1、第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角 函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数 学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理 量力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体 现了数学和物理的天然联系。 向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物 理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的 应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数 学模型，所以本节内
2、容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中，学生将了解 平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和 解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧 知识作为新知识的固着点和生长点， 在探究向量的几何表示时让学生经历以物理 中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示 以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不 仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一 身的特性。通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在 基本概念的学习
3、中， 要让学生体验概念的生成过程， 获得这些概念的 “基本思路” 即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现 实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向 量的实际背景； 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零 向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平 行，共线，相等向量。 4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的 内容与方法的启发，再一次体 会研究一类新的数学问题的基本思路 学生已经学习
4、过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要 的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量 的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必 要的。 要实现“理解”向量的基本概念的目标，莫过于让学生参与概念形成的全过 程，让学生感受因解决问题的需要，需要学习新的量，接着就要表示这个量，研 究其特殊元素，特殊关系是水到渠成的事情。 三、教学问题诊断分析 学生在物理学科中已经知道重力，弹力，摩擦力，位移，速度等是既有大小 又有方向的物理量即矢量，知道借助有向线段来作力的图示，经历并了解了实数 的形成过程，针对实际生活中一些常见的量，能识别是
5、否具有大小，方向。 在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题，提出问题并解决问题。但是 学生在思维辨析方面还是比较薄弱， 比如在对向量的长度而不是向量本身进行度 量时， 教师需要适度进行引导， 要进行正反面的辨析， 深刻理解向量的本质属性。 本节课的难点在于：在向量相关概念的形成过程中，如何让学生获得研究新的数 学对象的基本方法，基本思路。 要突破这一难点需要学生思维的灵活性和思考的主动性，在教学过程中采取 目标导学，自主探究，问题引领， ，合作交流的教学方式。 四、教学过程设计 通过以下四个环节完成教学任务： （一）创设情境，抽象定义； （二）自主学习，认识概念； （三）概念辨析，体验概念；
6、 （四）自主梳理，归纳小结。 教学过程： 1抽象定义 要学习平面向量的概念，要先回顾数量的相关知识，物理中位移，力， 速度等相关知识，在学生的已有知识基础上开始新知识的学习。 情境创设： （了确定一名同学的分组需要，设置一个游戏） 游戏规则： 由一个小组出两名组员，一个人蒙眼睛原地转三圈，在另一名组员的指 挥下，30 秒内找到目标该组就算赢，否则对方组赢。 设计意图：以学生生活中的问题为背景设置此游戏，不仅解决了学生的分组问 题，同时让学生感受在确定位置时方向的重要性， 同时渗透德育教育。 提问：你遇到过需要确定物体位置的问题？你是怎么解决的呢？物理学科 中是如何确定相对位置的呢？ 设计意图：
7、启发学生思考数学与生活的联系，顺势引导学生回忆物理学科的知 识。 问题 1你能否举出一些既有大小又有方向的量？ 设计意图：让学生感受向量丰富的实际背景及物理背景，明白向量是生活中客观 存在的，它是从实际背景中抽象出来的一个数学概念，研究它是很自然的事情。 学生通过从正反两方面举例，对比体会向量与数量的区别，明确向量的本质，渗 透“数学抽象”的能力。 简要介绍向量的发展史 设计意图：了解向量的发展历程，调动大家的学习热情，激发大家的学习欲 望，加强学生对数学史的了解。 2、认识概念 请大家共同回忆“学习数量的过程” ，对照学习目标，阅读课本 P74-76（自 主学习阶段） 设计意图：通过自主阅读
8、，学生能自己根据学习目标完成一部分概念的学习，通 过引导大家回忆“学习数量的过程” ，让大家明确研究向量基本概念的基本套路。 3、理解概念 结合学案上的问题尝试研究向量的基本概念（小组合作交流，展示） 。 问题 2数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表 示出来。 设计意图：让学生体验向量表示方法的探究过程，明确向量的几何表示，在展示 中可以锻炼学生的数学语言表达能力，提升自信。 问题 3 向量是个大家庭，就像每个人都有名字一样，这个家庭中的每一个向量 都有了名称，那么你认为在所有向量组成的家庭中，哪些向量比较特殊？它们的 特殊性体现在哪？ 设计意图：让学生能从向量的本质
9、属性要素入手，发现向量中的特殊元素。 问题 4.设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心， 将图中的一些线段加上箭头表示向量， 并说说你所标注的向量之间的关系。 （交流时请说明：你画了哪几个向量？你认 为他们有怎样的关系？） 设计意图：借助一个图形研究向量间的特殊关系，能够让学生从线段间的关系自 然过渡到向量间的关系的研究上来，使得关系的探究过程更顺畅，同时可以锻炼 学生的直观想象能力。 4.向量概念的认识（对概念的体验） 例 1.判断下面结论是否正确（正确的在括号内打“” ，错误的打“” ） ，并说 明理由。 （1）对向量ba,，若ba ，则ba ； （） （2）A,B,C,D 四点不共线，
10、若CDAB ,则四边形 ABCD 是平行四边形； （） （3）若,cbba则; ca （） （4）若,/,/cbba则;/ca（） （5）若ba,都是单位向量，则ba ； （） （6）方向为难偏西 60的向量与北偏东 60的向量是共线向量。 （） 设计意图：通过例 1，让学生体验对于向量概念的认识程度，在点评讲解中，加 深对于概念的理解。 5.课堂小测（向量概念的巩固） （1）判断下面结论是否正确（正确的在括号内打“” ，错误的打“” ） 。 a与b共线，b与c共线，则a与c也共线（） 。 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点（） 。 ;23,baba则（） 。 若ba/，
11、 则a与b的方向相同或相反（） 。 （2）如图，D，E，F 分别是ABC 各边的中点，试写出图中与相等的向量 设计意图：通过检测，让学生明确自己对于概念的掌握程度，及时补足。 平面向量的概念 表示方法特殊对象特殊关系 几 何 表 示 法 字 母 表 示 法 向 量 的 模 零 向 量 单 位 向 量 平 行 （ 共 线 ） 向 量 相 反 向 量 相 等 向 量 6、小结： 你能否画个图，把今天学习的内容梳理一下？ 设计意图：本节课概念比较多，通过图示梳理比较清晰，而且能够帮助大家明 确概念课学习的基本思路。从同类具体事物中抽象出共同本质特征-下定义- 符号表示-认识特殊对象-考察某些特殊关系
12、。 6. 教师小结： 今天我们引入了一个新的量-向量，已经学习了它的基本概念，表示，特 殊元素以及特殊的关系。 每引入一个新的量就会随之学习它的运算， 运算律，应用等等内容. 设计意图：知识框图起到本章“导游图”的作用，让学生明确方向，研究内容， 体会研究一类问题的基本思路。 7.作业：1、课本 P77.2.3.5.6。 2、 请大家自行阅读课本 P78117 页， 尝试作出本章的思维导图 （周五前完成） 。 3、拓展阅读：P78 ，建议大家上网自行查阅向量的起源以及向量在各个领域 的应用。 （网络资源：1.中国期刊网 http:/ (知网) 2.向量计算器 http:/wims.unics.fr/wims/en_toollinearvector.en.html.deng) 设计意图：通过课本练习巩固本节内容，此外本节课是第二章的起始课，通过 阅读并作思维导图，让学生能了解本章将要学习的主题内容，同时期望学生能与 已学的知识建立联系，便于后续学习。提供网络资源，让学生能够学会自主查阅 资料，搜索信息的能力）
