1、课题：2.1.1 曲线与方程（第 1 课时） (人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 21 第二章第一节) 成都石室中学成都石室中学王远彬王远彬 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1 1教学内容教学内容 曲线与方程共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线 的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程本课时为第一小节内容 2 2地位与作用地位与作用 本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了 解析几何这门课的基本思想数形结合思想数形结合思想， 对解析几何教学有着指导性的意 义其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数 与形互化的
2、理论基础理论基础和操作依据 曲线与方程作为圆锥曲线与方程的第 一节， 一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上 对曲线与方程关系认识的一次飞跃飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程 奠定了模型的基础基础因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后承前启后的关键作用 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 本课时的教学目标是结合结合已学曲线及其方程的实例， 了解了解曲线与方程的对应 关系，进一步理解数形结合数形结合的基本思想具体目标如下： 1通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括感知并归纳概括曲线与 方程的对应关系； 2初步理解初步理解方程的曲线与曲线
3、的方程的含义； 3通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括抽象概括的能力； 4能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系， 继续理解数形结合思想数形结合思想 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 1 1问题诊断问题诊断 学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的 方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解但是从直线与 方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识从感性认识到理性认识的“飞 跃” ，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这 些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的
4、曲线）这一组概念有着较高的较高的 抽象性抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难： （1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线） 的概念时不规范，不全面； （2）难以理解 “曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的 点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用 2 2重难点重难点 重点：重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念 难点：难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解生成和理解 3.3.突出重点、突破难点的策略突出重点、突破难点的策略 本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的 规律， 使学生
