1、【教学设计】【教学设计】 课题：课题：2.1.12.1.1平面平面 授课人刘竞 长春市十一高中授课班级 高二七班 一、一、教学内容解析教学内容解析 （一）内容（一）内容 2.1.1 平面是人教 A 版数学必修二的第二章第一节的教学内容，课时 1 课时， 主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 （二）（二）内容解析内容解析 1、平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述。 教材重点介绍了平面的基本性质,即三个公理,这是本节的重点，是研究立体图形的理论基 础，也是进一步推理的出发点和依据。其中公理 1 可以用来判断直线或者点是否在平面内； 公理 2 用来确定一个平面、判
2、断两平面重合、或者证明点线共面；公理 3 用来判断两个平面 相交、证明点共线、或者线共点的问题。另外,本节课还应充分展现三种数学语言的转换, 特别注意图形语言与符号语言的转换。 2、学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，本章将在前一章整体 观察、 认识空间几何体的基础上， 以学生熟知的长方体为载体， 使学生在直观感知的基础上， 引出本节课的主要内容， 拓展学生已有的平面几何观念， 帮助学生观念逐步从平面转向空间； 通过大量图形的观察、实验和推理，使学生进一步了解立体几何中点、直线、平面之间的位 置关系，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻 辑
3、思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。 3、本课内容在立体几何中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本课以第一 章所学的空间几何体的知识作为出发点，结合有关实物模型，通过直观感知、操作确认理解 公理， 本课的学习对培养学生的空间感知与逻辑推理能力起到重要作用， 更是后续学习立体 几何的重要前提。 二、二、教学目标设置教学目标设置 （一）教学目标（一）教学目标 1、知识与技能 （1）利用生活中的实物抽象出平面并对其进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握三个公理及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对
4、平面有感性认识； （2）通过观察实验，直观感知、操作确认理解与掌握三个公理。 3、情感态度与价值观 （1）使学生认识到我们所处的世界是一个三维空间； （2）使学生感悟数学源于生活，增强学习兴趣。 （二）教学重点、难点（二）教学重点、难点 重点： 1、平面的概念及表示； 2、三个公理，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：三个公理的掌握与运用。 （三）（三）重点、难点突破方法重点、难点突破方法 1.类比直线的学习，列举生活中的实例突破平面概念的教学； 2.通过阅读，建立与前面学习过的旧知识突破平面的表示的教学； 3.通过学生动手操作实验，教师实物演示的方法来突破三个公理的教学。
5、 （四）（四）教学用具准备教学用具准备 多媒体、三角板，笔直的织针，纸板，按摩器，首饰盒，相架，镜子，带支架的手机 等生活用品。 三、三、学生学情分析学生学情分析 1.从学生的知识储备看：一方面，学生通过第一章的学习，对几何体有了整体把握，尤 其是直观图的知识为学习平面的知识提供了保障。 2.学生的观察概括及抽象能力， 由于平面几何知识的淡忘， 由平面到空间的转化有一定 困难，构成本节的一个难点，因而本节课在新课的学习中需要搭建新旧知识的联系，着重运 用观察画图等手段强化操作确认来完成本课能力培养目标。 3.从学生的个体心理特征来看：本班学生大多数活泼好动，对事物的好奇心较强，但意 志力薄弱，
6、被动地接受式不能适应活泼好动的学生，需要更好地调动学生的学习兴趣。 四、四、教学策略分析教学策略分析 1、从本次课学与教的现实出发，因为涉及到的概念比较抽象，公理的理解与掌握需要大 量的实例，所以在教学材料我主要选择了教材，教学参考及身边的实物如多媒体、三角板， 笔直的织针，纸板，按摩器，首饰盒，相架，镜子，带支架的手机等生活用品。 2、根据本节课教学内容和本班学生的特点，我主要采用了启发式教学、读书指导法、实 验法、演示法、练习法、讲授法等教学方法。 （1）本节课平面的概念对学生而言较为抽象，教学时我采用了启发式教学，教学中适当 地联系平面几何知识，采用联想、类比等方法学习平面； （2）本节
