第2节　等差数列及其前n项和.ppt

1、INNOVATIVE DESIGN 第六章 第2节等差数列及其前n项和 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.等差数列的概念等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果数列定义：一般地，如果数列an从第从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于项起，每一项与它的前一项之差都等于 _常数常数d，即，即_恒成立，则称恒成立，则称an为等差数列为等差数列.其中其中d 称为等差数列的公差称为等差数列的公差. 同一个同一个an1and 索引 2.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式

2、(1)如果等差数列如果等差数列an的首项是的首项是a1，公差是，公差是d，那么等差数列的通项公式为，那么等差数列的通项公式为an _. (2)前前n项和公式：项和公式：Sn . a1(n1)d 索引 3.等差数列的性质等差数列的性质 (nm)d md (2)如果如果an是等差数列，而且正整数是等差数列，而且正整数s，t，p，q，满足，满足stpq，则，则asat _，特别地，如果，特别地，如果2spq，则有，则有_apaq. apaq2as 索引 n(anan1) nd (2n1)an 索引 1.已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是anpnq(其中其中p，q为常数为常数)，则数列，则数

3、列an一定是等一定是等 差数列，且公差为差数列，且公差为p. 3.等差数列等差数列an的单调性：当的单调性：当d0时，时，an是递增数列；当是递增数列；当d0时，时，an是递减是递减 数列；当数列；当d0时，时，an是常数列是常数列. 4.数列数列an是等差数列是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数为常数). 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)数列数列an为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有，都有2an 1 anan 2. ( ) (2)等差数列等差数列an的单调性是由公差的单调性是由公差d决定的

4、决定的. () (3)数列数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数的一次函数. () (4)等差数列的前等差数列的前n项和公式是常数项为项和公式是常数项为0关于关于n的二次函数的二次函数. () 解析解析(3)若公差若公差d0，则通项公式不是，则通项公式不是n的一次函数的一次函数. (4)若公差若公差d0，则前，则前n项和不是项和不是n的二次函数的二次函数. 索引 2.设数列设数列an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn，若，若a62且且S530，则，则S8等于等于() A.31 B.32 C.33 D.34 B 索引 3.一物体从

5、一物体从1 960 m的高空降落，如果第的高空降落，如果第1秒降落秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降，以后每秒比前一秒多降 落落9.80 m，那么经过，那么经过_秒落到地面秒落到地面. 解析解析设物体经过设物体经过t秒降落到地面秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为，公差为9.80的等差数的等差数 列列. 即即4.90t21 960，解得，解得t20. 20 索引 4.(2020呼和浩特质检呼和浩特质检)在在等差数列等差数列an中，若中，若a1a25，a3a415， 则则a5a6 () A.10 B.20

6、C.25 D.30 解析解析等差数列等差数列an中，每相邻中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为项的和仍然构成等差数列，设其公差为d， 若若a1a25，a3a415，则，则d15510， 因此因此a5a6(a3a4)d151025. C 索引 解析解析不妨设不妨设a610t，a511t，则公差，则公差 dt(t0)， a16a610d0， a15a69dt0，a17a611dt0，求使得，求使得Snan的的n的取值范围的取值范围. 解解由由(1)得得a50， 因为因为a10， 所以等差数列所以等差数列an单调递减，即单调递减，即d0， an4dd(n1)dn5d， 因为因为Snan，

7、又因为又因为d0； 当当n6时，时，an0，当，当n6时，时，an0； 所以所以Sn的最小值为的最小值为S5S630. 索引 1.项的性质：在等差数列项的性质：在等差数列an中，若中，若mnpq(m，n，p，qN*)， 则则amanapaq. 2.和的性质：在等差数列和的性质：在等差数列an中，中，Sn为其前为其前n项和，则项和，则 (1)S2nn(a1a2n)n(anan 1)； ； (2)S2n 1 (2n1)an. (3)依次依次k项和成等差数列，即项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列成等差数列. 3.求等差数列前求等差数列前n项和的最值，常用的方法：项和的最值，

8、常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其利用等差数列的单调性，求出其 正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差利用公差 不为零的等差数列的前不为零的等差数列的前n项和项和SnAn2Bn(A，B为常数，为常数，A0)为二次函数，通为二次函数，通 过二次函数的性质求最值过二次函数的性质求最值. 感悟升华 索引 【训练训练2】 (1)(多选题多选题)(2020淄博调研淄博调研)已已知等差数列知等差数列an的公差为的公差为d，前，前n项和为项和为 Sn，当首项，当首项a1和和d变化时，变化时，a2a8a11

