1、二项式定理（一二项式定理（一） 教学设计教学设计 贵州省铜仁第一中学贵州省铜仁第一中学沈琦沈琦 一、教学内容解析一、教学内容解析 1.3.1 二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修 2-3 第一章 第三部分第一节的内容， 这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续， 也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用 到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变 量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、 近似计算 问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅
2、是初中多 项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在 组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数 学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学 生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通 过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重 视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项
3、公式，二项式 系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教学难点这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地 运用组合数的性质。 二、学情分析二、学情分析 学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的 归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问 题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课 二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程，提高学生分
4、析解决问题的能力。 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学 生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和 创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。 三、教学目标设置三、教学目标设置 1.1.知识技能目标知识技能目标 （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。 （3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并 能求出指定项。 2.2.过程与方法目标过程与方法目标 通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及 化归的意识与方法
5、迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。 3.3.情感、态度、价值观目标情感、态度、价值观目标 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数 学语言的简捷和严谨。 四、教学重点、难点四、教学重点、难点 重点重点：用两个计数原理分析 3 )(ba 的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的 通项公式；能应用它解决一些简单问题。 难点难点：用两个计数原理分析推导 3 )(ba 的展开式；用两个计数原理证明二项式定 理。 五、五、教学过程教学过程 教 学 程 序 问题设计意图师生活动 创 设 问 题 情 境 引 入 新 课 引出问题：如果今天是星期五，14 天后
6、的这 一天是星期几呢？23 天后的这一天呢？ 师生归纳：比如 23=73+2，所以 23 天后是 星期日。 算法：用各个数除以 7，看余数是多少， 再用五加余数来推算 师：再过 8 2016天后是星期几，你知道吗？ 不方便求出 8 2016 除以的余数，可以利用 8=7+1，得到 8 2016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究 * ()?() n abnN 提出问题激 发学生探索 欲望， 并引出 课题 让 学 生 用 计 算器计算 从特殊开始 由(a+b) 1=a+b (a+b) 2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b) 3=(a+b)2(a+b)=
7、? 结果： 33223 ()33abaa babb 体会多项式 乘法计算过 程,加深对因 式展开原理 的理解。 与 学 生 一 同 计算，得到计 算结果，为后 面做铺垫。 探究一：通过组合思想来分析(a+b) 3的展开 式)()()( 3 babababa展开后 项的形式为： 3223 ,babbaa 项的系数，考虑b， 3 a：每个都不取b的情况有 1 种，即 0 3 C, 则 3 a前的系数为 0 3 C ba 2 ： 恰有 1 个取b的情况有 1 3 C种， 则 ba 2 前 的系数为 1 3 C 2 ab： 恰有 2 个取b的情况有 2 3 C种， 则 2 b前 的系数为 2 3 C
8、3 b：恰有 3 个取b的情况有 3 3 C种，则 3 b前 的系数为 3 3 C所以 33 3 22 3 21 3 30 3 3 )(bCabCbaCaCba 考察学生对 因式展开的 各项形式及 系数的理解。 学 生 说 出 自 己的思路，老 师 做 分 析 与 讲 解 为 后 面 猜想做铺垫。 探究二：观察展开式中的项数、指数变化以 及系数变化， 你发现了什么？由此猜想 （a+b） 4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数 变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。 回答： 404132223344 44444 ()abC aC a bC a bC abC b 011 ()n nnrn