5、在过程中感受数形结合， 从特殊到一般， 化归与转化的数学思想 具 体表现在： （1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将 “章头图” 、 “章导言”融入其 中，产生认知冲突产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性； （2）让学生经历“作图存异质疑寻因”的探究过程，感知方程的变 化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写独立书写交流讨论交流讨论 互动修正互动修正”生成概念； （3）学生自主举例，辨析辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化结构化” 四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 1 1学情分析学情分析 本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思
6、维 较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上 还有待进一步提升 2 2教学策略与教法、学法教学策略与教法、学法 本课采取“探究探究发现发现”教学模式 教师的教法教师的教法注重活动的安排和问题的引导， 通过问题引导学生从特殊到一般 进行探索发现，并归纳概括 学生的学法学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构 教具：教具：多媒体 PPT 课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔 学具：学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔 五、教学过程设计五、教学过程设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： 教学内容师生活动（预设预设）设计说明 一、创设情景，引入概
7、念一、创设情景，引入概念 播放一段和笛卡尔的传 说有关的广告视频 师： 不知大家有没有看过下面 这则广告？ 生（齐） ： （观看视频） 师：其实，这则广告的创意源 自于一位伟大数学家的爱情 传说，大家知道他是谁吗？ 优美的画面和音乐吸引 学生注意力， 富于文化的广告 创意调动学生的积极性， 暗藏 通过层层设问， 将学生从 视频逐步转移到对解析几何 用代数方法研究直线、 圆的回 顾 问题 1：诸如圆锥曲线这 类曲线能否像直线、 圆一样用 代数的方法进行研究呢？ 研究清楚曲线与方程之 间的关系， 将为我们用代数方 法研究几何图形提供可能 生（齐） ：笛卡尔 师：是的 那你了解笛卡尔 对数学的贡献吗
8、？ 生 1：他发明了直角坐标系， 创立了解析几何 师： 解析几何研究几何图形的 方法有何特点呢？你能结合 所学知识谈一谈吗？ 生 2：我们在必修 2中曾 经学习了直线、圆与方程，在 直角坐标系中用方程表示直 线、圆，然后使用代数的方法 对他们进行研究 师：大千世界，千奇百态！直 线， 圆都只是其中的一种曲线 （直线也可称之为特殊的曲 线） ，生活中我们还会遇到很 多其他的曲线， 比如下面动画 中的截口曲线 （教师通过PPT展示截口曲线 生成动画） 师：在这个动画中，你观察到 哪些曲线？ 生（齐） ：椭圆，抛物线，双 曲线 师：是的，它们统称为圆锥曲 线 公元前，古希腊数学家 阿波罗尼在他的圆锥
9、曲线 一书中便记载了他对圆锥曲 线的几何性质的研究， 后来一 千多年里人类对其的认识止 步于此 当时，这些研究都 是用的纯几何的方法， 那么诸 如圆锥曲线之类的曲线能否 像直线、 圆一样用代数的方法 来研究呢？ 生（齐） ：可以 师： 怎样展开对圆锥曲线的研 究呢？ 生（齐） ：在坐标系中找到圆 锥曲线的方程 师： 那就让我们先来研究曲线 与方程之间的关系吧！ 其中的故事情节激发学生的 思考和好奇心， 情景创设为引 入概念铺垫了良好的氛围 通过“问题引导”将学生 从视频， 转到解析几何研究问 题的方法上来， 再延伸到其他 曲线（如圆锥曲线）的研究方 法上来，形成认知冲突，让曲 线与方程的学习满
10、足合理性 和必要性 通过情景创设浸润数学 文化教育， 同时回顾了学生已 有相关知识和方法， 链接了本 章章导言和章头图， 形成了学 生学习上的认知冲突， 自然引 出本课主题 二、作图探究，形成概念二、作图探究，形成概念 探究活动: 请分别作出以下列方程的 解为坐标的点构成的图形: 1 2 20 1 y x ； 问题 2：两位同学作出的图 形之间的差异是什么原因引 起的？ 问题 3：改变图形，图形上 点的坐标满足的关系会发生 变化吗？ 请你对刚才的曲线与方程之 间的关系做一个总结 师：请大家按照要求作图 师：请你说说你的作图过程 生 3：先化简为2yx，它表 示直线，取出直线上两点 （0,0）
