1、20062006 年全国高中青年数学教师优秀课比赛年全国高中青年数学教师优秀课比赛 点到直线的距离教案点到直线的距离教案 四川省成都市第七中学数学组四川省成都市第七中学数学组杜晓雯杜晓雯 【课题课题】点到直线的距离点到直线的距离 【教材教材】全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书 （必修必修） 第二册第二册 （上上） 人民教育出版社人民教育出版社 【授课教师授课教师】杜晓雯】杜晓雯 一一 教学目标教学目标 1 1教材分析教材分析 教学内容教学内容 点到直线的距离是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册 （上） ， “73 两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直
2、线的距离公式的推 导过程和公式应用 地位与作用地位与作用 本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几 何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位 置关系等相关知识对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲 线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2 2学情分析学情分析 高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法 研究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能 力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法 3 3教学目标
3、教学目标 依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程； 掌握点到直线的距离公式； 掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题解决问题 通过问题获得数学知识，经历“发现问题提出问题解决问题”的过程； 由 探 索 点2,0P到 直 线0 xy的 距 离 ， 推 广 到 探 索 点 00 ,P xy到 直 线 0AxByC 22 AB 0的距
4、离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽 象的数学研究方法 情感态度情感态度 结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激 发学生的学习兴趣 二二 教学重点、难点教学重点、难点 1教学重点教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析； 点到直线的距离公式的应用 2教学难点教学难点 点到直线的距离公式的推导思路和算法分析 三教学过程三教学过程 教学教学 环节环节 活活动动 说说明明 创设情境创设情境： 以学生熟知的生活图片欣赏 和一个具体实例： 当火车在高速行驶时，周 围会产生负压， 如果旅客离铁轨中心的距离 小于 2 米 5 时， 就可能被吸入车轮下发生危 险
5、让学生直观感受几何要素“点到直 线的距离” ，引发学习好奇心和研究兴趣 现实模型：现实模型： 地质勘探、铁轨宽度、人 离高压电线的安全距离 （图片欣赏）（图片欣赏） 生活实例 （flashflash 动画演示）动画演示） 模型 直观 回顾旧知回顾旧知：在初中， “点到直线的距离” 的定义是什么？ 1 1 点到直线的距离公式的推导过程点到直线的距离公式的推导过程 （由特殊推广到一般、从具体推广到抽象） 问题问题 1 1如何求点(2,0)P到直线0 xy 的距离？ 教师： 请同学们作出图象后，思考有哪些计 算方法，结果是什么？ 方法方法利用三角函数利用三角函数 解：过点P作l的垂线PQ，垂足为,Q
6、 :0,45 ,2,0 ,l xyQOPP 2,OP 2 sin4522 2 PQOP 教师： 由于点和直线的位置比较特殊，直角 三角形较为明显， 并且出现了特殊角，所以 可以利用三角函数来解决问题 但如果直线 位置不具特殊性， 三角运算将较为繁杂，故 此法具有一定的局限性 方法方法利用定义利用定义 解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q :0,2,0 ,:2 ,l xyPPQ yx 1 ,2,. 21 yxx xx yxy 学生：过点P作l的垂线 PQ， 垂足为Q， 垂线段PQ 的长度就是点P到直线l的 距离 点P与直线l上所有点的 连线中，垂线段最短 问题问题 1 1 学生作图后，结合图象