9、 rr nnn abC aC abC ab * () nn n C bnN 让学生通过 特例去观察 相同之处与 不同之处， 以 及不同之处 的处理方法， 从而提出猜 想。 学 生 先 观 察 总结特点： 1. 项 数 是 指 数加 1； 2.字母 a按降 幂排列，字母 b 按照升幂排 列，二者指数 之 和 是 二 项 式指数；3、 每 一 项 的 系 数 有 上 面 的 问题 2 给出， 这 很 好 的 突 破 了 本 节 的 难点。 探究三： 对于猜想 01122 2 (). nnnn nnn a bCaCa b Ca b . rn rrnn nn C abC b 我们如何进行证明呢？ 证明
10、： n ba)( 是 n 个)(ba相乘， 每个)(ba 在相乘时，有两种选择，选 a 或选 b，由分 步计数原理可知展开式共有 n 2项（包括同类 项） ， 其中每一项都是 rrn ba ), 1 , 0(nr的形 式， 对于每一项 rrn ba ， 它是由 r 个)(ba选 了 b，nr 个)(ba选了 a 得到的，它出现 的次数相当于从 n 个)(ba中取 r 个 b 的组 合数 r n C，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理 让学生体会 利用组合思 想从特殊到 一般， 对猜想 给出严谨的 证明过程。 并 理解如何用 “说理” 的方 式阐述证明 过程。 师 生 讨 论
11、证 明思路，通过 阅 读 课 本 上 的证明过程， 老 师 最 后 做 出方法归类， 提 示 学 生 证 明的思路。并 留 下 课 下 演 练 二 项 式 定 理 的 数 学 归 纳法证明。 思 考 观 察 学 习 新 课 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有 何特点，谁最具代表性？ (1)项：二项展开式共有1n项； (2)次数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字 母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：), 2 , 1 , 0(nkC k n (4)二项展开式的通项： 1k T= kknk n baC 考察学生的 观察力， 以及
12、分析问题的 能力。 学 生 继 续 总 结这三点，以 强 化 已 有 的 认识，同时老 师强调：二项 式系数，与二 项 展 开 式 系 数的区别。 特殊的情况 1.用-b 代替 b. 写出（） n ab的展开式 2.令 a=1,b=2x. 写出 5 12x（）的展开式 对二项式定 理的简单应 用， 同时也是 告诉学生二 项式定理在 解决问题时 的方法： 赋值 或是赋表达 式。 学 生 自 主 完 成，老师进行 检查，通过投 影 仪 将 学 生 的 结 果 进 行 展示，错误时 做 出 点 拨 与 分析。 破 解 疑 惑 今天是星期五, 再过 8 2016天后是星期几，你 知道吗？ 201620
13、16 8(7 1) 0 2016 20167C 1 2015 20167C 2015 20167C 2016 2016C 0 2015 2016 7(7 C 1 2014 20167C 2015 2016)C 1 即 8 2016除以 7 余数是 1。 故再过 8 2016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让 学生感受计 算的简单与 快捷， 增强对 数学学习的 热情， 学 生 提 出 解 决思路，老师 点评分析，怎 么才能被 7整 除好计算呢? 联 想 二 项 式 定 理 的 表 达 形式，问题得 到解决，留为 课下计算。 精 讲 精 析 巩 固 新 知 再探索对于 5 12x（）的展开式 思考
14、 1：展开式的第 2 项的系数是多少？ 思考 2：展开式的第 2 项的二项式系数是多 少？ 思考 3：你能否直接求出展开式的第 2 项？ 熟悉二项式 定理， 以及对 二项式系数， 展开式系数， 以及x的系数 问题的理解 与记忆。 教 师 板 演 过 程，给学生以 示范，为后面 步 骤 的 整 洁 做铺垫。 反 馈 练 习 课堂练习 1、求 6 (2)xy的展开式的第三项 2、求 6 (2 )yx的展开式的第三项 熟悉二项式 定理， 二项式 系数， 二项展 开式系数， 以 及通项的初 步应用， 理解 二项式展开 式的项的顺 序。 学 生 自 主 练 习，反馈教学 效果，老师巡 视 做 个 别 辅
15、 导。 课 堂 小 结 本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的 呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？ 让学生回顾 本节要点， 观 察学生掌握 情况。 学生说，教师 课件演示，并 强调：二项式 系 数 与 二 项 展 开 式 系 数 的区别。 布 置 作 业 课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固 本节课的所 学内容和知 识。 六、板书设计六、板书设计 1.3.1 二项式定理 )()( *110 NnbCbaCbaCaCba nn n rrnr n n n n n n (1)项：二项展开式共有1n项； (2)次数：各项的次数都等于 n； 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0； 字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n (3)二项式系数：), 2 , 1 , 0(nkC k n (4)二项展开式的通项： 1k T= kknk n baC 例题 1 例题 2 练习 1 练习 2 作业：课本 37 页 习题 1.3 A 组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 （根据课堂教学活动的推荐，反复使用。 ）
