1、课课题：函数的单调性题：函数的单调性 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上） 授课教师：授课教师： 北京景山学校北京景山学校许云尧许云尧 【教学目标教学目标】 1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象 和定义判断、证明函数单调性的方法 2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观 察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的 推理论证能力 3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思 维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到
2、一般，从感性到理性的认知过程 【教学重点教学重点】函数单调性的概念、判断及证明 【教学难点教学难点】根据定义证明函数的单调性 【教学方法教学方法】教师启发讲授，学生探究学习 【教学手段教学手段】计算机、投影仪 【教学过程教学过程】 一、创设情境，引入课题一、创设情境，引入课题 为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了 2002 年 到 2006 年每年这一天的天气情况， 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气 温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2
3、)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化 规律，对我们的生活是很有帮助的 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等 归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值 是变大还是变小 设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣 二、归纳探索，形成概念二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数 的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的 定义，今天我们的任务首先就是建立函数单
4、调性的严格定义. 1 1借助图象，直观感知借助图象，直观感知 问题问题 1 1：分别作出函数：分别作出函数 x yxyxyxy 1 , 2, 2 2 的图象，并且观察的图象，并且观察 自变量变化时，函数值的变化规律？自变量变化时，函数值的变化规律？ 预案：(1)函数2 xy，在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数 2xy，在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小 (2)函数 2 xy ，在), 0 上 y 随 x 的增大而增大，在)0 ,(上 y 随 x 的增大 而减小 (3)函数 x y 1 ，在), 0( 上 y 随 x 的增大而减小，在)0 ,(上 y 随 x 的增大 而减小 引
5、导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定 义域内某个区间而言的，是函数的局部性质 问题问题 2 2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗? ? 预案：如果函数( )f x在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们 说函数( )f x在该区间上为增函数；如果函数( )f x在某个区间上随自变量 x 的增 大，y 越来越小，我们说函数( )f x在该区间上为减函数 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述 性的认识 设计意图 从图象直观感知函数单调性， 完成对函数单调性的第一次
6、认识第一次认识 2 2抽象思维，形成概念抽象思维，形成概念 问题问题 1 1：如图是函数如图是函数)0( 2 x x xy的图象的图象, ,能说出这个函数分别在哪个区能说出这个函数分别在哪个区 间为增函数和减函数吗？间为增函数和减函数吗？ 学生的困难是难以确定分界点的确切位置 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时 不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究 设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性 问题问题 2 2：如何从解析式的角度说明：如何从解析式的角度说明 2 )(xxf 在在), 0 上为增函数？上为增函数？ 预案： (1) 在给
7、定区间内取两个数， 例如 2 和 3， 因为 2232， 所以 2 )(xxf 在), 0 上为增函数 (2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以 2 )(xxf在), 0 为增函数 (3) 任 取 2121 ), 0,xxxx且, 因 为0)( 2121 2 2 2 1 xxxxxx, 即 2 2 2 1 xx，所以 2 )(xxf在), 0 上为增函数 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学 生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举， 从而引导学生在给定的区间内任 意取两个自变量 21,x x 设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念 的
8、第二次认识第二次认识 事实上也给出了证明单调性的方法， 为第三阶段的学习做好铺垫. 问题问题 3 3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? ? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义 (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题： 是增函数所以函数因为已知)(),2() 1(, 1 )(xfff x xf 若函数上为增函数，在区间则函数满足 32)(),3()2()(xfffxf 若函数)(xf在区间2 , 1 (和(2,3)上均为增函数，则函数)(xf在区间(1,3)上 为增函数 因为函数 x xf 1 )(在区间)
9、, 0()0 ,(和上都是减函数，所以 x xf 1 )(在 ), 0()0 ,(上是减函数. 通过判断题，强调三点： 单调性是对定义域内某个区间而言的， 离开了定义域和相应区间就谈不上 单调性 有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某 些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数) 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函 数在BA上是增（或减）函数 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通 过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识
10、第三次认识. 三、掌握证法，适当延展三、掌握证法，适当延展 例 1 证明函数 x xxf 2 )(在),2(上是增函数 1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流 证明：任取 2121 ),2(,xxxx且,设元 ) 2 () 2 ()()( 2 2 1 121 x x x xxfxf求差 ) 22 ()( 21 21 xx xx变形 21 12 21 )(2 )( xx xx xx ) 2 1)( 21 21 xx xx 21 21 21 2 )( xx xx xx , ,2 21 xx 断号 , 2, 0 2121 xxxx , 0)()( 21 xfxf即),()( 21
11、 xfxf 函数 x xxf 2 )(在),2(上是增函数定论 2归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论 练习：证明函数xxf)(在), 0 上是增函数 问题：除了用定义外，如果证得对任意的),(, 21 baxx，且 21 xx 有 0 )()( 12 12 xx xfxf ，能断定函数)(xf在区间),(ba上是增函数吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明 函数xxf)(在), 0 上是增函数 设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤了解等价形 式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔
12、四、归纳小结，提高认识四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师 生合作共同完成小结 1小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性 (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论 (3) 数学思想方法：数形结合 2作业 书面作业：课本第 60 页习题 2.3 第 4，5，6 题 课后探究：研究函数)0( 1 x x xy的单调性 函数的单调性教学设计说明函数的单调性教学设计说明 一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质， 是函数学 习中第一个用数学符号语言刻画的概念， 为进一步学习函数
13、其他性质提供了方法 依据 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面： （1）用准确的数学符号 语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一 的学生是比较困难的； （2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数 论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的根据以上的分析和 教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平， 从三个不同的方面确定了教学目标 重视单调性概念的形成过程和对概念本质的 认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出 语言表达能
14、力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成 三、教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方 法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法本节课使 用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生 对问题的理解和认识 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标， 突出重点， 突破难点， 教学上采取了以下的措施： （1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性 到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识 不断深入 （2）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明 函数单调性的方法和步骤 （3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进 行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔
