1、第 1 页 共 22 页 2020-2021 学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上学年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二上 学期月考数学试题学期月考数学试题 一、单选题一、单选题 1下列命题中，假命题是（下列命题中，假命题是（ ） A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C只有零向量的模等于只有零向量的模等于 0 D共线的单位向量都相等共线的单位向量都相等 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据向量的定义即可判断出答案. 【详解】 A.向量是有向
2、线段，不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为 0 的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的定义，属于基础题.向量：有向线段.既有大小也有方向. 2 设设, x yR， 向量向量,1,1 ,1, ,1 ,2, 4,2 ,axbyc 且且,/ /ac bc ， 则则ab （） A2 2B 10 C3D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数 , x y，再求向量模长即可. 【详解】 / / ,24 1,2,1, 21bcyy
3、b ， ,1210,1aba bxx ， 1,112, 1,2aab ， 2 22 2123ab 第 2 页 共 22 页 故选：C. 【点睛】 本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示，属综合基础题. 3 若直若直线线 l l， 且且l l 的方向向量为的方向向量为(2(2， m,1)m,1)， 平面平面的法向量为的法向量为 1 1,2 2 ， 则则m m 为为( () ) A4 4 B6 6 C8 8 D8 8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 l，可得m n =0，即可得出 m 的值 【详解】 l，m n =2+ 1 2 m+2=0 m=8 故选 C 【点睛】 本题考查了线面平行的
4、性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 4在长方体在长方体 1111 ABCDABC D中，中，2ABBC， 1 1AA ，则直线，则直线 1 BC与平面与平面 11 BB DD所成角的正弦值为（所成角的正弦值为（） A 6 3 B 10 2 C 15 5 D 10 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量 的方法求解直线与平面所成的夹角 【详解】 解：以D点为坐标原点，以 1 ,DA DC DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系， 第 3 页 共 22 页 则 1 (2,0
5、,0), (2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1), 1 ( 2,0,1),( 2,2,0),BCACAC 为平面 11 BB D D的一个法向量 1 410 cos, 558 BC AC 直线 1 BC与平面 11 BB DD所成角的正弦值为 10 5 . 故选：D 【点睛】 此题重点考查了利用空间向量， 抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的 法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题 5已知平面已知平面的一个法向量为的一个法向量为 (2,2,1)n ，点点( 1,3,0)A 在平面在平面内内，则点则点 (2,1,3)P 到平面到平面的距离为（的距离为（）
6、 A 5 3 B 4 3 C1D 2 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可. 【详解】 由题意 ( 3,2, 3)PA ， 则 | 643|5 344 1 | n PA d n ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了点到平面的距离，向量法求点到平面的距离，属于容易题. 6 二面角二面角l为为 60， A、 B 是棱是棱l上的两点上的两点，AC、BD分别在半平面分别在半平面、内内， 第 4 页 共 22 页 ACl，BDl，且，且ABACa，2BDa，则，则CD的长为（的长为（） A 3a B2 2aC 5a D2a 【答案】【答案】D 【解析】【解析
7、】由已知条件和空间向量加法可得CD CAABBD ，再根据向量模和数量 积的关系可得 2 CDCAABBD uuu ruuruuu ruuu r ，由此能求出CD的长 【详解】 因为二面角l为 60，A、B 是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、 内，ACl，BDl， 所以 ,60AC BD o uuu r uuu r ， 0AC BA ， 0AB BD 又CD CAABBD 所以 222 2 +2+2+2 CDCAABBDCAABBDCA ABAB BDCA BD uuu ruuruuu ruuu ruuruuu ruuu ruur uuu ruuu r uuuruur uuu r 222
