1、2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教材：人教 A 版高中数学必修 1 云南省昆明市官渡区第二中学田红月 【教材分析】【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修 1 第三章第一节，属于概念定理课。 “函数与方程”这 个单元分为两节， 第一节： “方程的根与函数的零点” ， 第二节： “用二分法求方程的近似解” 。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点 概念；二是进一步让学生理解： “函数( )yf x零点就是方程( )0f x 的实数根，即函数 ( )yf x的图象与x轴的交点的横坐标”
2、 ； 三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数( )yf x在区间,a b上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间,a b内有零点，即存在,ca b，使得 ( )0f c ，这个c也就是方程( )0f x 的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开， 从而使之函数与方程紧密联系 在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接 以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】【教学目标】 1.理解函数零点的概念
3、；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、 探究零点存在的判定方法， 提高学生善于应用所学知识研 究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数” “形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌 握“数形结合”的方法。 【学情分析】学情分析】 1.1.学生具备的知识与能力学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、 一元二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2.2. 学生欠缺的知识与能力学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现
4、的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 来. 【重点难点】【重点难点】 重点：零点的概念；零点存在的判定方法。 难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系） ，零点存在判定方法的探究及 应用（体现判定方法：条件、结论、应用） 。 【教学策略】【教学策略】 引导学生用联系的观点理解有关内容， 从二次函数入手， 使学生了解函数零点的概念及 零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。 通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。 本节学习的主要载体是函数图象。 为了使学生构建一个从具体到抽象的过程， 除了二次 函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理
5、的理解，提高课堂 效率。注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深， 逐步突破重点和难点。 【教学流程】【教学流程】 教学环节教学环节教师活动教师活动预设学生活动预设学生活动设计意图设计意图 一一 创设情境创设情境 激发兴趣激发兴趣 借鉴历史 将 数 学 史 融 入教学之中 知识之谐 情感之悦 问题问题 1 1： 方程032 2 xx是否 有实根？若有，有几个？ 观察、思考， 试用已知判断一元二次方程的根个数的方法 解决 回顾旧知识， 引出新概念 二二 回顾旧知回顾旧知 引入概念引入概念 一元二次方程的根与一元 二次函数的图象之间的关 系 方程032 2 xx 有
6、两个实根， 1 1 x，3 1 x 函数32)( 2 xxxf 图象与x轴有2个交点)0 , 1(，)0 , 3( 从 熟 悉 的 情 境 中 发 现 新 知识 一般函数的图象与方程的 根的关系 方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标 将 结 论 由 特 殊 推 广 到 一 般 对于函数)(xfy ，我们 把使0)(xf的实数x叫 做函数)(xfy 的零点。 方程0)(xf是否有解等价于函数)(xfy 是否存在零点 函数的零点是数不是点 观察归纳 形成概念 辨析讨论，深化关系 方程有实数根 函数)(xfy 的图象与x轴有交点 函数)(xfy 有零点 利 用 函 数 图 象 直 观 的 特 点，
7、进一步突 破 函 数 零 点 与 方 程 根 相 互 转 化 这 一 难点。加深学 生 对 方 程 的 根 与 函 数 零 点的理解。 问题问题 2 2：你能从下列函数图 象中分析出函数有几个零 点吗？ 你能给你的同桌画一个函 数图象， 让他分析一下函数 的零点个数？ 函数图象与x轴有几个交点， 函数就有几个零 点 三三 探究判定探究判定 提炼方法提炼方法 问 题问 题 3 3 ： 请 找 出 函 数 32)( 2 xxxf的零点 在哪个区间内？并讨论区 间端点函数值的符号关系。 找到零点1，3 所在的区间，随着 区间的扩大，端点 函数值的符号由异 号变成同号 给 学 生 提 供 探究情境,让
8、 学 生 自 己 发 现 并 归 纳 结 论 观察下图， 思考上述规律是 否具有一般性？ 0)()(bfaf，,ba上有零点 0)()(efaf，,ea上有零点 0)()(cfaf，,ca上有零点 0)()(dfcf，,dc上无零点 从 二 次 函 数 拓 展 到 一 般 函数，让学生 归 纳 出 函 数 零 点 存 在 的 条件。 四四 应用判定应用判定 掌握方法掌握方法 问题问题 4 4： 若函数)(xf在,ba上满 足0)()(bfaf， 则)(xf 在),(ba内 一 定 有 零 点 吗？ 利 用 具 体 图 像 ， 通 过 观 察、对比，加 深 对 函 数 必 须 连 续 的 理 解
9、 正例巩固 反例强化 探究发现零点存在判定的 方法 零点存在的判定方法： 条件：函数)(xf的图象在,ba上连续； 0)()(bfaf； 结论：)(xf在),(ba内存在零点 归 纳 总 结 判 定方法，揭示 本质 及时应用 巩固新知 跟踪训练 1.函数12)( x xf的零点是. 2.判断函数xxxxf384)( 23 在下列区 间内是否有零点？ (1) 1 , 1(2)2 , 1 ( 分层训练 体现变式 问题问题 5： 在此判定中， 结论能推条件 吗？即若)(xf在),(ba内 存在零点，是否一定要有 0)()(bfaf？ 反例强化 判定解析 零点存在的判定方法主要用来判定函数在某 个区间
10、上是否存在零点，且此判定不可逆用 通过辨析，体 现 思 维 的 深 刻性 强化零点存在的判定方法 的理解 求函数62ln)(xxxf的零点的个数 利 用 已 学 知 识解决问题， 提 高 学 生 解 决 问 题 的 能 力。 存在性探究：利用零点存在性定理探索函数 62ln)(xxxf的零点个数，所在区间。 不同的学生可能找到不同的区间 零 点 存 在 性 定 理 的 初 步 应用，为二分 法埋下伏笔 唯一性探究：判定函数的单调性 用定义证明)(xf在), 0( 上单调 复合函数法 图象法 培 养 学 生 养 成 严 密 的 思 维习惯，严谨 的学习态度。 几 何 画 板 画 出 函 数 62
11、ln)(xxxf的图象 函数62ln)(xxxf的图象是否与x轴 有且只有一个交点 0 x？几何画板作图证实。 强 化 学 生 对 函 数 零 点 的 直观认识 五五 概括总结概括总结 分层作业分层作业 本节课我们学习了哪些知 识？掌握了哪些方法？体 会了哪些思想？ 知识： 零点的概念， 方程的根与函数零点的 关系。 连续函数零点存在性定理。 方法：数形结合（数缺形时少直观，形缺数时 难入微） ，等价转化 思想：特殊到一般，具体到抽象 开放式小结， 使 不 同 的 学 生 有 不 同 的 学 习 体 验 和 收 获 . 引 导 学 生 主 动 建 构，形成知识 体系； 作业布置 必做题：第 88 页 第 1（1）第 2 题（4） ； 第 92 页第 2 题 选做题：第 2 题（2） （3） ； 思考:若函数)(xfy 在某个区间内有零点, 如何求出这个零点? 根 据 不 同 层 次 学 生 的 学 习能力，分层 布置作业.拓 展 学 生 的 自 主发展空间. 板书设计板书设计 3.1.1 方程的根与函数的零点 1.零点的概念 2.函数零点方程的根函数图像与x轴交 点的横坐标。 3.零点存在定理： 条件：函数)(xf的图象在,ba上连续； 0)()(bfaf； 结论：)(xf在),(ba内存在零点 4.问题解析 5.课堂练习 6.小结 7.作业
