1、第第 7 节节正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理的应用 知识梳理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方叫仰 角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为(如图 2). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西 45等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余 弦定
2、理求解. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)东北方向就是北偏东 45的方向.() (2)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.() (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .() (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 2.如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的 同侧河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m， ACB45， CAB105后，就可以计算出 A
3、，B 两点的距离为() A.50 2 mB.50 3 m C.25 2 mD.25 2 2 m 答案A 解析在ABC 中，由正弦定理得 AB sinACB AC sin CBA， 又CBA1804510530， ABACsinACB sin CBA 50 2 2 1 2 50 2(m). 3.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa， 从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别是 60，30，则 A 点离地面 的高度 AB_. 答案 3 2 a 解析由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，AD 3a，所以 RtADB 中，AB1 2AD 3 2 a. 4.(2021东营月考)如图，
4、两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的() A.北偏东 10B.北偏西 10 C.南偏东 80D.南偏西 80 答案D 解析由条件及图可知，ACBA40， 又BCD60，所以CBD30， 所以DBA10， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80. 5.如图，一座建筑物 AB 的高为(3010 3)m，在该建筑物的 正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面上的点 M(B， M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15， 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，
5、则通信塔 CD 的 高为() A.30 mB.60 mC.30 3 mD.40 3 m 答案B 解析作 AECD，垂足为 E，则在AMC 中，AM AB sin 1520 6，AMC 105， ACM30， AC sin 105 20 6 sin 30， AC6020 3， CD3010 3 ACsin 3060(m).故选 B. 6.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，则 B，C 两点间的距离是() A.102
6、海里B.103海里 C.203海里D.202海里 答案A 解析如图所示，易知， 在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 在ABC 中， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45， 解得 BC10 2(海里). 考点一解三角形的实际应用 角度 1测量距离问题 【例 1】如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离， 选择山坡上一段长度为 300 3 m 且和 P， Q 两点在同一平面内 的路段 AB 的两个端点作为观测点， 现测得PAB90， PAQ PBAPBQ60， 则 P， Q 两点间的距离为_ m. 答案900 解析由已知，得QABPABPAQ30， 又PBA
7、PBQ60， AQB30，ABBQ. 又 PB 为公共边， PABPQB， PQPA. 在 RtPAB 中，APABtan 60900， 故 PQ900， P，Q 两点间的距离为 900 m. 感悟升华距离问题的类型及解法： (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的 边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 角度 2测量高度问题 【例 2】如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同 一水平面内的两个观测点 C 与 D，测得BCD15，BDC 30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A
8、的仰角为 60，则塔高 AB 等于() A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6 答案D 解析在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得 BC sin 30 30 sin 135，所以 BC15 2. 在 RtABC 中， ABBCtan ACB15 2 315 6. 感悟升华1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一 铅垂面内，视线与水平线的夹角. 2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图. 3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程 思想的运用. 角度 3测量角度问题 【例 3】已知岛 A 南偏西 38方向，距岛
