1、课题：互为反函数的函数图像间的关系 教材：人教版教材第一册上 2.4 反函数（第二课时） 学 校 黑龙江省实验中学教师：王洪军 教 学 目 标 依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下： 1、知识与技能： （1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关 系，由已知函数的图像作出反函数的图像。 （2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函 数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引 导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。 3、情感态度价值观：通过图像的对称
2、变换是学生该授数学的对称美和谐美， 激发学生的学习兴趣。 重 点 难 点 根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的 探索认知过程。特确定： 重点：互为反函数的函数图像间的关系。 难点：发现数学规律。 教 学 结 构 创设情景， 引入新课 提出问题， 探究问题 习题精炼， 深化概念 总结反思， 纳入系统 布置作业， 承上启下 教学过程设计 创设情景，引入新课 1、复习提问反函数的概念。 学生活动学生回答，教师总结（1）用 y 表示 x（2）把 y 当自变量还是函数 提出问题，探究问题 一、画出 y=3x-2)(Rx的图像，并求出反函数。 引导设问 1 原函数中的自变量
3、与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？ 学生活动学生很容易回答 原函数 y =3x-2 中反函数 3 2 y x 中 y:函数 x：自变量x:函数 y：自变量 引导设问 2 在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y 0与之对应， 即 y x 0 0, 在 原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？ 学因为y 0=3x0 -2 成立，所以 3 2 0 0 y x 成立即(y 0 ,x0)在反函数图像上。 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? -1 ? -2 ? -3 ? -2 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? D ? F ?
4、G ? E ? A ? C ? O ? B 引导设问 3 若连结 BG，则 BG 与 y=x 什么关系？点 B 与点 G 什么关系？为什么？点 B 再换一个位置行吗？ 学生活动学生根据图形很容易得出 y=x 垂直平分 BG，点 B 与点 G 关于 y=x 对称。 学生证 法可能有 OB=OG,BD=GD 等。 教师引导教师用几何花板， 就上面的问题追随学生的思路演示当 y x 0 0, 在 y =3 x-2 图像 变化时(y 0 ,x0)也随之变化但始终有两点关于 y=x 对称。 引导设问 4 若不求反函数，你能画出 y=3x-2)(Rx的反函数的图像吗？怎么画？ 学生活动有了前面的铺垫学生很
5、容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的 图像。 引导设问 5 上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？ 学生活动由前面容易得出（关于 y=x 对称） 引导设问 6 若把l / 当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？ 学生活动由图中可以看出 l l / ,关于 y=x 相互对称所以他的反函数图像应是l， 另外由上节 课原函数与反函数互为反函数也可得。 引导设问 7 以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上 题的原理画出反函数的图像吗？如图是 x y 3 的图像，请你猜想出它的反函数图像。 ? 5 ? 4.5 ? 4 ? 3.5 ? 3 ? 2.5
6、? 2 ? 1.5 ? 1 ? 0.5 ? -0.5 ? -1 ? -1.5 ? -2 ? -1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 学生活动由上题学生不难得出做 y=x 的对称图像（教师配合动画演示） 引导设问 8 通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于 y=x 这条直线对称。 （2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一 个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。 习题精炼，深化概念 引导设问9根据图像判断函数 x y 2 有没有反函数？
7、为什么？对自变量加上什么条件才 能有反函数？ ? -4 ? -2 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? -1 ? -2 ? -3 ? -4 ? -5 学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量 xx 21, 与同一个 y 相对应， 当我们用 y 表示 x 后， 对一个 y 会有两个 x 与之对应， 所以应加上自变量的范围， 使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如：加上 x0;x0;x), 2(0 , 2等等 ? 10 ? 8 ? 6 ? 4 ? 2 ? -2 ? -4 ? -5 ? 5 ? 1
8、0 ? 15 ? 20 ? 10 ? 8 ? 6 ? 4 ? 2 ? -2 ? -4 ? -10 ? -5 ? 5 ? 10 ? B ? C ? 10 ? 8 ? 6 ? 4 ? 2 ? -2 ? -4 ? -6 ? -10 ? -5 ? 5 ? 10 ? 15 引导设问 10 什么样的函数具有反函数？ 教师引导学生总结如果一个函数图像关于 y=x 对称后还能成为一个函数的图像， 那么 这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到 值域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定 有反函数。 引导设问 11 通过上图我们发现保留
9、x y 2 图像的单调增(减)的部分， 那么它的反函数也 为单调增（减）的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论？ 学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师 进一步追问为什么？（由前面我们知道若一个函数存在反函数则 x 与 y 之间是一个对一个 的关系，而原函数是增函数即 x 越大 y 也越大，当然 y 越大 x 也越大。 ） 引导设问 12 由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反 函数的定义域值域有什么关系？ 学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域 值域是反函数的值域定义域。 总结反思，纳
10、入系统： 内容总结： 1、 y x 0 0, 在原函数图像上，那么(y 0 ,x0)在反函数图像上。 2、 y x 0 0, 与(y 0 ,x0)关于 y=x 对称。 3、原函数和反函数的图像关于 y=x 这条直线对称。 思想总结： 由特殊到一般的思想，数形结合的思想 布置作业，承上启下 说明：教材中对反函数（第二课时：互为反函数的函数图像间的关系）的处理是通过画几 个特殊的函数图像得出一般结论的。我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结 论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。而我 对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用 y x 0
11、0, 在原函数图像 上， 那么(y 0 ,x0)在反函数图像上这一性质， 从图形上充分研究 y x 0 0, 与(y 0 ,x0)的关系。 经讨论研究可得出结论“ y x 0 0, 与(y 0 ,x0)关于 y=x 对称” 。进而通过任意点的对称得出 原函数和反函数的图像关于 y=x 这条直线对称， 另外利用任意点来研究图像也是以后数学 中经常用到的方法。具体操作大致如下：首先请学生画出 y=3x-2)(Rx的图像，并求出 反函数，然后提出问题 1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关 系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数 y =3x-2 中
12、y:函数 x：自变量，反函数 3 2 y x 中 x:函数 y：自变量。问题 2：在原函数定义域 内任给定一个x0都有唯一的一个y 0 与之对应，即 yx 0 0, 在原函数图像上，那么哪一点在 反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(y 0 ,x0)在反函数图像上。 问题 3：若连结 B y x 0 0, ，G(y 0,x0 )，则 BG 与 y=x 什么关系？点 B 与点 G 什么关系？为什 么？点 B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解 y x 0 0, 与(y 0 ,x0) 为什么关于 y=x 对称，突出本课重点和难点。其它环节具体见教案。 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? -1 ? -2 ? -3 ? -2 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? D ? F ? G ? E ? A ? C ? O ? B