7、， 分组讨论怎样计算PQ 方法方法利用三角函数利用三角函数 学生： 由于点和直线的位置 很特殊， 可以利用三角函数 来解决 方法方法利用定义利用定义 （由于前面复习了点到直 线的距离的定义， 所以学生 容易想到利用定义解决问 题） 学生：利用定义解决问题 在 复 习 旧 知 的 基 础 上 引 人 新 课 由 于 教 材 上 对 于 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 证 明 比 较 抽 象 ， 所 以 补 充 了 两 个 由 浅 人 深 的 具 体 问 题 ， 为 后 面 推 广 到 一 般 情 况 作 好 铺 垫 新课引入新课引入 探探索索思思考考 教教 师师 活活 动动学学 生生 活
8、活 动动 x y O :0l xy 2,0P Q 22 1,1 ,21012.QPQ 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 解：设直线l上的点 00 (,)Q xy，则 min Pl dQP 直线 ， 00 0,0,xyxy 2222 00000 2 0 (2)44 2(1)22. QPxyxxx x 当 0 1x 时，取得等号，即点1,1 .Q 教师： 我们可将求点到直线的距离转化为两 点之间的距离， 再通过二次函数求最小值的 方法解决本题 强调：点 00 (,)Q xy在直线l上， 故 00 xy、满 足直线方程； 当等号成立时，指明此时点Q的坐标，并 与方法得到的点Q的坐标进行比较 方法
9、方法利用直角三角形的面积公式利用直角三角形的面积公式 教师： 由于PQl， 所以我们还可以想到什 么方法来计算呢？ 教师：应该如何构造三角形呢？ 如何添作辅助线是学生的一个思维难 点， 教师要强调：由垂直条件可以联想到三 角形的高或直角三角形等知识， 从而得到辅 助线的添作方式 解：过点P作lx、 轴的垂线PQPR、，交点 为点.QR、 2 0,PyxR， ，2,2 2,2.OPPR ,PROPQPOROPRRt中， 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 （在前面复习中强调了垂 线段最短， 所以可以引导学 生， 利用二次函数求最小值 的方法解决问题 ） 学生： 可以利用二次函数求 最小值的方法
10、解决问题 学生的解答中， 可能会忽 略取得等号的条件， 教师要 引导学生思考， 取得等号时 点Q的坐标， 并与前面两种 方法所得答案进行对比 方法方法利用直角三角形利用直角三角形 的面积公式的面积公式 学生：三角形面积公式 学生： 过点P作lx、 轴的垂 线PQPR、， 构造Rt OPR 对于问题 1 的四种解法， 学生可能回答不完全， 教师 要补充完整 补 充 的 问题 1， 由 于 点 和 直 线 的 位 置 非 常 特 殊 ， 所 以 学 生 容 易 回 答 ， 教 师 要 鼓 励 学 生 利 用 多 种 方 法 解 决 问 题 1 方 法 利 用 了 类 比 化 归 的 思 想 ， 为
11、 后 面 将 两 平 行 直 线 间 的距 离 ， 转 化 为 点 到 直 线 的 距 离 奠 定 基 础 强 调 数 形 结 合 的思想 探探索索思思考考 :0l xy 2,0P Q x y O Q :0l xy 2,0P x y O Q R 2 222,2.QPQP 问问题题2 2如何求点(4,2)P到直线220 xy 的距离？ （类比问题（类比问题 1 1 的四种解法的四种解法， 让学生独立思考让学生独立思考 问题问题 2 2 课堂上课堂上， 只要求学生说明解题思路只要求学生说明解题思路， 而不要求解题过程而不要求解题过程 ） （以下有关例题（以下有关例题 2 2 的解题过程仅供资料查的
12、解题过程仅供资料查 阅，而不在课堂上讲解阅，而不在课堂上讲解 ） 方法方法利用三角函数利用三角函数 2 5 4,tan2,sin. 5 2 58 5 sin4. 55 PSQSPQSP PQSPQSP 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 设点 00 (,)Q xy在直线上，则 00 220.xy 2 2 00 22 000 2 00 2 0 (4)2 8164 5816 4648 5 5. 555 QPxy xxx xx x 当 0 4 5 x 时，取得等号，即点 4 18 55 Q ， 方法方法利用定义利用定义 过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q :220,4,2 , 1 :24 , 2
13、lxyP PQ yx 4 22 1 5 ,224,. 1 1824 2 5 yxx xx yx y 22 4 18 , 55 4188 5 42. 555 Q PQ 问题问题 2 2 方法方法利用三角函数利用三角函数 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 方法方法利用定义利用定义 改 变 问 题 1 中 几 何 元 素：点、 直 线 的 位 置 ， 引 出 问 题 2 类 比 问 题 1， 让 学 生 独 立 思 考 问 题 2 的 不 同 法 课 堂 上 只 要 求 学 生 说 明 解 题 思 路 ， 而 不 要 求 解 题 过 程 探探索索思思考考 4,2P O x y Q :220lxy