8、 +2 CAABBDCA BD uuruuu ruuu ruur uuu r 2 22 2= 22 cos1202aaaaaa o . 所以CD的长为2a. 故选：D. 【点睛】 本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 7在四面体在四面体 O-ABC 中中, ,G1是是ABC 的重心 的重心, ,G 是是 OG1上的一点上的一点, ,且且 OG=3GG1, ,若若 OG =xOA +yOB +zOC , ,则则( (x,y,z) )为为( () A 1 1 1 , 4 4 4 B 3 3 3 , 4 4 4 第 5 页 共 22 页 C 1 1 1 , 3
9、3 3 D 2 2 2 , 3 3 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】如图所示,连接 AG1交 BC 于点 E,则 E 为 BC 中点,利用空间向量的运算法则求 得 1 3111 4444 OGOGOAOBOC ,即得(x,y,z). 【详解】 如图所示,连接 AG1交 BC 于点 E,则 E 为 BC 中点, 1 ( 2 AEABAC )= 1 ( 2 OB -2OA OC ), 1 21 ( 33 AGAEOB -2OA OC ). 因为OG =3 1 GG =3( 1 OGOG ), 所以 OG= 3 4 OG1. 则 11 33 ( 44 OGOGOAAG )= 3121111
10、4333444 OAOBOAOCOAOBOC . 故答案为 A 【点睛】 （1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水 平和分析推理能力.(2) 如果三个向量, ,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存 在一个唯一的有序实数组 , ,x y z使p xaybzc 我们把, ,x y z叫做空间的一个 基底，其中, ,a b c 叫基向量. 8在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中中，(0,0,0),(2 2,0,0),(0,2 2,0)OEF，B为为EF的中点的中点， C为空间一点且满足为空间一点且满足| | 3COCB ，若若 1 cos,
11、6 EF BC ， ，则则OC OF （） A9B7 C5D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用中点坐标公式可得点B的坐标，设( , , )C x y z，利用| | 3COCB ， 1 cos, 6 EF BC 可解出点C的纵坐标， 最后利用数量积的坐标运算可得OC OF 的 值. 第 6 页 共 22 页 【详解】 设( , , )C x y z，( 2, 2,0)B， ( , , )OCx y z ，(2,2, )BCxyz ，( 2 2,2 2,0)EF ， 由 ( 2 2,2 2,0) (2,2, )1 cos, 4 36 EF BCxyz EF BC EFBC ， 整理可得
12、： 2 2 xy ， 由| | 3COCB ，得 2222 (2)(2)xyxy， 化简得2xy， 以上方程组联立得 23 2 , 44 xy， 则( , , )0,2 2,02 23OC OFx y zy . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算 的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 二、多选题二、多选题 9 （多选题）对于（多选题）对于 2 25xx ，下列说法正确的是（，下列说法正确的是（） A可看作点可看作点,0 x与点与点1,2的距离的距离 B可看作点可看作点,0 x与点与点1, 2 的距离的距离 C可看作点
13、可看作点,0 x与点与点1,2的距离的距离 D可看作点可看作点, 1x 与点与点 1,1 的距离的距离 【答案】【答案】BCD 【解析】【解析】化简 2 25xx 2222 10211 1xx ，结合两点 间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，可得 2 2 2514xxx 2222 10211 1xx ， 第 7 页 共 22 页 可看作点,0 x与点1, 2 的距离，可看作点,0 x与点( ) 1,2-的距离，可看作点 , 1x 与点1,1的距离，故选项 A 不正确， 故答案为：BCD. 【点睛】 本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用， 其中解答中熟记平面上两点间的距离 公式是解
14、答的关键，属于基础题. 10关于空间向量，以下说法正确的是（关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B若对空间中任意一点若对空间中任意一点O，有，有 111 632 OPOAOBOC ，则，则P，A，B，C四点四点 共面共面 C已知向量已知向量 , ,a b c 组是空间的一个基底，若组是空间的一个基底，若m ac ，则，则 , ,a b m 也是空间的一也是空间的一 个基底个基底 D若若 0a b ，则，则a b 是钝角是钝角 【答案】【答案】ABC 【解析】【解析】根据共线向量