9、A3 海里的 B 处有一艘 缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏 西 22方向行驶， 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶， 恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ 参考数据：sin 385 3 14 ，sin 223 3 14 解如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上 一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5x，AC5，依 题意， BAC1803822120， 由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcos 120， 所以 BC249，所以 BC0.5x7，解得 x14. 又由正弦定理得 sinABCACsinBAC BC 5 3
10、2 7 5 3 14 ，所以ABC38， 又BAD38，所以 BCAD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私 船. 感悟升华1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的 图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最 后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角. 【训练 1】 (1)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水 平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两
11、条船相距_m. (2)如图，为测量某公园内湖岸边 A，B 两处的距离，一无人 机在空中 P 点处测得 A，B 的俯角分别是，此时无人机 的高度为 h，则 AB 的距离为() A.h 1 sin2 1 sin2 2cos（） sin sin B.h 1 sin2 1 sin2 2cos（） sin sin C.h 1 cos2 1 cos2 2cos（） cos cos D.h 1 cos2 1 cos2 2cos（） cos cos (3)如图， 两座相距 60 m 的建筑物 AB， CD 的高度分别为 20 m， 50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角
12、CAD 等于() A.30B.45C.60D.75 答案(1)10 3(2)A(3)B 解析(1)如图，设炮台的顶部为 A，底部为 O，两只小船分别为 M，N，则由题 意得，OMAOtan 4530(m)， ONAOtan 30 3 3 3010 3(m)， 在MON 中，由余弦定理得， MN90030023010 3 3 2 30010 3(m). (2)如图，过点 P 作 PDAB，由题意，知DPA，DPB ， 所以PAC， PBC， 所以 PA h sin ， PB h sin ， BPA.在PAB 中，由余弦定理，得 AB PA2PB22PAPBcosBPA h sin 2 h sin
13、 2 2 h sin h sin cos（） h 1 sin2 1 sin2 2cos（） sin sin ，故选 A. (3)依题意可得 AD20 10 m，AC30 5 m， 又 CD50 m， 所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD （30 5） 2（20 10）2502 230 520 10 6 000 6 000 2 2 2 ， 又 0CAD0.又 BD 7，DAB 3， 所以在ABD 中，由余弦定理，得( 7)2(3k)2(2k)223k2kcos 3，解得 k 1，所以 AD2，AB3， sinABDADsinDAB BD 2 3 2 7 2
14、1 7 . (2)因为 ABBC，所以 cosDBCsinABD 21 7 ， 所以 sinDBC2 7 7 ，在BCD 中，因为 BD sinBCD CD sinDBC，所以 CD 72 7 7 3 2 4 3 3 . 感悟升华平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 提醒做题过程中， 要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、 平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解 决问题. 【训练 2】(2020武汉
15、模拟)如图，在锐角ABC 中，D 为边 BC 的中点，且 AC 3 ，AD3 2 2 ，O 为ABC 外接圆 的圆心，且 cos BOC1 3 . (1)求 sin BAC 的值； (2)求ABC 的面积 解(1)如图所示， BOC2BAC， cos BOCcos 2BAC 12sin2BAC1 3 ， sin2BAC2 3 ，sinBAC 6 3 . (2)延长 AD 至 E，使 AE2AD，连接 BE，CE， 则四边形 ABEC 为平行四边形，CEAB， 在ACE 中，AE2AD3 2 ，AC 3 ， ACEBAC， cos ACEcos BAC1 6 3 2 3 3 ， 由余弦定理得，
16、AE2AC2CE22ACCEcos ACE， 即(3 2 )2( 3 )2CE22 3 CE 3 3， 解得 CE3，ABCE3， SABC1 2 ABACsin BAC 1 2 3 3 6 3 3 2 2 . 考点三三角函数与解三角形的交汇问题 【例 5】(2021长沙质检)已知函数 f(x)sin x(cos xsin x)1 2. (1)求函数 f(x)的单调递减区间. (2)在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且满足 acos 2B acos Bbsin A，求 f(A)的取值范围. 解(1)由题意得 f(x) 1 2 sin 2x 1 2 (1 cos
17、 2x) 1 2 1 2 (sin 2xcos 2x) 2 2 sin 2x 4 . 由 2k 22x 42k 3 2 ，kZ， 解得 k 8xk 5 8 ，kZ. 函数 f(x)的单调递减区间为 k 8，k 5 8 ，kZ. (2)由正弦定理，得 sin Acos 2Bsin Acos Bsin Bsin A. 0A 2，sin A0，cos 2Bcos Bsin B， 即(cos Bsin B)(cos Bsin B)cos Bsin B， (cos Bsin B)(cos Bsin B1)0， 故 cos Bsin B0 或 cos Bsin B1. B 为锐角三角形的内角，B 4. A