14、 Q O x y 4,2P Q :220lxy S O x y 4,2P Q :220lxy 方法方法利用直角三角形的面积公式利用直角三角形的面积公式 过点P作lx、 轴、y轴的垂线PQPR、，交点 为点QR、. S ,P4，2 :220,lxy 4,10 ,0,2 ,RS 4,8,SPPR ，中，PRSPQPSRSPRRt 8 5 4 54 8,. 5 QPQP 问 题问 题 3 3如 何 求 点P 00 (,)xy到 直 线 0AxByC的距离（ 22 0AB）？ 教师：你能否类比问题 1、2 解决本问？ 教师： 如果通过定义来计算，你的思路是什 么？ 教师：对于00AB或的特殊情况，你可
15、 以怎样处理？ 方法方法利用定义的算法思路利用定义的算法思路 方法方法利用直角三角形的面利用直角三角形的面 积公式积公式 问题问题 3 3 学生讨论： 前面四种证明方 法的都可行， 但利用三角函 数和利用二次函数求最小 值的方法，相对要复杂一 些 方法方法 利用定义的算法利用定义的算法 学生分析解题思路， 整理 出算法框图 学生的回答可能会忽略 00kA即这个条件限 制， 教师要给予纠正并强调 在 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 推 导 过 程 中 ， 渗 透 算 法 的思想 对 于 方 法 ， 教 材 上 只 说 明 了 算 法 步 骤 ， 而 省 略 了 繁 琐 的 证 明 过 程
16、 ， 所 以 只 要 求 学 生 理 清 算 法 思 路 、 给 出框 图 ， 不 要 求 证 明过 程 探探索索思思考考 得到点P到l的距离dPQ 确定直线l的斜率0k k 求过点P垂直于l的直线 l 的方程 求与l垂直的直线 l 的斜率 1 k k 求l与 l 的交点Q 求点P与点Q的距离 4,2P x y Q :220lxy O R S :0l AxByC y x 00 ,P xy Q O 方法方法 利用直角三角形的面积公式的算法利用直角三角形的面积公式的算法 思路思路 教师：如果类比问题 1、2，通过面积构造 法来计算， 你应该如何添作辅助线？解题思 路是什么？ 教师： 根据得到的算法
17、思路，请同学们自学 教材 52 P的证明方法 方法方法 利用平面向量的算法思路利用平面向量的算法思路 教师：直线l的斜率是什么？ 教师： 若向量nl ， 你能表达n 的一个坐标 吗？ 教师：设点,M x y是直线l上任意一点， 则PM 的坐标是多少？ 教师： 设PMn 与的夹角为， 则PM n 为多 少？ 教师：结合图象，你能否表示出PQ？ 直线 l 的斜率是否存在，主 要取决于分母k是否为 0， 这也是对前面知识的巩固 学生：对于00AB或的 特殊情况， 可以结合图象直 接得出结论 方法方法利用直角三角形利用直角三角形 的面积公式的算法的面积公式的算法 学生：先添作辅助线，过点 P作x轴、y
18、轴的垂线交l 于点RS、，再利用直角三 角形的面积公式进行计算 方法方法 利用平面向量的算利用平面向量的算 法法 学生：0 A kB B 学生容易忽略0B 的限 制条件，教师给予纠正 学生：,nA B 对 于 方 法 ， 引 导 学 生 理 清 算 法 思 路 ， 再 根 据 算 法框 图 ， 指 导 学 生 自 学 教 材 的 证 明过 程 ， 培 养 学 生 的 数 学 阅 读 能 力 和 获 取 信 息 的能 力 补 充 的 方法 ， 建 立 在 学 生 已 有 的 平 面 向 量 知 识 的 基 础上 课 堂 上 只 要 求 学 生 理 清 算 法 思 路 ， 而 对 于 探探索索思思
19、考考 ,M x y :0l AxByC y x 00 ,P xy Q O 2 2点到直线的距离公式点到直线的距离公式 点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距离 22 00 BA CByAx d （其中0AB、 不同时为） 教师： 你能否利用点到直线的距离公式解决 问题 1 和问题 2？并比较计算结果 对于法向量n 的理解是 一个难点， 同时学生得到的 答案可能不统一 教师引导 学生从向量共线的角度加 以分析，从而帮助学生理 解 学生： 00 ,PMxxyy 00 00 , cos yyBxxA BAyyxx nPMnPM 学生： 22 00 , cos BA BAyyxx n nPM
20、PMPQ 00 22 00 22 AxByAxBy AB AxByC AB 当00AB或时，以上公 式仍然成立 学生容易忽略距离是一 个非负数， 所以教师要强调 cosPQPM 应该加上 绝对值符号 师生共同总结： 对于点到直 线的距离公式的理解 从运动的观点来看，点 到直线的距离是直线上的 点与直线上一点的连线的 最短距离； 使用点到直线的距离公 式的前提条件， 是把直线的 方程化成一般式方程 如果 给出的直线方程不是一般 式方程， 应先将方程化成一 这 种 方 法 的 具 体 解 决 过 程 ， 可 作 为 课 后 思 考作 业 补 充 的 方 法 为 今 后 在 立 体 几何 中 ， 利
