1、课题：简单的线性规划课题：简单的线性规划 全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）第七章第四节第二课时全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）第七章第四节第二课时 湖南师大附中湖南师大附中肖肖婕婕 一、教材分析：一、教材分析： 1 1、教材的地位与作用：、教材的地位与作用： 线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。本节 内容是在学习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识 展开的， 它是对二元一次不等式的深化和再认识、 再理解。 通过这一部分的学习， 使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用， 体验数形结合和转化的思想方 法，培养学生学习数学的兴
2、趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。 2 2、教学重点与难点：、教学重点与难点： 重点： 画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。 难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。 二、目标分析：二、目标分析： 在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课 的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。 知识目标：知识目标： 1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行 域和最优解等概念； 2、理解线性规划问题的图解法； 3、会利用图解法求线性目标函数的最优解 能力目标：能力目标： 1、在应用图解法解题的过程中培养学生
3、的观察能力、理解能力 。 2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力。 3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运 用数形结合思想解题的能力和化归能力。 情感目标：情感目标： 1、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的 作用，品尝学习数学的乐趣。 2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精 神； 3、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一 般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。 三、过程分析：三、过程分析： 数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个
4、教学环节： 1、创设情境， 提出问题；2、分析问题，形成概念；3、反思过程，提炼方法；4、变 式演练，深入探究；5、运用新知，解决问题；6、归纳总结，巩固提高。 1、创设情境，、创设情境， 提出问题：提出问题： 在课堂教学的开始，我以一组生动的动画（配图片）描述出在神奇的数学王 国里， 有一种算法广泛应用于工农业、 军事、 交通运输、 决策管理与规划等领域， 应用它已节约了亿万财富， 还被列为20世纪对科学发展和工程实践影响最大的十 大算法之一。 它为何有如此大的魅力？它又是怎样的一种神奇算法呢？我以景激 情，以情激思，点燃学生的求知欲，引领学生进入学习情境。 接着我设置了一个具体的 “问题”
5、 情境， 即2006世界杯冠军意大利足球队 （插 图片）营养师布拉加经常遇到的这样一类营养调配问题： 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表： 甲乙丙 维生素A（单位/千克）400600400 维生素B（单位/千克）800200400 成本（元/千克）765 布拉加想购这三种食物共10千克，使之所含维生素A不少于4400单位，维生 素B不少于4800单位，问三种食物各购多少时成本最低，最低成本是多少？ 同学们，你能为布拉加解决这个棘手的问题吗？ 首先将此实际问题转化为数学问题。我请学生完成这一过程如下： 解：设所购甲、乙两种食物分别为x、y千克，则丙食物为10 xy千克. 由题意可
6、知x、y应满足条件： 010 0 0 4800)10(400200800 4400)10(400600400 yx y x yxyx yxyx 即 2 24 10 y xy xy 又设成本为z元，则 z7x6y5（10 xy）2xy50. 于是问题转化为：当x、y满足条件 2 24 10 y xy xy ，求成本z=2x+y+50 的最小值问题。 【设计意图】数学是现实世界的反映数学是现实世界的反映。通过学生关注的热点问题引入通过学生关注的热点问题引入， 激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数 学模型的能力。学模型的
7、能力。 2 2、分析问题，形成概念、分析问题，形成概念 那么如何解决这个求最值的问题呢？这是本次课的难点。我让学生先自主探究，再分 组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难 点：学生基于上一课时的学习，讨论后一般都能意识到要将不等式组表示成平面区域。 （教师动画演示画不等式组表示的平面区域。 ）于是问题转化为当点（x，y）在此平面区 域内运动时，如何求z=2x+y+50的最小值的问题。由于此问题难度较大，我试着这样引导 学生：由于已将 x，y 所满足的条件几何化了，你能否也给式子z=2x+y+50作某种几何解释 呢？学生很自然地想到要将等式z=2x+y+
8、50视为关于 x，y 的一次方程，它在几何上表示直 线。当 z 取不同的值时可得到一族平行直线。于是问题又转化为当这族直线与此平面区域有 公共点时，如何求 z 的最小值。这一问题相对于部分学生来说仍有一定的难度，于是我继 续引导学生：如何更好地把握直线 2x+y+50=z的几何特征呢？学生讨论交流后得出要将其 改写成斜截式 y=-2x+z-50。至此，学生恍然大悟：原来z-50就是直线在y轴上的截距，当 截距z-50最小时 z 也最小。于是问题又转化为当直线y=-2x+z-50与平面区域有公共点时， 在区域内找一个点P，使直线经过点P时在y轴上的截距最小。 （ 紧接着我让学生动手实践，用作图法
9、找到点 P（3，2） ，求出z的最小值为 58，即最 低成本为 58 元。 ） 【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究让学生自主探究，体验数学知识体验数学知识 的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理 解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。 就在学生趣味盎然之际，我就此给出相关概念： 不等式组是一组对变量x、 y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、 y的一次不等式， 所以又称为线性约束条件。z=2x+y+5
