1、INNOVATIVE DESIGN 微课四利用导数研究函数的零点微课四利用导数研究函数的零点 题型分类突破 题型跟踪训练 内 容 索 引 1 2 / / 题型分类突破 1 索引 题型一判断、证明或讨论函数零点的个数题型一判断、证明或讨论函数零点的个数 【例例1】(2019全国全国卷卷)已已知函数知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为为f(x)的导数的导数. (1)证明：证明：f(x)在区间在区间(0，)存在唯一零点；存在唯一零点； 证明证明设设g(x)f(x)，则，则g(x)cos xxsin x1， g(x)sin xsin xxcos xxcos x. 故故g(x)在在(0，
2、)存在唯一零点存在唯一零点. 所以所以f(x)在区间在区间(0，)存在唯一零点存在唯一零点. 索引 【例例1】(2019全国全国卷卷)已已知函数知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为为f(x)的导数的导数. (2)若若x0，时，时，f(x)ax，求，求a的取值范围的取值范围. 解解由题设知由题设知f()a，f()0，可得，可得a0. 由由(1)知，知，f(x)在在(0，)只有一个零点，设为只有一个零点，设为x0， 当当x(0，x0)时，时，f(x)0； 当当x(x0，)时，时，f(x)0恒成立，恒成立， 所以所以f(x)单调增区间为单调增区间为(，)，无单调减区间，无单调减区间.
3、 当当a0时，令时，令f(x)0，得，得x0，得，得xln a， 所以所以f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为，单调递增区间为(ln a，). 索引 【例例2】(2021贵阳调研贵阳调研)已已知函数知函数f(x)exax1，其中，其中e为自然对数的底数为自然对数的底数. (2)讨论函数讨论函数f(x)在区间在区间0，1上零点的个数上零点的个数. 解解 由由(1)知，知，f(x)exa. 当当a1时，时，f(x)在区间在区间0，1上单调递增且上单调递增且f(0)0， 所以所以f(x)在区间在区间0，1上有一个零点上有一个零点. 当当ae时，时，f(x)在区间在区
4、间0，1上单调递减且上单调递减且f(0)0， 所以所以f(x)在区间在区间0，1上有一个零点上有一个零点. 当当1ae时，时，f(x)在区间在区间0，ln a上单调递减，在上单调递减，在(ln a，1上单调递增，而上单调递增，而f(1) ea1. 当当ea10，即，即1ae1时，时，f(x)在区间在区间0，1上有两个零点上有两个零点. 当当ea10，即，即e1ae1时，时，f(x)在在0，1上有一个零点，上有一个零点， 当当10， 所以所以g(x)在在(，)单调递增单调递增. 故故g(x)至多有一个零点，从而至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点至多有一个零点. 综上，综上，f(x)只有一
5、个零点只有一个零点. 索引 解解g(x)2ln xx2m， 故故g(x)在在x1处取得极大值处取得极大值g(1)m1. 索引 索引 1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解. 2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点， 并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，也可分离出参数， 转化为两函数图象的交点情况转化为两函数
6、图象的交点情况. 感悟升华 索引 【训练训练2】(2020全国全国卷卷)已已知函数知函数f(x)x3kxk2. (1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性； 解解f(x)3x2k. 当当k0时，时，f(x)x3， 故故f(x)在在(，)单调递增单调递增. 当当k0， 故故f(x)在在(，)单调递增单调递增. 索引 故函数故函数 f(x)在在 ， 3k 3 ， 3k 3 ， 单调递增，单调递增， 索引 【训练训练2】(2020全国全国卷卷)已已知函数知函数f(x)x3kxk2. (2)若若f(x)有三个零点，求有三个零点，求k的取值范围的取值范围. 解解由由(1)知，当知，当k0时，时，f(x)在
7、在(，)单调递增，单调递增，f(x)不可能有三个零点不可能有三个零点. 索引 题型三与函数零点相关的综合问题题型三与函数零点相关的综合问题 【例例4】设设函数函数f(x)e2xaln x. (1)讨论讨论f(x)的导函数的导函数f(x)零点的个数；零点的个数； 当当a0时，时，f(x)0，f(x)没有零点；没有零点； 所以所以f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增. (讨论讨论a1或或a0时，时，f(x)存在唯一零点存在唯一零点. 索引 证明证明由由(1)，可设，可设f(x)在在(0，)上的唯一零点为上的唯一零点为x0， 当当x(0，x0)时，时，f(x)0. 故故f(x)在在(0，x0)上
8、单调递减，在上单调递减，在(x0，)上单调递增，上单调递增， 所以当所以当xx0时，时，f(x)取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为f(x0). 索引 感悟升华 索引 【训练训练3】已已知函数知函数f(x)(x1)ln xx1. 证明：证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；存在唯一的极值点； 证明证明f(x)的定义域为的定义域为(0，). 所以所以f(x)在在(0，)上单调递增上单调递增. 故存在唯一故存在唯一x0(1，2)，使得，使得f(x0)0. 又当又当xx0时，时，f(x)x0时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增， 因此，因此，f(x)存在唯一的极值点存在唯一的极值点.