21、 用 这 种 算 法 思 路 得 到 点 到 平 面 的 距 离 公 式 设 下 伏 笔 前 后 呼 应 ， 使 学 生 体 会 运 用 公 式 计 算 的 简 便性 探探索索思思考考问问题题解解决决 22 00 22 00 , BA CByAx BA BAyyxx d 得到 3点到直线的距离公式的应用点到直线的距离公式的应用 例例 1 1求点 0( 1,2) P 到下列直线的距离： 2100;xy32;x 37;xy 24 1 . 33 yx 分析：2100;xy 可能会有学生在代人公式计算时， 忘掉绝 对值符号 教师要给予纠正，强调距离是一 个非负数 32;x 教材上的解法是结合图形直接得
22、到点到 直线的距离， 也可能会有学生是直接代人公 式计算， 教师指出对于0A 或0B 的特殊 情况，一般结合图形直接得到结论 37;xy 部分学生可能会对代入公式后计算得 0 这一结果感到困惑，教师要引导学生思考 此时点与直线的位置关系， 指出当点落在直 线上时公式仍然成立 24 1 . 33 yx 在补充的问题中所给出的直线方程 不是一般式， 所以在代人公式计算前，学生 必须将直线方程化为一般式， 以便确定系数 AB、， 从而达到强调公式运用前提的目的 教师： 使用点到直线的距离公式的前提条件 般式； 若点P在直线上，则点P 到直线的距离为零， 距离公 式仍然成立； 若 直 线 方 程 中
23、系 数 00AB或的特殊情况， 距离公式仍然成立， 但一般 情况下可以结合图形直接 得到距离 师生共同讨论 例例 1 1解：根据点到直线 的距离公式，得 22 2 ( 1)2 10 21 10 2 5. 5 d 解法因直线32x 平行于y轴，所以 25 ( 1). 33 d 解法根据点到直线的 距离公式，得 5 . 3 d :37,lxy 13 27. 0 1,2P点落在直线上, 0.d 另解： 根据点到直线的距离 公式，得0.d 24 :1 , 33 l yx :4320.lxy 根据点到直线的距离公式， 例 1 中 、 两 个 问 题 是 补 充 的 内 容 ， 目 的 是 强 化 点 到
24、 直 线 的 距 离 公 式 的 应 用 前 提 条件 例 1 主 要 是 通 过 直 接 将 已 知 点 的 坐 标 代 人 公 式 计 算 ， 强 调 公 式 的 形 式 记 忆 和 前 提 条 件 在 此 基 础 2 2 413 22 12 . 5 43 d 知知识识运运用用 是把直线的方程化成一般式方程， 如果给出 的直线方程不是一般式方程， 应先将方程化 成一般式，以便确定系数AB、的值，这一 点对于直线方程中含参数的问题尤为重要 例例 2 2已知点2,3A 到直线1yax的 距离为2，求a的值； 已知点2,3A 到直线yxa 的距离 为2，求a的值 教师：如何求实数a的值？ 解：
25、1,10,yaxaxy 22 23 122 2, 11 aa d aa 2 2222,aa 22 48422,aaa 2 2820,3232.aaaa 或 ,0,yxaxya 231 2, 22 aa d 12,31.aaa 或 教师： 这两问直线方程中参数a的几何意义 是什么？ 教师：两个小问的几何意义是什么？ （教师利用几何画板进行数学实验） 例例 3 3求平行线2780 xy和 2760 xy的距离 例例2 2 由学生分析解题思路， 并按要求用数学语言表述 过程 学生： 中a表示直线的斜率； 中a表示直线在y轴上的 截距 学生： 这两个小问的几何意 义分别是 点1,2A 到两条直线的 距
26、离相等， 所以点A在两条 直线所成角的角平分线上； 所得的两条直线互相平 行且距离为 2 例例 3 3 学生： 两条平行直线间的距 离处处相等； 学生： 将两平行直线之间的 距离转化为一直线上一点 到另一条直线的距离； 学生：选择点(3,0)P 学生：可以选择一般的点 解： 设直线上一点 00 (,),P xy 上 ， 由 浅入 深 ， 补 充 的 例 2 中 直 线 方 程 含 有 参 数 ， 进 一 步 提 高 思 维 难度 在 例 2 中 ， 由 于 直 线 方 程 中 的 参 数 都 具 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 所 以 在 解 出 参 数 a的 值 后 ， 要 引 导 学
27、生 思 考 其 几 何 意义 补 充 的 例 题 2 既 考 察 了 学 生 对 公 式 的 掌 握 情 况 ， 又 为 下 节 课 研 究 对 称 问 题 和 直 线 系 问 题 设 下伏 笔 知知识识运运用用 教师： 这两条平行直线间的距离是否是固定 的？ 教师：如何求这两条平行直线间的距离？ 教师：可以选择哪个点？ 解：在直线2760 xy上任取一点，例 如(3,0),P则(3,0)P到直线2780 xy的 距离就是两平行线间的距离因此 22 237081414 53 . 5353 2( 7) d 教师：是否可以在直线2760 xy上取 一般的点 00 ,P xy来求距离？ 推广到一般结
