a1 时时，函数函数 f(x)logax 是正实数集上的减函数是正实数集上的减函数，而函数而函数 f(x)logax 在在 1 2， ，4 上上 的最大值为的最大值为 2，因此有因此有 f 1 2 loga1 2 2a 2 2 ，所以所以 mlog 2 2 44，此时此时 g(x)5x在在 0，)上是减函数，不符合题意上是减函数，不符合题意. 答案答案：1 16已知函数已知函数 f(x) |log2x|，0 x2， log24x，2x4， 若若 f(a)f a1 3 ，则，则 a 的取
18、值范围是的取值范围是 _ 解析解析：作出函数作出函数 f(x) |log2x|，0 x2， log24x，2x4 的图象如图所示的图象如图所示， 由于由于 aa1 3，当 ，当 0aa1 31，即 ，即 0a2 3时，函数 时，函数 f(x)单调递减，显然符合题意；单调递减，显然符合题意； 当当 1aa1 32，即 ，即 1a5 3时，函数 时，函数 f(x)递增，显然不符合题意；递增，显然不符合题意； 当当 0a1a1 3 2，即，即2 3 a1，可得，可得log2alog2 a1 3 ，解得，解得2 3 a 1 37 6 ， 当当 1a2a1 3 4，即有，即有5 3 a2， 由题意可得由
19、题意可得 log2alog2 4a1 3 ，解得，解得11 6 a2， 当当 2aa1 3 4，即，即 2a11 3 时，函数时，函数 f(x)单调递减，显然符合题意；单调递减，显然符合题意； 综上可得综上可得 a 的取值范围是的取值范围是 0， 1 37 6 11 6 ，11 3 . 答案答案： 0， 1 37 6 11 6 ，11 3 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分) 17(10 分分)计算：计算： (1) (2)lg 500lg8 5 1 2lg 64 50(lg 2lg 5)2. 解：解：(1)原式原式 2112 3 e 22 3 e. (2)
20、原式原式lg 5lg 102lg 23lg 51 2lg 2 6 50(lg 10)2lg 523lg 2lg 53lg 2 5052. 18(12 分分)已知函数已知函数 f(x)x2(m2)x5m 有两个零点，且都大于有两个零点，且都大于 2，求实数，求实数 m 的的 取值范围取值范围 解：解：函数函数 f(x)x2(m2)x5m 有两个大于有两个大于 2 的零点，即方程的零点，即方程 x2(m2)x5m 0 有两个不相等的实数解，且都大于有两个不相等的实数解，且都大于 2. 解得解得5m0， x10， 3x1x1， 解得解得 x0，故，故 x 的取值范围为的取值范围为0，) 20(12
21、分分)已知函数已知函数 g(x)是是 f(x)ax(a0 且且 a1)的反函数，且的反函数，且 g(x)的图象过点的图象过点 2 2，3 2 . (1)求求 f(x)与与 g(x)的解析式的解析式； (2)比较比较 f(0.3)，g(0.2)与与 g(1.5)的大小的大小 解：解：(1)因为函数因为函数 g(x)是是 f(x)ax(a0 且且 a1)的反函数，所以的反函数，所以 g(x)logax(a0 且且 a1) 因为因为 g(x)的图象过点的图象过点 2 2，3 2 ，所以，所以 loga2 23 2，所以 ，所以 a3 2 2 2，解得，解得 a2. 所以所以 f(x)2x，g(x)l
22、og2x. (2)因为因为 f(0.3)20.3201，g(0.2)log20.20， 又又 g(1.5)log21.5log210，所以，所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2) 21(12 分分)环境污染已经触目惊心环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为环境质量已经成为“十三五十三五”实现全面建成小康社会实现全面建成小康社会 奋斗目标的短板和瓶颈奋斗目标的短板和瓶颈 绵阳某化工厂每一天中污水污染指数绵阳某化工厂每一天中污水污染指数 f(x)与时刻与时刻 x(时时)的函数关系的函数关系为为 f(x)|log25(x1)a|2a1，x0,24，其中，其中 a 为污水治理调节参数，且为污水治
23、理调节参数，且 a(0,1) (1)若若 a1 2，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； ，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； (2)规定每天中规定每天中 f(x)的最大值作为当天的污水污染指数的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不要使该厂每天的污水污染指数不 超过超过 3，则调节参数，则调节参数 a 应控制在什么范围内？应控制在什么范围内？ 解解：(1) 因为因为 a1 2， ，则则 f(x)22.当当 f(x)2 时时，log25(x1)1 2 0， 得得 x1251 2 5，即，即 x4.所以一天中早上所以一天中早上 4 点该厂的污水污染指数最低点该厂的污水污染指数最
24、低 (2)设设 tlog25(x1)，则当，则当 0 x24 时，时，0t1. 设设 g(t)|ta|2a1，t0,1， 则则 g(t) t3a1，0ta， ta1，at1， 显然显然 g(t)在在0，a上是减函数，在上是减函数，在(a,1上是增函数，上是增函数， 则则 f(x)maxmaxg(0)，g(1)，因为因为 g(0)3a1，g(1)a2，则有则有解解 得得 a2 3，又 ，又 a(0,1)，故调节参数，故调节参数 a 应控制在应控制在 0，2 3 内内 22(12 分分)已知函数已知函数 f(x)loga 1 2 x1 (a0，且，且 a1) (1)判断函数判断函数 f(x)的奇偶
25、性并说明理由的奇偶性并说明理由 (2)是否存在实数是否存在实数 a，使得当使得当 f(x)的定义域为的定义域为m，n时时，值域为值域为1logan,1logam？若存？若存 在，求出实数在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由 解：解：(1)由由 1 2 x1 0，可得，可得 x1 或或 x1， f(x)的定义域为的定义域为(，1)(1，) f(x)loga 1 2 x1 loga x1 x1 ， 且且 f(x)loga x1 x1 loga x1 x1 loga x1 x1 f(x)， f(x)在定义域上为奇函数在定义域上为奇函数 (2)假设存在这样
26、的实数假设存在这样的实数 a， 使得当使得当 f(x)的定义域为的定义域为m， n时时， 值域为值域为1logan,1logam 由由 0mn，又，又 logan1logam1，即，即 loganlogam，得，得 0a1. 易知易知 f(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减， f(x)在在(m，n)上单调递减，上单调递减， 即即 m，n 是方程是方程 loga x1 x1 logax1 的两个实根，即的两个实根，即x 1 x1 ax 在在(1，)上有两个互上有两个互 异实根，异实根， 于是问题转化为关于于是问题转化为关于 x 的方程的方程 ax2(a1)x10 在在(1，)上有两个不同的实数根上有两个不同的实数根 令令 g(x)ax2(a1)x1， 故存在实数故存在实数 a(0,32 2)， 使得当使得当 f(x)的定义域为的定义域为m， n时时， 值域为值域为1logan,1logam