11、， （1,2） ，连线作出这 条直线 师：有不同意见吗？ 生 4：应该去掉直线上的点 (1,2)才对 师：为什么呢？ 生 4：因为点(1,2)的坐标不满 足方程 2 20 1 y x 师： 好！ 你关注到了点的坐标， 那么点（1,2）的坐标和方程 2yx是什么关系？这个坐 标和方程 2 20 1 y x 是什么 关系呢？ 生 4：点（1,2）的坐标是方程 2yx的 解 ； 不 是 方 程 2 20 1 y x 的解 （学生回答，教师板书） 师： 刚才两位同学的图形不一 样是什么原因造成的？ 生（齐） ：方程 师：方程的区别在哪里？ 生（齐） ：方程的解 师： 那么如果我将这支曲线擦 除部分，
12、新得到的曲线上的点 又满足怎样的关系式呢？ （教师在黑板上将点（1,2） 左下方下方抹去） 生（齐） ：2 (1)yx x 师：改变图形，方程发生了怎 样的变化 生（齐） ：范围改变 师： 你根据刚才的探究进行总 结 生 5：方程改变，曲线也在改 变 探究活动的素材较好地 起到了 “先行组织者” 的作用 学生已具有识别直线方 程、 圆的方程的知识基础在 此认知基础上， 通过引导学生 作图、观察、分析已有两个事 例，感受和体会从特殊到一 般，数形结合的思想方法 通过教师的引导让学生 感知方程的不同导致曲线的 不同，教师再适时地改编曲 线，导致方程的不同 让学 生多角度体验曲线与方程之 间的关系
13、探究活动: 请分别作出以下列方程的 解为坐标的点构成的图形: 1 2 20 1 y x ； 2 2 10 xy 问题 4：为什么你作出来的 图形是一个半圆？引起作出 图形有差异的原因是什么？ 教师适当小结， 请学生根据 自己感受书写曲线与方程 （方 程与曲线）的概念 曲线的方程（方程的曲线） 的概念： 一般地， 在直角坐标系中， 如果某曲线 C 上的点与一个 二元方程( , )0f x y 的实数解 建立了如下的关系： 曲线上的点的坐标都 是这个方程的解； 以这个方程的解为坐 标的点都是曲线上的点， 那么， 这个方程叫做曲线的曲线的 方程方程； 这条曲线叫做方程的曲方程的曲 线线（图形） 问题
14、 5： 结合今天所学知 识，你是如何认识直线的方 程，圆的方程这两个已学概 念？ 师：大家做得非常好！接下来 请完成第二个方程 （学生独立完成， 时间 2 分钟 左右） 师：请看这位同学的图形，正 确吗？为什么？ 生 6：不正确，因为圆的左半 部分不符合要求 师： 什么原因导致产生了两个 不同的图形呢？ 生 6：x的取值范围，方程的 解 师： 方程的解的不同直接导致 曲线的不同 师： （指着黑板说）如果曲线 与方程满足类似的对应关系， 我们就称曲线是方程的曲线， 这 个 方 程 就 是 曲 线 的 方 程 你能归纳出曲线的方程 （方程的曲线） 这一概念的要 点吗？请把它写在草稿本上 生： （先
15、独立书写，再小组讨 论归纳 2-3 分钟 ） 师： 请说一说你对曲线的方程 （方程的曲线）下的定义 生 7：我认为要满足曲线的方 程（方程的曲线） ，必须满足 以下两条：1曲线上的点的 坐标都是方程的解；2以方 程的解为坐标的点都在曲线 上 师：很准确！ （板书学生所述内容， 并作适 当规范） 师： 你能举例说明为什么要用 两个限制条件呢？可以缺某 一个吗？ 生 8：（预设学生会在刚刚的例 子中选择） 师： 能举一个不满足第二个限 制条件的例子吗？ 生 9：（预设学生会在刚刚的例 子中选择） 圆的方程的学习使得学 生在独立完成作图有了基础， 但是对于方程的变化没有保 证同解导致的曲线差异这一
16、现象的本质，学生上不太明 白， 教师引导学生继续感知曲 线与方程之间的关系 概念属性的归纳在 两则事例的基础上进行属性 的分析、比较、综合，归纳不 同例证的共同特征 引导学 生通过刚才对具体事例观察、 分析， 抽象概括共同的本质属 性，归纳得出数学概念 用代数、 几何的语言刻画 和表达一种数学现象， 是数学 学习的基本任务 概念的明确与表示 下定义， 给出准确的数学语言 描述； 对概念的辨析， 通过学生 举反例来达成对概念的深入 理解 概念的“结构化” ，对概 师：直线的方程，圆的方程这 些概念用今天所学知识该如 何理解？ 生 10： 我认为直线的方程， 圆 的方程的概念和曲线的方程 这一概念
17、是一致的， 直线也算 特殊的曲线， 圆也算曲线的一 种 师： 是的你能举例说明吗？ 生 10 ： 比 如 说 “ 直 线 210 xy ” 表 示 方 程 210 xy 的直线 念生成并做了适当辨析和理 解后， 需要将概念与以前的学 习进行联系 三、正反实例，应用概念三、正反实例，应用概念 例 1 曲线 C： 到 x 轴距离等 于 1 的点形成的轨迹，写出 C 的方程 例例 2 下列说法是否正确？ 并说明理由： （1）点(0,1),( 1,0),AB (1,0)C分别为ABC的三个顶 点，边AB的中线的方程是 0 x ； （2）曲线 C：过点(4,1)的 反比例函数图象，方程 F： 4 | y