28、论：推广到一般结论： 例例求证：两平行直线 11 :0,lAxByC 22 :0,lAxByC 12 ( ,0)A BCC且的距离为 12 22 . CC d AB 证明：设点 00 (,)P xy是直线 2 0AxByC 上任一点， 则点P到直线 1 0AxByC的 距离为 001 22 . AxByC d AB 002 0,AxByC 002, AxByC 12 22 . CC d AB 两平行直线的距离公式： 11 :0,lAxByC 22 :0,lAxByC 12 ( ,0)A BCC且的距离为 12 22 . CC d AB 教师：两平行线的距离公式不要求记忆 在求两条平行线间的距离
29、时， 一般仍利用 00 00 2 2 2760, 278 27 6814 53 . 5353 xy xy d 例例 4 4师生共同总结： 应用公式的前提是应先 将两直线方程化为一般形 式，使对应系数AB、化为 相等（两直线平行） ，再代 人公式计算； 两平行线间的距离可转 化为其中一条直线上的一 个特殊点到另一条直线的 距离 由 例 2 的 几 何 意 义 可 以 引 出 教 材 的 例 题 3 例 3 采 用 了 类 比 化 归 的 思 想 方 法 ， 同 时 引 出例 4 例 4 教 材 中 是 以 习 题 的 形 式 出现 的 （ 教 材 5415 P） 知知识识运运用用 化归思想转化为
30、直线上一特殊点到另一直 线的距离来处理 课堂练习课堂练习求下列两条平行线的距离： 2380,23180;xyxy 3410,340;xyxy 312 ,xy 6420.xy 课堂练习课堂练习 学生独立完成 解：2 13;d 2;d 3210,xy 6420,xy 22 1 12 13; 13 32 d 学生容易解错： 22 123 13. 13 32 d 请其他同学分析错误原因 补 充 的 课 堂 练 习 的 目的 是 ， 强 调 运 用 公 式 的 前 提 条 件 教师引导学生归纳总结本节课所学习的主 要内容 课后作业课后作业 利用向量的方法证明点到直线的距离公 式； 教材 54 7.3P
31、习题13、14、16 （通过小结， 使学生将本节课所学的知识系 统化，使学生再次巩固知识，明确方法 ） 学生归纳总结 本课主要学习了以下内容：本课主要学习了以下内容： 点到直线的距离公式的推导中不 同的算法思路：利用定义的算法、 利 用直角三角形的面积公式的算法、 利 用平面向量的算法； 点到直线的距离公式： 点 00 (,)P xy到 直 线0AxByC （其中0AB、 不同时为）的距离 00 22 AxByC d AB 说明：对于00AB或的特殊情况 时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的前提 条件 课课堂堂小小结结 板书设计：板书设计： 设计说明：设计说明： 1对于这一节内容，有两种不
32、同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用 而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现 的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力； 2由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤的 分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算 法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的 前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读； 3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的 学情特点，本课补充了利用向量的数
33、量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以 后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有 一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给 出的证明方法并能够应用公式， 较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数 形结合的思想方法； 5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学 生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的 课题：课题：点到直线的距离点到直线的距离 1 问题问题 1如何求点(2,0)P到直线0 xy的距离？ 方法方法方法方法 2 问题问题 2如何求点(4,2)P到直线220 xy的距离？ 3问题问题 3如何求点P 00 (,)xy到直线0AxByC 的距离（ 22 0AB）？ 方法利用定义的算法框图 方法利用直角三角形的面积公式的算法框图 方法利用平面向量的算法框图 4典型例题 例例 1 例例 2 例例 3 例例 4 5课堂练习 6课堂小结 7课后作业