9、索引 【训练训练3】已已知函数知函数f(x)(x1)ln xx1. (2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 证明证明由由(1)知知f(x0)0， 所以所以f(x)0在在(x0，)内存在唯一根内存在唯一根x. 综上，综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 题型跟踪训练 2 01070203040506索引 1.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为1，4，部分对应值如下表：，部分对应值如下表： f(x)的导函数的导函数yf(x)的图的图像像如图所示如图所示.当当1a2时，函数时，函数yf
10、(x)a的零点的个的零点的个 数为数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析根据导函数图象，知根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数是函数的极小值点，函数 yf(x)的大致图的大致图像如图所示如图所示. 由于由于f(0)f(3)2，1a0， (x)在在(0，1)上单调递增；上单调递增； 当当x (1，)时，时， (x)0， (x)在在(1，)上单调递减，上单调递减， x1是是(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此唯一的极值点，且是极大值点，因此x1也是也是(x)的最大值点，的最大值点， 01070203040506索引 结合结合y(x)的图的图像(如图如图)，可知，可知 0107
11、0203040506索引 5.已知函数已知函数f(x)ex(ae)xax2. (1)当当a0时，求函数时，求函数f(x)的极值；的极值； 解解当当a0时，时，f(x)exex， 则则f(x)exe，f(1)0， 当当x1时，时，f(x)1时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增， 所以所以f(x)在在x1处取得极小值，且极小值为处取得极小值，且极小值为f(1)0，无极大值，无极大值. 01070203040506索引 5.已知函数已知函数f(x)ex(ae)xax2. (2)若函数若函数f(x)在区间在区间(0，1)内存在零点，求实数内存在零点，求实数a的取值范围的取值范围. 解解由题意
12、得由题意得f(x)ex2axae， 设设g(x)ex2axae，则，则g(x)ex2a. 若若a0，则，则f(x)的最大值的最大值f(1)0，故由，故由(1)得得f(x)在区间在区间(0，1)内没有零点内没有零点. 若若a0，故函数，故函数g(x)在区间在区间(0，1)内单调递增内单调递增. 又又g(0)1ae0，所以存在，所以存在x0(0，1)，使，使g(x0)0. 故当故当x(0，x0)时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增. 01070203040506索引 因为因为f(0)1，f(1)0， 所以当所以当a0，由，由(1)得当得当x(0，1)时，时，exex. 则则f(x)ex(a
13、e)xax2ex(ae)xax2a(xx2)0， 此时函数此时函数f(x)在区间在区间(0，1)内没有零点内没有零点. 综上，实数综上，实数a的取值范围为的取值范围为(，0). 01070203040506索引 解解f(x)3x2b. 01070203040506索引 f(x)与与f(x)的情况为：的情况为： 01070203040506索引 综上，若综上，若f(x)有一个绝对值不大于有一个绝对值不大于1的零点，则的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于所有零点的绝对值都不大于1. 01070203040506索引 证明证明设设g(x)f(x)， 则则 g(x)cos x 1 1x， ，g?
14、 (x)sin x 1 （1x）2. 01070203040506索引 7.(2019全国全国卷卷)已已知函数知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为为f(x)的导数的导数.证明：证明： (2)f(x)有且仅有有且仅有2个零点个零点. 证明证明f(x)的定义域为的定义域为(1，). 当当x(1，0时，由时，由(1)知，知，f(x)在在(1，0)单调递增，而单调递增，而f(0)0，所以当，所以当 x(1，0)时，时，f(x)1. 所以所以f(x)0，从而，从而f(x)在在(，)没有零点没有零点. 综上，综上，f(x)有且仅有有且仅有2个零点个零点. INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