7、课在学习用图形与符号表示平面环节，由于教材有较为细致的说明，所以我采 用了读书指导法， 通过阅读让学生自主地解决问题， 对于学生难以理解之处加以指导与说明； （3）本节课的公理较多，学生对于公理的学习比较陌生，只有亲身体验才能更好地理解 与掌握公理，所以在公理的教学中我主要采用了以下三种方法: 实验法，通过创设符合公理的实验，使得学生相互协作，操作确认，使学生把一定的 直接知识同现实生活联系起来，以获得比较完全的知识，培养他们的独立探索能力、实验操 作能力和科学研究兴趣，使其更好地理解与掌握公理. 演示法，在教学时，把实物或直观教具展示给学生看，或者作示范性的实验，使学生 通过实际观察获得感性
8、知识， 以说明和印证教师所传授的知识， 使学生获得生动而直观的感 性知识，加深对学习对象的印象，把书本上理论知识和实际事物联系起来，形成正确而深刻 的概念，发展学生的观察力、空间想象力和思维能力。 对于三个公理的作用的教学，我采用了练习法，通过三个跟踪训练对其加以突破，使 学生不仅可以巩固知识，而且能够引导学生把知识应用于实际，发展学生的能力。 另外，对于教师必须说明及学生理解有困难的知识，我采用讲授法加以突破。 3、依据本节课的教学难点我设计了一系列的问题串，由浅入深，由表及里地引导学生 不断进行思考，从而达成对知识的理解与掌握。 （1）在平面的教学中，幻灯片 4、5、9、10 所提出的问题
9、是由生活中学生熟悉的事物入 手，联系类比以往对直线的学习，体会数学抽象并用语言描述平面的三个特征，不断引导学 生进行思维活动。 （2）在平面图形表示的教学中，幻灯片 12 提出的问题 “常常”两个字怎样理解？引导学生回忆前面直观图知识平面也可用其他图形表示； 无限延展性是否得到体现？引导学生类比直线的表示方法，说明用有限表示无限，局 部代表整体是科学研究的方法； 如何增强图形的立体感？以下那个图形立体感较强， 为什么？可以进一步引导学生思 考容易忽略的问题，培养学生严谨的思维习惯； （3）在公理的教学中都是先设置了一个思考的问题，如幻灯片 18、21、32，引导学生 从特殊到一般，逐步地归纳出
10、正确的结论，使学生的思维螺旋式上升； （4）在公理应用的教学中，用跟踪训练的方式使得学生进一步进行思维活动，体会知识 应用于实际，如幻灯片 20、31、35，达到深入思考的目的。 4、根据学生的个体差异，本节课安排的小组采用互补的方式，如动手能力强的与实践 能力一般的同学一组，语言表达优秀的与不善言谈的同学一组，我在提问时，也依据不同的 问题对应不同的学生， 及时地给予学生鼓励与评价， 尽量使每一个同学都积极参与到知识的 探究上来。 5、在学生思考与动手操作实验时，教师积极地参与和指导，及时了解学生的学习情况， 并给予适当的帮助. 五、教学流程图五、教学流程图 平面概念的探究： 1.平面的概念
11、 2.平面的图形与符号 3.点、直线、平面的位置关系初探 4.思考 三个公理的探究： 1.公理一 2.公理二 3.公理三 4.思考 课堂训练 师生共同完成例 1 课堂小结 作业布置 新课导入： 1.通过对第一章的总结复习，揭示本章课题及研究方法 2.以长方体为载体直观认识和描述空间中的点、直线、平 面的位置 六、六、教学过程教学过程 （一）新课导入（一）新课导入 教师活动 1： 1、在立体几何学习的第一章，我们从现实生活的物体中抽象出简单但非常重要的空间 几何体，从整体观察入手，研究了它们的结构特征，学会了用三视图与直观图从细节上与整 体上对其加以刻画， 并了解了一些简单几何体的表面积与体积的
12、计算方法， 那么我们如何更 为深入的认识与把握这些形态各异， 千姿百态的空间几何体呢？第二章将从构成几何体的基 本元素点、直线、平面入手，从局部到整体地进一步研究空间几何体的相关性质。 2、请同学们观察并思考长方体中的顶点，棱所在的直线与两个底面和侧面之间有怎样 的位置关系？教师引导学生思考作答，对学生的回答给予评价。 学生活动 1： 观察长方体，利用已有认知回答教师的提问。 教师活动 2： 在长方体中，点、直线、平面的位置关系如此，那么空间中它们的关系如何呢？这就是 我们共同要研究的内容。本次课我们来研究平面。 ( (二二) )课堂探究课堂探究 1、平面 第一：平面的文字描述 教师活动 1：
13、 (1)提出问题：生活中哪些物体呈平面形状呢？ (2)引导学生观察，联系生活举实例，并通过多媒体展示平面形状的物体，如海平面， 桌面，墙面等。 (3)类比直线的学习，在几何学中是怎样描述平面的？ (4)引导学生类比直线的特征，用语言描述平面的三个特征，即平的、无限延展、无薄 厚之分。引导学生体会直线的直刻画了平面的平；直线的无限延展，没有长短成就了平面的 无限延展即无边无界；直线的没有粗细之分造就了平面没有薄厚之分。 学生活动 1： （1）从生活中发现平面形状的物体，体会平面的特点； （2）在教师引导下，类比直线的学习用语言描述平面的三个特征。 第二：平面的图形与符号表示 教师活动 2： 观察