9、是一个定值，则下列各数也为定值的是是一个定值，则下列各数也为定值的是 ( ) A.a7B.a8 C.S13 D.S15 解析解析由题知由题知a2a8a11a1da17da110d3a118d 3(a16d)3a7， a7是定值，是定值， AC 索引 解析解析设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，a19，a51， a594d1，则，则d2. 所以所以an92(n1)2n11. 令令an2n110，得，得n5.5. n5时，时，an0. B 索引 因为因为Tna1a2an(n1，2，)， 所以所以T19，T263，T3315，T4945，T5945. 当当n6时，时，an1， Tn0，且，且

10、Tn 1Tn0. Tna1a2a3an(n1，2，)有最大项有最大项T4，无最小项，无最小项. 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 一、选择题一、选择题 1.(2020长春模拟长春模拟)在在等差数列等差数列an中，中，3a52a7，则此数列中一定为，则此数列中一定为0的是的是() A.a1B.a3C.a8D.a10 解析解析设设an的公差为的公差为d(d0)，3a52a7， 3(a14d)2(a16d)，得，得a10. A 0112131407080910110203040506索引 2.(2021昆明诊断昆明诊断

11、)在在数列数列an中，已知中，已知an 1 anan 2 an 1， ，a1 0111，则该数，则该数 列前列前2 021项的和项的和S2 021等于等于 () A.2 021 B.2 020 C.4 042 D.4 040 解析解析an 1 anan 2 an 1， ， 2an 1 anan 2， ， an为等差数列，为等差数列， a1 0111， A S2 0212 021（ （a1a2 021） 2 2 021 2a1 011 2 2 021. 0112131407080910110203040506索引 3.记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和.若若3S3S2S4，a12

12、，则，则a5 () A.12 B.10 C.10 D.12 解析解析设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则，则3(3a13d)2a1d4a16d， 又又a12得得d3， a5a14d24(3)10. B 0112131407080910110203040506索引 4.程大位程大位算法统宗算法统宗里有诗云里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人次第每人 多十七，要将第八数来言多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：意为：996斤斤 棉花，分别赠送给棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，

13、以后每人依次多个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直斤，直 到第八个孩子为止到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八 个孩子分得斤数为个孩子分得斤数为 () A.65 B.176 C.183 D.184 解析解析根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an， 其中其中d17，n8，S8996. 解得解得a165. 由等差数列通项公式得由等差数列通项公式得a865(81)17184. 则第八个孩子分得斤数为则第八个孩子分得斤数为184. D 01

14、12131407080910110203040506索引 解析解析等差数列等差数列an的前的前n项和有最大值，项和有最大值， 等差数列等差数列an为递减数列，为递减数列， a9a100成立的正整数成立的正整数n的最大值为的最大值为17. C 0112131407080910110203040506索引 解析解析由由bn 1 S2n 2 S2n得得 b2a3a42a15d，b4S8S6a7a82a113d. b6S12S10a11a122a121d， b8S16S14a15a162a129d， 根据等差数列性质，根据等差数列性质，A项项2a4a2a6成立；成立； 易验证易验证2b4b2b6成立，

15、成立，B项成立；项成立； ABC 0112131407080910110203040506索引 解析解析由由a10，a23a1，可得，可得d2a1， 4 所以所以 S1010a110 9 2 d100a1， 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 9.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a23，S510，则，则a5_，Sn 的最小值为的最小值为_. 解析解析由题意得由题意得a2a1d3，S55a110d10， 解得解得a14，d1， 所以所以a5a14d0， 故故ana1(n1)dn5.