15、的概念，可判定 A 是正确的;根据空间向量的基本定理，可判定 B 是正确的;根据空间基底的概念，可判定 C 正确;根据向量的夹角和数量积的意义，可 判定 D 不正确. 【详解】 对于 A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以是正确的; 对于 B 中， 若对空间中任意一点O， 有 111 632 OPOAOBOC ， 因为 111 1 632 ， 根据空间向量的基本定理,可得 P,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的; 对于 C 中，由 , ,a b c 是空间中的一组基底，则向量 , ,a b c 不共面， 可得向量, ,a b ca
16、不共面，所以 , ,a b m 也是空间的一组基底，所以是正确的; 对于 D 中，若 0a b ，又由0, a b ，所以(, 2 a b ，所以不正确. 故选：ABC 第 8 页 共 22 页 【点睛】 本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向 量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 11如图，正方体如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为的棱长为 1，E是是 1 DD的中点，则（的中点，则（） A直线直线 1 /BC平面平面 1 ABDB 11 BCBD C三棱锥三棱锥 11 CBCE的体积为的体积为 1 3 D异面直线异面直线
17、1 BC与与BD所成的角为所成的角为60 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】 解：如图建立空间直角坐标系，0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,0D， 1 0,0,1A， 1 1,0,1B， 1 1,1,1C， 1 0,1,1D， 1 0,1, 2 E， 1 B C0,1, 1 ， 1 1,1,1BD ，1,1,0BD ， 1 1,0,1BA 所以 11 1 0 1 1110BC BD ，即 11 BCBD ，所以 11 BCBD，故 B 正 确； 1 1 0 1 1101BC BD ， 1 2BC ， 2BD ， 设
18、异面直线 1 BC与BD所成的角为，则 1 1 1 cos 2 BC BD BC BD ，又0, 2 ，所 以 3 ，故 D 正确； 设平面 1 ABD的法向量为 , ,nx y z ， 则 1 0 0 n BA n BD ， 即 0 0 xy xz ， 取1,1,1n ， 则 1 0 1 1 1 110n BC ，即 1C nB ，又直线 1 BC 平面 1 ABD，所以直 线 1 /BC平面 1 ABD，故 A 正确； 第 9 页 共 22 页 11111 11 1111 11 1 3326 CB CEBC CEC CE VBCSV ，故 C 错误； 故选：ABD 【点睛】 本题考查空间向
19、量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12如图如图，一个结晶体的形状为平行六面体一个结晶体的形状为平行六面体 1111 ABCDABC D，其中其中，以顶点以顶点 A 为端为端 点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（，下列说法中正确的是（） A 22 1 2AAABADAC B 1 0ACABAD C向量向量 1 BC 与与 1 AA 的夹角是的夹角是 60D 1 BD与与 AC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 6 3 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【
20、详解】 以顶点 A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是 60， 可设棱长为 1,则 11 1 1 1 cos60 2 AA ABAA ADAD AB 2 222 1111 =+2+2+2AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 1 1 1 1 3 26 2 第 10 页 共 22 页 而 22 22 2222ACABADABADAB AD 1 2 1 122 36 2 ， 所以 A 正确. 11 ACABADAAABADABAD 22 11 AA ABAA ADABAB ADAD ABAD =0,所以 B 正确. 向量 11 BCAD , 显然 1 AAD为等边三角形，