10、0是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析 式，叫做目标函数。由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。 一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划 问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。 象上述求解线性规 划问题的方法叫图解法。 由前面实际问题的解决自然地过渡到新概念的讲解，使得知识的衔接较由前面实际问题的解决自然地过渡到新概念的讲解，使得知识的衔接较 为顺畅，概念的形成水到渠成。为顺畅，概念的形成水到渠成。 3 3
11、、反思过程，提炼方法、反思过程，提炼方法 解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。 我借用多媒体辅助教 学，动态演示解题过程，引导学生归纳、提炼求解步骤： （1） 画可行域画出线性约束条件所确定的平面区域； （2） 过原点作目标函数直线的平行直线 l0； （3） 平移直线 l0，观察确定可行域内最优解的位置； （4） 求最值解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。 简记为画作移求四步。 4 4、变式演练，深入探究、变式演练，深入探究 为了让学生更好地理解图解法求线性规划问题的内在规律， 我在例 1 的基础上设计了 例 2 和两个变式： 例 2.设z=2x-3y，式中变量
12、x、y 满足下列条件 ，求 z 的最大值和最小值。 1x 25 5y3x -3 4y-x 【设计意图】进一步强调目标函数直线的纵截距与进一步强调目标函数直线的纵截距与z z的最值之间的关系，的最值之间的关系， 有时并不是截距越大，有时并不是截距越大，z z 值越大。值越大。 变式 1.设 z=ax+y，式中变量 x、y 满足下列条件 ，若目标函数z仅在点（5， 2）处取到最大值，求 a 的取值范围。 变式 2.设 z=ax+y，式中变量 x、y 满足下列条件 ，若使目标函数 z 取得最大值的最优解有无数个，求 a 的值。 【设计意图】用已知有唯一（或无数）最优解时反过来确定目标函数某些用已知有
13、唯一（或无数）最优解时反过来确定目标函数某些 字母系数的取值范围来训练学生从各个不同的侧面去理解图解法求最优解字母系数的取值范围来训练学生从各个不同的侧面去理解图解法求最优解 的实质，培养学生思维的发散性。的实质，培养学生思维的发散性。 （以上两个变式均让学生用几何画板进行实验,探求解决方法。并引导学生总结出： 最优解一定位于多边形可行域的顶点或边界直线处。 ） 5 5、运用新知，解决问题、运用新知，解决问题 “学数学而不练，犹如入宝山而空返” 。为了及时巩固知识，反馈教学信息， 我安排了如下练习： 练习 1：教材 p64 练习第 1 题 【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况
14、。及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况。 练习 2：设 z=2x+y，式中变量 x、y 满足下 列条件 ，求 z 的最大值和最小值。 （学生独立完成巩固性练习， 老师投影有代表性的学生解答过程， 给予积极性的评价， 并强调注意点。同座同学间相互交流、批改和更正。 ） 【设计意图】除了帮助学生巩固新学的知识，还能引导学生运用新知除了帮助学生巩固新学的知识，还能引导学生运用新知 识识，迅速清楚地发现以前用解不等式的知识错解此类题的原因迅速清楚地发现以前用解不等式的知识错解此类题的原因。让学让学 1x 25 5y3x -3 4y-x 1x 25 5y3x -3 4y-x 31 53 yx yx
15、 生再一次深刻体会到数形结合的妙处生再一次深刻体会到数形结合的妙处，同时又巩固了旧知识同时又巩固了旧知识，完善了完善了 知识结构体系。知识结构体系。 6 6、归纳总结，巩固提高、归纳总结，巩固提高 （1 1）归纳总结）归纳总结 为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自 己小结。 （1）这节课学习了哪些知识？ （2）学到了哪些思考问题的方法？ （学生回答） 【设计意图】有利于有利于学生养成及时总结的良好习惯学生养成及时总结的良好习惯， 并将所学知识纳并将所学知识纳 入已有的认知结构，同时也入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。培养了学生数学交流和表达的
16、能力。 （2 2）巩固提高）巩固提高 布置作业： 1.阅读本节内容，完成课本 P65 习题 7.4 第 2 题 2.思考题：设 z=2x-y，式中变量 x、y 满足下列条件 且变量 x、y 为整数,求 z 的最大值和最小值。 【设计意图】让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一 课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。 四、教法分析：四、教法分析： 鉴于我校高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的 能力，本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索
17、相结合的教 学方法。 （1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望； （2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维， 使学生在开放的活动中获取知识。 （3）利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信 1x 25 5y3x -3 4y-x 息量，又提高了教学效率。 （4）指导学生做到“四会” ：会疑；会议；会思；会变。在教学过程中，重视学生 的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。 五、评价分析五、评价分析 本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交 流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过 程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会 冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结 合的奇异美。