18、 x ， 那么曲线 C 是方程 F 的曲线 师： 请你说一下第 1 题的结果 是什么？ 生 11：1y 生 12：不对 应该是| 1y 师： 能说说理由吗？能用今天 所学加以说明吗？ 生 12： 纵坐标1y 的点是曲 线上的点， 但这种点的坐标不 是方程的解 师：请看练习 2，独立完成 （学生作图，应用定义分析） 师：请你来分析（1）是否正 确 生 13： 中线是线段， 而方程表 示的是直线，所以不正确 师：判断很快捷准确 能否 进一步分析它是不满足定义 的那一条？ 生 13： 应该是不满足 “以方程 的解为坐标的点都是曲线上 的点”这一条 师：请你来分析（2） ，请到讲 台上给大家讲解 生
19、14： 错误 两条都不满足 师： 进一步分析不符合要求的 点或者是方程的解， 请你举例 要求学生根据简单的曲 线写出方程 应用概念并巩 固对其的理解 例 2 的设计让学生学会 分别从曲线和方程出发， 判断 曲线与方程之间的关系， 初步 学会应用概念 【阶段小结】教师引导下，学 生交流自己对定义的认识 说明 生 14： 通过图象我们发现曲线 是分布在第一、三象限，而方 程的曲线在第一、二象限 师：能否用定义加以说明？ 生 14：如点（-4,-1）在曲线 上， 但不是方程F的解；（-4,1） 的坐标是方程的解， 以它为坐 标的点不在曲线上 师：其实，要解决曲线与方程 的关系的判断， 除了教材上定
20、义之外，还有其他的一些表 述， 请你在学习定义的基础上 谈谈自己对曲线与方程关系 的判断方法 生 15： （预设）检查曲线上的 点和方程的解之间的关系 师：不错，但注意准确性应 该是曲线上的每一个点和方 程的每一个解的关系 生 16： （预设）看曲线上是否 有不是方程的解为坐标的点， 看曲线是否包括了方程的所 有解为坐标的点 师：很好，这种判断方法相当 于是看曲线是否纯粹地列出 了方程的解为坐标的点， 无多 余的点， 而方程的解是否完备 地通过曲线体现了， 没有漏掉 解 通过对概念的应用， 将学 生对曲线的方程（方程的曲 线） 这一概念的多角度理解进 行梳理， 引导学生在说出自己 对曲线与方程
21、关系的理解的 基础上对概念再认识 四、课堂检测，课外延伸四、课堂检测，课外延伸 【课堂检测】 请将以下四个方程和右边 的图形用连段连接起来： |0 xy | 0 xy 师： 接下来请看课堂检测请 将以下四个方程和四个曲线 配对，并简要说明理由 生 17： 观察方程中解的正负和 曲线上点的坐标的正负， 可以 筛选答案 师：不错 如果我们要用概 念检验曲线和方程之间的关 系， 该如何分析呢？比如第一 个方程和第一幅图 生 17： 第一支曲线上的部分点 的坐标不是第一个方程的解， 所以方程不是曲线的方程 课堂检测的作用是检测 学生在对定义的理解是否深 入，应用是否灵活 学生根据范围直接进行配 对，
22、体现了其对曲线与方程关 系掌握的灵活性 22 0 xy 0 xy 【课外延伸】 1 查阅资料了解数学家对圆 锥曲线的研究历史， 并了解笛 卡尔在其中所做出的贡献 2 广告创意使用到的笛卡尔 的 爱 情 传 说 中 ， 关 于 (1 sin )ra与心形曲线的 关系涉及到了极坐标系， 我们 将会在选修 4-4中学习 师： 大家想知道本课之初视频 背后的故事吗？ 生（齐） ：想 （播放视频） 师： 广告创意使用到的笛卡尔 的 爱 情 传 说 中 ， 关 于 (1 sin )ra与心形曲线的 关系涉及到了极坐标系， 我们 将会在选修 4-4中学习 曲线与方程衔接了直 线、圆与圆锥曲线，了解圆锥 曲线
23、的发展历史， 更有利于激 发学生使用方程研究圆锥曲 线的兴趣， 更加积极地学习解 析几何一眼就问题的方法 对于笛卡尔的爱情传说， 学生一定是很有兴趣的， 其中 涉及到的极坐标系作为本课 最后的一个说明即拓展了学 生视野， 也将高中解析几何的 直线与方程、圆与方程、圆锥 曲线与方程、 坐标系与参数方 程四个部分都出现在了本课 中 附：板书设计 211 曲线与方程（第曲线与方程（第 1 课时课时） 一、一、情景创设情景创设 二、作图探究二、作图探究 2 20 1 y x 22(1)yx2 (1)yx x 2 10 xy 22 1xy 曲线的方程（方程的曲线）曲线的方程（方程的曲线） 方程的解方程的
24、解曲线上的点曲线上的点 PPT 展示区展示区 1曲线上的点的坐标满足方程曲线上的点的坐标满足方程; 2以方程的解为坐标的点在曲线以方程的解为坐标的点在曲线 上上 三、正反实例三、正反实例 例例 1 例例 2（1） （2） 六、目标检测设计六、目标检测设计 在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目 标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教 学目标达成情况如下： 此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.1.课堂检测课堂检测 请将以下四个方程和图形用连段连接起来： |0 xy | 0 xy 22 0 xy0 xy 2.2.课外延伸课外延伸