21、则 1 60AAD. 所以向量 1 AD 与 1 AA 的夹角是120,向量 1 BC 与 1 AA 的夹角是120,则 C 不正确 又 11=AD AABDAB ，AC ABAD 则 2 11 |= 2ADAAABBD ， 2 |= 3ACABAD 11 1ADAAABBDACABAD 所以 1 1 1 16 cos= 6|23 BDAC BD AC BD AC ， ，所以 D 不正确. 故选：AB 【点睛】 本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 三、填空题三、填空题 13设点设点 A 在在 x 轴上，点轴上，点 B 在在 y 轴上，轴上，AB的中点是的中点是(21)P，则，
22、则AB等于等于_ 【答案】【答案】2 5 【解析【解析】根据点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且AB的中点是(21)P，利用中点坐标 公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】 因为点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且AB的中点是(21)P， 所以(4 0),(02)， AB， 所以 2 2 40022 5 AB ， 故答案为：2 5 第 11 页 共 22 页 【点睛】 本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题. 14如图，正三棱锥如图，正三棱锥VABC的侧棱长为的侧棱长为 3，底面边长为 ，底面边长为 2，则，则VA与与BC所成角的
23、余所成角的余 弦值为弦值为_. 【答案】【答案】0 【解析【解析】根据向量的运算得出VA BC VA VCVA VB ，利用数量积公式得出VA与 BC所成角的余弦值. 【详解】 设VA 与VC 的夹角为，则VA 与VB 的夹角也是 BCVCVB 9cos9cos0VA BCVA VCVA VB 则VA与BC所成角的余弦值为0 | | VA BC VABC 故答案为：0 【点睛】 本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值，属于中档题. 15已知空间三点的坐标为已知空间三点的坐标为1,5, 2A、2,4,1B、,3,2C pq，若若A、B、C三三 点共线，则点共线，则p q_. 【答案】【答案】5
24、【解析【解析】将A、B、C三点共线转化为 /AB AC uuu r uuu r ，设AC kAB uuu ruuu r ，利用空间向量的坐 标运算列出方程组可求出p、q、k的值，可求出p q 的值. 【详解】 由题意可得1, 1,3AB uuu r ，1, 2,4ACpq uuu r ， 第 12 页 共 22 页 A、B、C三点共线，则 /AB AC uuu r uuu r ，则存在实数k，使得 1 2 43 pk k qk ，解得 2 3 2 k p q ， 因此，5pq，故答案为5. 【点睛】 本题考查空间中三点共线问题，解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理，考 查运算求解能力，
25、属于基础题. 16如图如图，在正四棱柱在正四棱柱 1111 ABCDABC D中中，底面边长为底面边长为 2，直线直线 1 CC与平面与平面 1 ACD所所 成角的正弦值为成角的正弦值为 1 3 ，则正四棱柱的高为，则正四棱柱的高为_ 【答案】【答案】4 【解析】【解析】以D为坐标原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系, 设 1 DDa，求出平面 1 ACD的一个法向量n ，则 1 1 cos, 3 n CC ，则 可以得到答案. 【详解】 解：以D为坐标原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 设
26、1 DDa，则(2,0,0)A，(0,2,0)C， 1(0,0, ) Da，故 ( 2,2,0) AC， 1 ( 2,0, )ADa ， 1 (0,0, )CCa ， 设平面 1 ACD的一个法向量为 ( , , )nx y z ，则 1 220 20 n ACxy n ADxaz ，可取 2 1,1,n a ， 第 13 页 共 22 页 故 1 1 2 1 2 22 cos, |4 24 2 n CC n CC n CC a a a ， 又直线 1 CC与平面 1 ACD所成角的正弦值为 1 3 ， 2 21 3 24a ，解得4a 故答案为：4 【点睛】 本题考查根据线面角，利用向量法求
27、柱体的高，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17在在ABC中，中，2, 5,3A，4,1,2AB ，3, 2,5BC . （1）求顶点）求顶点B、C的坐标；的坐标； （2）求）求CA BC ； （3）若点）若点P在在AC上，且上，且 1 2 APPC ，求点，求点P的坐标的坐标. 【答案【答案】 （1）6, 4,5B，9, 6,10C； （2） 58CA BC ； （3） 1316 16 , 333 P . 【解析【解析】 （1）利用向量的坐标运算可求得点B、C的坐标； （2）计算出向量CA 、BC 的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得CA BC 的 值； （3）由 1 2 APPC