18、C3 4 ， 0A 2， 03 4 A 2， 解得 4A 2. 3 4 2A 4 5 4 ， 2 2 sin 2A 4 2 2 ， f(A)的取值范围为 1 2， 1 2 . 感悟升华解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三 角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图像和性质 的综合应用. 【训练 3】已知函数 f(x)2sin x( 3cos xsin x)1，xR. (1)求曲线 yf(x)的对称中心； (2)在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 f A 2 2，a 3，若 bcka 恒成立，求正整数 k 的最
19、小值. 解(1)由题意得，f(x)2 3sin xcos x2sin2x1 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 . 令 2x 6k(kZ)，得 x 12 k 2 (kZ). 曲线 yf(x)的对称中心为 12 k 2 ，0 ，其中 kZ. (2)f A 2 2，2sin A 6 2，sin A 6 1， 又 6A 6 2 3 ，A 6 2，解得 A 3. 由正弦定理，得bc a sin Bsin C sin A 2 3 3 (sin Bsin C)2 3 3 sin(AC)sin C 2 3 3 3 2sin C 3 2 cos C 2sin C 6 . 在锐角三角形 ABC 中，C
20、 6， 2 ， C 6 3， 2 3 ，sin C 6 3 2 ，1 . 于是bc a 2，k2，正整数 k 的最小值为 2. A 级基础巩固 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为() A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km 答案A 解析如图，在ABC 中，由已知可得ACB45， AC sin 60 2 sin 45， AC2 2 3 2 6(km). 2.如图，在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是 30，60，则塔高为() A.400 3 mB.400 3 3 m
21、C.200 3 3 mD.200 3 m 答案A 解析设山顶为 A，塔底为 C，塔顶为 D，过点 A 作 CD 的垂线，交 CD 的延长 线于点 B(图略)， 则易得 AB BC tan 60， BDABtan 30 BC tan 60tan 30 200 3 3 3 200 3 (m)，所以 CDBCBD200200 3 400 3 (m)，故选 A. 3.如图，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45，在它 的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30， AB的距离是84 m， 则塔高为() A.24 mB.12 5 mC.12 7 mD.36 m 答案C 解析设塔高 CDx m， 则
22、 ADx m，DB 3x m. 在ABD 中，利用余弦定理，得 842x2( 3x)22 3x2cos 150，解得 x 12 7(负值舍去)，故塔高为 12 7 m. 4.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河 流的宽度 BC 等于() A.240( 31)m B.180( 21)m C.120( 31)m D.30( 31)m 答案C 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中，CD AD tanACD 60 tan 3060 3(m)， 在 RtABD 中，BD AD tanABD 60 ta
23、n 75 60 2 3 60(2 3)(m)， BCCDBD60 360(2 3)120( 31)(m). 5.(多选题)(2020海南调研)如图，ABC 的三个内角 A，B，C 对 应的三条边长分别是 a，b，c，ABC 为钝角，BDBA，cos 2 ABC 7 25，c2，b 8 5 5 ，则下列结论正确的有() A.sin A 5 5 B.BD2 C.53D.CBD 的面积为4 5 答案AC 解析由 cos 2ABC 7 25，得 2cos 2ABC17 25，又ABC 为钝角，解 得 cosABC3 5， 由余弦定理得 64 5 a244a 3 5 ， 解得 a2， 可知ABC 为等腰
24、三角形，即 AC，所以 cosABCcos 2A(12sin2A)3 5，解得 sin A 5 5 ，故 A 正确；可得 cos A 1sin2A2 5 5 ，在 RtABD 中， c ADcos A， 得 AD 5， 可得 BD AD2AB2 541， 故 B 错误， CDbAD8 5 5 53 5 5 ， 可得 3 5 5 5 3 5， 可得 53， 故 C 正确， 所以 S BCD1 22 3 5 5 5 5 3 5，故 D 错误.综上知，应选 AC. 二、填空题 6.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处， 且 A 到 C 的距离为 2 km， B 船在灯塔 C 北偏西 40，A，B
25、两船的距离为 3 km，则 B 到 C 的距离为_km. 答案61 解析由条件知，ACB8040120，设 BCx km， 则由余弦定理知 9x244xcos 120，x0，x 61. 7.一船自西向东匀速航行， 上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75， 距灯塔 68 n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则此船航行的速度为 _n mile/h. 答案 17 6 2 解析如图， 由题意知MPN7545120， PNM45. 在PMN 中， MN sin 120 PM sin 45， MN68 3 2 2 2 34 6(n mile). 又由 M 到 N 所
26、用的时间为 14104(h)， 此船的航行速度 v34 6 4 17 6 2 (n mile/h). 8.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 A，B 两点， 从 A，B 两点分别测得树尖的仰角 30，45，且 A，B 两点 间的距离为 60 m，则树的高度为_m. 答案3030 3 解析在PAB 中，PAB30，APB15，AB60 m， sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 ， 由正弦定理得 PB sin 30 AB sin 15， 所以 PB 1 260 6 2 4 30( 6 2)(m)， 所以树