14、身边的实物，阅读教材 41 页内容，结合直观图的知识与平面的特点，你能用图形 与符号两种方式表示平面吗？ 学生活动 2： 观察实物，阅读教材内容，规范画出图形并回答思考中教师提出的问题。 水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成 450， 且横边画成邻边的 2 倍长 （如图） 教师活动 3： （1） “常常”两个字怎样理解？引导学生回忆前面直观图知识，平面也可用其他图形表 示； （2）无限延展性是否得到体现？引导学生类比直线的表示方法，说明用有限表示无限， 局部代表整体是科学研究的方法； （3） 如何增强图形的立体感？以下那个图形立体感较强， 为什么？提醒学生注意被遮挡 部分用虚线，此
15、处与平面几何有所不同。 学生活动 3： （1）结合前面知识思考并回答问题； （2）观察图形，说明怎样才能增强图形的立体感。 教师活动 4： 怎样用符号表示平面呢？ 学生活动 4： 思考后作答：平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用 表示平面的平行四边行的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC，平 面 ABCD 等。 教师活动 5： 以上使用三种方式对平面加以描述，在立体几何中称它们为三种语言，即文字语言、图 形语言和符号语言，后续的学习中请同学们体会它们的各自特点，自如地进行使用。 2、点与直线，点与平面，直线与平面位置关系初探 教师活动 1： （1）观察图片中
16、的物体，说一说它们的相对位置关系.（幻灯片 15-16） 思考： 你能抽象出哪些数学对象？ 你能用文字和图形两种方式描述它们之间的相互位置关系吗？ 若从集合的角度，怎样用符号描述它们的关系呢？ (2)教师引导学生思考作答，并进一步从运动变化的观点启迪学生，即点动成线，线动 成面，从而把直线，平面看成是点的集合。 (3)板书三种方式，强调利用图形语言时的注意事项，引导学生正确运用集合中的符号 表示点、直线、平面之间的相互关系。 学生活动 1： (1)观察实物，抽象出数学的研究对象,思考后回答问题; (2)注意多角度理解知识，从几何的角度思考问题. 3、公理探究 第一：公理一探究 教师活动 1;
17、提问：借助于身边的实物，思考以下问题： 如果直线l与平面有一个公共点P，直线l是否在平面内？ 如果直线l与平面有两个公共点呢？ 学生活动 1： 动手实践，利用实物进行操作实验，回答上述问题. 教师活动 2： （1）引导学生展示操作实验的成果并回答上述问题，教师给予评价； （2）再举实例如：拿出学生生活中常喝的饮料杯与吸管解释第一个问题；创设生活中 情景，如果在墙面上给窗帘挂窗帘杆，打一个钉子是否可以？两个呢？得到学生的回答后， 拿起手中的直尺让其边缘上任意两点放到桌面上， 观察尺是否落于桌面上， 引导学生总结归 纳公理一。 学生活动 2： 通过自己的操作确认及实验大量实例，总结归纳出公理一.
18、公理一 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 教师活动 3：你能用图形语言表示公理一吗？ 学生活动 3：教师与学生共同完成，教师在黑板上示范。 教师活动 4：你能用符号语言表示公理一吗？ 学生活动 4：学生思考作答，教师在黑板上示范。 lBAlBlA,且 教师活动 5： 请同学们完成跟踪训练 1，引导学生明确公理一的作用，可以判断一条直线是否在平 面内，而且公理一给予研究直线与平面的关系以启迪。 学生活动 5：通过思考，体会公理一的作用，并对跟踪训练作答。 跟踪训练 1:在长方体 1111 DCBAABCD 中， 内吗？在平面CACA 11 ) 1 (内吗？在平面ACCA
19、1)2( 第二：公理二探究 教师活动 1： （1）请同学们借助于书桌上的纸板，手里边的笔，露出笔尖，同座同学相互协作，完成 以下实验：一支笔能否支撑起纸板？两支笔呢？三支笔呢？ （2）学生动手实践时，教师适时的进行提问：你能抽象出什么数学问题，发现什么结论 呢？ （3）教师找一组同学到讲台前进行演示，并让学生分享他们发现的结论； （4）学生可能会有如下结论：过空间内一个点有无数个平面，过两点也有无数个，过三 L B A . A 1 B D 1 C 1 D C B 1 A 点只有一个。此处，教师可根据学生思维的关键点和遗漏之处进行引导和补充，如抽象出什 么几何对象，三点共线是否能只有一个平面等情