25、 （1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其 中所做出的贡献 （2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1 sin )ra与心形曲线的关 系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在选修 4-4坐标系与参数方程中学习 设计意图设计意图: : 课堂检测的目的是检测教学效果再次感受方程的不同导致曲线的不同之 间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想学会使用概念对曲线与方 程的关系进行界定 中国学生发展核心素养总体框架中谈到， “文化是人存在的根和魂” ，文 化基础包括“人文底蕴” 、 “科学精神” ，本课内容承载着这两个要素，曲线与方 程的
26、关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑课外延伸 旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学 核心素养 结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了 “曲线与方程的对应关系” 这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的 板块 曲线与方程教学设计说明曲线与方程教学设计说明 本课时作为圆锥曲线与方程的第一节课，主要内容是曲线的方程（方程 的曲线）的概念学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能 够根据直线的方程、 圆的方程作对应的图形， 并对数形结合思想有初步的了解 结 合以上情况，我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲
27、线与方程的对应关系， 感悟数形结合思想.对本课的设计，我作以下说明： 1关于设计定位 如果将曲线的方程（方程的曲线）这一概念直接呈现给学生，然后进行对应 练习， 学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件，无法理解 他们在揭示这种关系时各自所起的作用我在设计这堂课时始终坚持两条思 路 一条是以曲线的方程（方程的曲线）这一组概念的知识技能为目标的“明 线”，一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程 为目标的“暗线”让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田 2遵循概念学习的规律 曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律，在情景中认识到研究 “曲线与方程的关系”的
28、必要性，在对典型丰富的事例的探究过程中，归纳概括 出特征、性质，并将自然语言逐步转化为数学语言因此遵循概念教学的规律， 设计了“感知概念形成概念辨析概念应用概念”的教学过程 3实现教材中本章“章头图” 、 “章导言”的教育价值和作用 作为圆锥曲线与方程的第一课时，适当对本章学习内容进行展望是很有 必要的，本课的创设情境部分很好的整合了“章头图” 、 “章导言”与本节内容， 产生认知冲动，很好的实现了“章头图” 、 “章导言”的教育价值和作用 4浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养 文化基础是核心素养的重要内容，包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方 面， 如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造，是每一位数学教 育工作者应该重视的内容 本课的内容体现了解析几何的基本数学思想数形 结合思想，是解析几何的核心概念，课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容 能够让学生体会数学发展的过程，发展数学素养 5关于多媒体技术的使用 教学中平板电脑充当投影仪的作用，但较传统投影仪有着记录学生活动过 程，节约展示时间的优势因此，根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教 学目的