27、的高度为 PBsin 4530( 6 2) 2 2 (3030 3)(m). 9.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 答案100 6 解析由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB 45. 又 AB600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30， 解得 BC300 2(m). 在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 3 3 100 6(m). 三、解答题 10
28、.(2021烟台模拟)在ADC 6，S ABC2 这两个条件 中任选一个，补充在下面的问题中.如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC3 4 ，BACDAC，_，CD 2AB4，求 AC. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 解若选择，设BACCAD， 则 0 4，BCA 4， 在ABC 中，由正弦定理得 AC sinABC AB sinBCA， 即 AC sin 3 4 2 sin 4 ，所以 AC 2 sin 4 ， 在ACD 中， AC sinADC CD sinCAD， 即 AC sin 6 4 sin ，所以 AC 2 sin ， 所以 2 sin 2 sin 4 ，解
29、得 2sin cos ， 又 0 4，所以 sin 5 5 ，所以 AC 2 sin 2 5. 若选择，SABC1 2ABBCsinABC 1 22BCsin 3 4 2，所以 BC2 2， 由余弦定理可得 AC2AB2BC22ABBC cosABC48222 2 2 2 20， 所以 AC 202 5. 11.如图，已知扇形的圆心角AOB2 3 ，半径为 4 2，若点 C 是 上的一动点(不与点 A，B 重合). (1)若弦 BC4( 31)，求的长； (2)求四边形 OACB 面积的最大值. 解(1)在OBC 中，BC4( 31)，OBOC4 2， 所以由余弦定理得 cosBOCOB 2O
30、C2BC2 2OBOC 3 2 ， 所以BOC 6， 于是的长为 64 2 2 2 3 . (2)设AOC， 0，2 3 ，则BOC2 3 ， S四边形OACBSAOCSBOC 1 24 24 2sin 1 24 24 2sin 2 3 24sin 8 3cos 16 3sin 6 . 由于 0，2 3 ，所以 6 6， 5 6 ， 当 3时，四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3. B 级能力提升 12.(多选题)(2021重庆调研)如图，ABC 的内角 A，B，C 所对的 边分别为 a，b，c，若 ab，且 3(acos Cccos A)2bsin B，D 是ABC 外一点，DC1，
31、DA3，则下列结论正确的是() A.ABC 是等边三角形 B.若 AC2 3，则 A，B，C，D 四点共圆 C.四边形 ABCD 面积最大值为5 3 2 3 D.四边形 ABCD 面积最小值为5 3 2 3 答案AC 解析 3(acos Cccos A)2bsin B， 3(sin Acos Csin Ccos A)2sin2B， 即3sin(AC) 3sin B2sin2B，由 sin B0，可得 sin B 3 2 ，B 3或 2 3 ， 又 ab，BCABACB 3 ，故 A 正确；若 A、B、C、D 四点共圆， 则四边形对角互补；由 A 正确知D2 3 ，若 AC2 3，在ADC 中，
32、DC 1，DA3，cosDDC 2AD2AC2 2DCAD 1 232（2 3）2 213 1 3cos 2 3 ，故 B 错误；等边三角形 ABC 中，设 ACx(x0)，在ADC 中，由余弦定理，得 AC2 AD2CD22ADCDcosD，把 AD3，DC1 代入上式，得 x2106cos D，S 四边形SABCSACD1 2xxsin 3 1 23sinD 3 4 x23 2sinD 3sin D 3 5 3 2 ，D(0，)， 3 2 sin D 3 1，四边形 ABCD 面 积的最大值为5 3 2 3，无最小值，故 C 正确，D 错误. 13.在ABC 中，D 为 BC 的中点，若
33、BD1，B 4，cosADB 3 5，则 AB _，sinCAD_. 答案4 2 2 5 25 解析因为 cosADB3 5， ADB 2， 所以 sinADB4 5， 所以 sinBAD sin ADB 4 2 2 sinADB 2 2 cosADB 2 10.在ABD 中，根据正弦定理 AB sinADB BD sinBAD AD sin B，可得 AB4 2，AD5.因为 cosADCcos ADB3 5，所以 sinADC 4 5.在ADC 中，根据余弦定理可得 AC 2AD2CD2 2ADCDcosADC20，故 AC2 5.根据正弦定理 CD sinCAD AC sinADC，解
34、得 sinCAD2 5 25 . 14.某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B 分别是海岸线 l1，l2 上的三个集镇，A 位于 O 的正南方向 6 km 处，B 位于 O 的北偏 东 60方向 10 km 处. (1)求集镇 A，B 间的距离； (2)随着经济的发展，为缓解集镇 O 的交通压力，拟在海岸线 l1， l2上分别修建码头 M，N，开辟水上航线.勘测时发现：以 O 为圆 心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行.请确定码头 M，N 的位 置，使得 M，N 之间的直线航线最短. 解(1)在ABO 中，OA6，OB10，AOB120， 根据余弦定理得 AB2OA2OB22
35、OAOBcos 120621022610 1 2 196， 所以 AB14.故集镇 A，B 间的距离为 14 km. (2)依题意得，直线 MN 必与圆 O 相切. 设切点为 C，连接 OC(图略)，则 OCMN， 设 OMx，ONy，MNc， 在OMN 中，由 1 2MNOC 1 2OMONsin 120， 得1 23c 1 2xysin 120，即 xy2 3c， 由余弦定理，得 c2x2y22xycos 120 x2y2xy3xy，所以 c26 3c，解 得 c6 3， 当且仅当 xy6 时，c 取得最小值 6 3. 所以码头 M，N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时，M，N 之间的直线航线最短，最 短距离为 6 3 km.