28、可得 1 2 OPOAOCOP ，可求得向量OP 的坐标，进而可 求得点P的坐标. 【详解】 第 14 页 共 22 页 （1）设点O为坐标原点， 2, 5,34,1,26, 4,5OBOAAB ， 则6, 4,5B. 6, 4,53, 2,59, 6,10OCOBBC ，则9, 6,10C； （2）7, 1,7ACABBC ，则7,1, 7CA ， 又3, 2,5BC ，因此， 7 3 127558CA BC ； （3）设点O为坐标原点， 1 2 APPC ，则 1 2 OPOAOCOP ， 则 21211316 16 2, 5,39, 6,10, 3333333 OPOAOC ， 所以，点
29、P的坐标为 1316 16 , 333 . 【点睛】 本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力， 属于中等题. 18用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等 【答案】【答案】证明见解析. 【解析】【解析】建立平面直角坐标系，设0,Aa，,0B b，得到 AB 的中点 C 的坐标为 , 2 2 a b ，然后用两点间的距离分别求得CA，CB，CO即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， 设0,Aa，,0B b，则 AB 的中点 C 的坐标为, 2 2 a b . 第 15 页 共 2
30、2 页 22 22 0 222 baab CAa ， 22 22 0 222 baab CBb ， 22 22 0 222 baab COb CACBCO， 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等. 【点睛】 本题主要考查两点间的距离公式的应用，属于基础题. 19如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，ABC=90 ，BC=2，CC1=4，点，点 E 在棱在棱 BB1 上，上，EB1=1，D，F，G 分别为分别为 CC1，B1C1，A1C1的中点，的中点，EF 与与 B1D 相交于点相交于点 H. （1）求证：）求证：B1D平面平面 ABD； （2）求证：平面）求证
31、：平面 EGF平面平面 ABD； （3）求平面）求平面 EGF 与平面与平面 ABD 的距离的距离. 【答案【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析【解析】 （1）建立空间直角坐标系，运用线面垂直的判定定理可得证； （2）由面面平行的判定定理可得证； （3）根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一 点到另一个平面的距离，即点面距. 【详解】 （1）证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设 AB=a，则 A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a， 第 16 页 共 22
32、页 0，4)，B(0，0，4)， D(0，2，2)，G10 2 a ， ，. 所以 1 B D =(0，2，2)，AB =(-a，0，0)，BD =(0，2，-2). 所以 1 B D AB =0+0+0=0， 1 B D BD =0+4-4=0. 所以 11 B DAB B DBD ， 所以 B1DAB，B1DBD. 又 ABBD=B，所以 B1D平面 ABD. （2）证明：由（1）可得AB =(-a，0，0)，BD =(0，2，-2)，-0 0 2 a GFEF ， ， ，=(0， 1，-1)，所以AB =2GF BD ， =2EF ，所以 /GFAB EF BD ， . 所以 GFAB，
33、EFBD. 又 GFEF=F，ABBD=B，所以平面 EGF平面 ABD. （3）解：由（1） （2）知， 1 B D 是平面 EGF 和平面 ABD 的法向量. 因为平面 EGF平面 ABD，所以点 E 到平面 ABD 的距离就是两平面的距离，设为 d. 因为EB =(0，0，3)， 1 B D =(0，2，2)， 所以 d= 1 22 1 |63 2 2| 22 B D EB B D .即两平面间的距离为 3 2 2 . 【点睛】 第 17 页 共 22 页 本题考查空间中的线面垂直、面面平行的证明，面到面的距离转化到一个面内一个点到 面的距离的问题，属于中档题. 20已知已知1,1,2a
34、 ，6,21,2bm . （1）若）若 /a b r r ，分别求，分别求与与m的值；的值； （2）若）若5a ，且与，且与2, 2 ,c 垂直，求垂直，求a . 【答案【答案】 （1） 1 5 ，3m； （2）0,1, 2a . 【解析【解析】 （1）设akb kR ，利用空间向量的坐标运算可得出关于k、m的方 程组，进而可解得实数与m的值； （2）根据题意可得出关于的等式组，解得实数的值，由此可得出向量a 的坐标. 【详解】 （1） /a b r r Q ，设akb kR ，得1,1,26,21,2km， 16 121 22 k km k ，解得 1 5 3 k m ，因此， 1 5 ，3