16、令令an0，则，则n5，即数列，即数列an中前中前4项为负，项为负，a50，第，第6项及以后项为正项及以后项为正. Sn的最小值为的最小值为S4S510. 0 10 0112131407080910110203040506索引 三、解答题三、解答题 10.已已知等差数列的前三项依次为知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前，前n项和为项和为Sn，且，且Sk110. (1)求求a及及k的值；的值； 解解设该等差数列为设该等差数列为an，则，则a1a，a24，a33a， 由已知有由已知有a3a8，得，得a1a2，公差，公差d422， 由由Sk110，得，得k2k1100， 解得解得k10或或k11

17、(舍去舍去)，故，故a2，k10. 0112131407080910110203040506索引 故故bn 1 bn(n2)(n1)1， 即数列即数列bn是首项为是首项为2，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列， 0112131407080910110203040506索引 11.(2020西安调研西安调研)已已知等差数列知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，a59，S525. (1)求数列求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Sn； 解解(1)由题意，设等差数列由题意，设等差数列an的公差为的公差为d， an12(n1)2n1，nN*， 0112131407080910110

18、203040506索引 11.(2020西安调研西安调研)已已知等差数列知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，a59，S525. (2)设设bn(1)nSn，求数列，求数列bn的前的前2n项和项和T2n. 解解 由由(1)知，知，bn(1)nSn(1)nn2. T2nb1b2b2n (b1b2)(b3b4)(b2n 1 b2n) (1222)(3242)(2n1)2(2n)2 (21)(21)(43)(43)2n(2n1)2n(2n1) 1234(2n1)2n B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 解析解析设等差数列设等差数列an的公差为的公差为

19、d(d0).对任意的对任意的nN*，都有，都有SnS3， ABC 0112131407080910110203040506索引 3da12d(d0)， 0112131407080910110203040506索引 13.设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，若项和，若a75，S555，则，则nSn的最小值为的最小值为 _. 解析解析设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d， 设设f(x)2x321x2(x0)，则，则f(x)6x(x7)， 当当0 x7时，时，f(x)7时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增. 故故f(x)的最小值为的最小值为f(7)343. 343 0112

20、131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和项和Snn2p(pR)；anan 1 3；a6 11且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，其中nN*. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 解解选择：选择： 当当n1时，由时，由S1a11，得，得p0. 当当n2时，由题意，得时，由题意，得Sn 1 (n1)2， 所以所以anSnSn 1 2n1(n2). 经检验，经检验，a11符合上式，符合上式

21、， 所以所以an2n1(nN*) 0112131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和项和Snn2p(pR)；anan 1 3； a611且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，其中nN*. (2)若若a1，an，am成等比数列，其中成等比数列，其中m，nN*，且，且mn1，求，求m的最小值的最小值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解解

22、由由a1，an，am成等比数列，得成等比数列，得aa1am， 即即(2n1)21(2m1). 因为因为m，n是大于是大于1的正整数，且的正整数，且mn， 所以当所以当n2时，时，m有最小值有最小值5. 化简，得化简，得 m2n22n12 n1 2 2 1 2. 0112131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和项和Snn2p(pR)；anan 1 3；a6 11且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，

23、其中nN*. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 解解 选择：选择： 因为因为anan 1 3，所以，所以an 1 an3， 所以数列所以数列an是公差是公差d3的等差数列，的等差数列， 所所 以以ana1(n1)d3n2(nN*). 0112131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和项和Snn2p(pR)；anan 1 3； a611且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，其中nN*.

24、(2)若若a1，an，am成等比数列，其中成等比数列，其中m，nN*，且，且mn1，求，求m的最小值的最小值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解解 选择选择： 由由a1，an，am成等比数列，得成等比数列，得aa1am， 即即(3n2)21(3m2). 因为因为m，n是大于是大于1的正整数，且的正整数，且mn， 所以当所以当n2时，时，m取到最小值取到最小值6. 0112131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和项和Snn2p(pR)；anan 1 3；a

25、6 11且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，其中nN*. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 解解选择选择： (1)因为因为2an 1 anan 2， ， 所以数列所以数列an是等差数列是等差数列. 设数列设数列an的公差为的公差为d. 因为因为a11，a6a15d11， 所以所以d2. 所以所以ana1(n1)d2n1(nN*) . 0112131407080910110203040506索引 14.(2021北京西城区模拟北京西城区模拟)从从前前n项和

26、项和Snn2p(pR)；anan 1 3； a611且且2an 1 anan 2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答 这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列在数列an中，中，a11，_，其中，其中nN*. (2)若若a1，an，am成等比数列，其中成等比数列，其中m，nN*，且，且mn1，求，求m的最小值的最小值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解解 选择选择： 因为因为a1，an，am成等比数列，所以成等比数列，所以aa1am， 即即(2n1)21(2m1). 因为因为m，n是大于是大于1的正整数，且的正整数，且mn， 所以当所以当n2时，时，m有最小值有最小值5. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束