35、m； （2） 5 0 a a c ， 22 2 2 1125 21220 ，化简，得 2 2 5230 220 ，解得 1 . 因此，0,1, 2a . 【点睛】 本题考查利用空间向量共线求参数， 同时也考查了利用空间向量的坐标运算处理垂直和 模的相关问题，考查计算能力，属于中等题. 21如图，三棱柱如图，三棱柱 111 ABCABC中，中，AB 平面平面 11 BBCC，点，点 E 是棱是棱 1 CC的中点，已的中点，已 知知 111111 25ABBCCCB E， 第 18 页 共 22 页 （）求证：）求证： 1 B B 平面平面 ABC； （）求二面角）求二面角 11 AEBA的余弦值
36、的余弦值 【答案【答案】 （）证明见解析； （） 5 . 3 . 【解析【解析】 （）首先证明四边形 11 BBCC为矩形，可得 1 B BBC，结合 1 B BAB，可 证 1 B B 平面 ABC （）分别以BC， 1 BB BA所在的直线为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，利用法 向量求二面角的余弦值. 【详解】 （）依题意，在 11 BC E中， 11111 1 251 2 BCB EC EC C， 所以 222 1111 BCC EB E， 所以 11 90BC E 又因为三棱锥 111 ABCABC中，四边形 11 BBCC为平行四边形， 所以四边形 11 BBCC为矩形，
37、 所以 1 B BBC 因为AB 平面 11 BBCC， 1 BB 平面 11 BBCC， 所以 1 B BAB 又因为ABBC ，平面 ABC，ABBCB， 所以 1 B B 平面 ABC （）因为AB 平面 11 BBCC，BC 平面 11 BBCC， 第 19 页 共 22 页 所以ABBC 如图建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 111 ()()()()0 0 22100 2 00 2 221(0AEBAB E , , , , , , , ,， 111 )02 2(00 2)B AB A , ,， 设平面 1 AEB的法向量为( , , )nx y z ，则 1 1 20,0, 220
38、.0 xyn B E yzn B A 即， 令1x ，则2y ，2z ， 于是, ,(1)2 2n ， 设平面 11 A EB的法向量为 111 ( ,)mx y z ，则 1 11 0 0 m B E m B A 即 11 1 20 20 xy z 令1x ，则2y ，0z 于是(1,2,0)m ， 所以 55 cos,. 33 5 n m n m n m 由题知二面角 11 AEBA为锐角，所以其余弦值为 5 . 3 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题. 22如图如图，在四棱锥在四棱锥PABCD中中，底面底面ABCD为直角梯形 为直角梯形，
39、ADAB，/AD BC， 3AD ，2ABBC，4PA ，5PD ， 平面平面PAD 平面平面ABCD， 点点E在棱在棱PD 上上，01PEPD ，,F G分别为分别为,PC PB的中点的中点， 过过,E F G三点的平面交三点的平面交PA 于点于点H，且，且/EF平面平面PAB 第 20 页 共 22 页 （1）求）求的值；的值； （2）求）求PC与平面与平面EFGH所成角的正弦值所成角的正弦值 【答案【答案】 （1） 1 3 ； （2） 2 78 39 【解析【解析】 （1）首先证明四边形EFGH为平行四边形，再得出1HE ，然后用相似关系 求出的值； （2） 建立空间直角坐标系Axyz，
40、 用向量法求出PC与平面EFGH所成角的正弦值. 【详解】 解： （1）因为EF 平面PAB，EF 平面EFGH，平面PAB平面EFGHGH， 所以EFGH 因为F为PC的中点，G为PB的中点， 所以FGBC 又因为底面ABCD为直角梯形，ADBC， 所以FGAD 因为FG 平面PAD，AD平面PAD， 所以FG平面PAD 又因为平面EFGH 平面PADEH， 所以FGEH， 从而四边形EFGH为平行四边形 又2BC ，所以1FG ， 所以1EHGF， 所以 1 3 PEEH PDAD ，所以 1 3 PEPD 所以的值为 1 3 第 21 页 共 22 页 （2）由题可知3AD ，4PA ，
41、5PD 所以 222 ADPAPD ， 所以PAAD 又因为平面PAD 平面ABCD，且交于AD，所以PA 平面ABCD 又ABAD，所以,AB AD AP两两垂直 以A为坐标原点，分别以向量AB ，AD ，AP 所在方向为x，y，z轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系Axyz 所以0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，0,3,0D，0,0,4P 由（1）可知 1 3 ，即 1 3 PEPD 所以 8 0,1, 3 E 因为EHAD， 1 3 EHAD， 所以 8 0,0, 3 H 又F为PC的中点，所以1,1,2F 所以0, 1,0EH ， 2 1,0, 3 EF ，2,2, 4PC 设平面EFGH的一个法向量, ,nx y z ， 所以 0, 0, n EF n EF 即 0, 2 0, 3 y xz 令3z ，所以2x ，所以2,0,3n 设PC与平面EFGH所成的角的平面角为， 第 22 页 共 22 页 所以 82 78 sincos, 391324 n PC n PC n PC 故PC与平面EFGH所成角的正弦值为 2 78 39 【点睛】 本题主要考查立体几何、空间直角坐标系、直线与平面所成角的正弦值等相关知识，考 查运算求解能力，属于基础题型.