20、况； （5）教师对学生活动给予评价并启发学生从生活中举出体现刚才实验结论的事物与例 子； （6）教师展现准备好的图片如三条腿的凳子，自行车，照相机的三角支架及门等，再利 用实物门怎样安装锁，如何锁上门进行演示说明；引导学生归纳总结，培养学生观察、归纳 能力，使学生感悟数学源于生活，增强学生学习数学的兴趣。 学生活动 1： （1） 学生利用纸板和笔与同座之间相互协作， 进行动手操作实验， 体会一支笔， 两支笔， 三支笔是否能支撑起纸板； （2）学生上台展示成果，并回答思考中的问题，从刚刚的实验中抽象出数学对象，在教 师的引导下归纳出如下结论：过空间内一个点有无数个平面，过两点也有无数个，过不在同
21、 一直线上的三点只有一个平面。 （3）学生从生活中发现上述结论，举各种实物为例； （4）在实验与大量实例及教师引导下，归纳总结出公理二。 公理二 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 教师活动 2： （1）书写时注意标注关键词：“不在同一条直线上”与“三点”，并说明公理的存在性 与唯一性。 （2）提问：你能用图形语言表示公理二吗？ 学生活动 2： 用图形语言表示公理二. 教师活动 3： 提问：你能用符号语言表示公理二吗？ 学生活动 3： 学生思考作答， 对于难以用符号表示的， 教师适时引导学生辅助文字语言， 然后学生回答，教师在黑板上示范。 .,CBACBA，使得有且只有一个平面三点不共
22、线 教师活动 4： （1）教师引导学生思考跟踪训练 2，并进行提问，此环节可以培养学生的推理能力，教 师可以适当的进行板演与说明， 即利用公理二得到的真命题连同公理二都可以作为确定一个 平面的依据。 （2）请同学们利用桌子上的白纸，怎样折叠才能使其平稳的立在桌面上，并能体现我们 刚刚得到的三个结论？ 跟踪训练 2，判断以下命题是否正确： （1）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面. 学生活动 4： （1）应用公理二运用推理，解决跟踪训练 2 的问题，回答教师的提问； （2）利用桌子上的白纸进行折叠
23、，操作； （3）体会三个结论在这个折纸实验中的体现。 C B A 教师活动 5： （1）学生动手操作时，教师挑选合适的模型进行展示， （2）展示在生活中体现这三个结论的事物，如镜子，相框，带支架的手机等，让学生体 会数学在生活中处处可见。 第三：公理三探究 教师活动 1： （1） 把三角板的一个角立在课桌面上， 三角板与桌面有一个公共点， 那么同学们请思考： 三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？ （2）引导学生借助身边的事物进行思考，此时可观察学生的完成情况，并适时展示学生 的成果，引导学生归纳所得到的结论，其中注意引导学生关注平面的延展性。 （3）教师展示准备好的图片如
24、投票箱，再次举例说明学生结论的正确性，把上述经验与 类似的事实总结为立体几何的第三个公理. 学生活动 1： （1）思考教师提出的问题，利用身边的实物进行操作实验； （2）合作交流实验结论，展示成果并归纳总结出公理三； 公理三 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 教师活动 2： （1）说明这条公共的直线称为这两个平面的交线。 （2）提问学生：你能用图形语言表示公理三吗？并引导学生一起画出图形. 学生活动 2：用图形语言表示公理三. 教师活动 3： 你能用符号语言表示公理三吗？学生思考后进行板书. lPlPP且, 学生活动 3：思考后，使用符号语言表示公理三.
25、 教师活动 4： （1）请同学思考跟踪训练 3，体会公理三可以解决哪些问题。 （2）学生思考后，教师以提问的方式检验学生对公理三的掌握情况，并进一步追问：你 能画出它们的交线吗？ （3） 教师引导学生思考后作答， 并让学生能够由此体会公理三对于平面与平面相交的位 置关系的判断以及交线的确定。 （4）对立体几何的三个公理进行简单的总结与说明。 跟踪训练 3： 是否相交？与平面平面ABCDCCA 11 ) 1 ( 是否相交？与平面平面DBDBCCA 1111 )2( P L A 1 B D 1 C 1 D C B 1 A A B a l 学生活动 4： （1）根据公理三思考后进行作答； （2）思考
26、如何寻找两个平面的交线，体会公理三的作用； （3）在教师指导下，总结公理三可以解决的问题。 （三）课堂训练（三）课堂训练 例 1用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系. 教师活动 1： （1）引导学生观察图形，并找两名学生在黑板上进行书写； （2）教师进行及时的评价与反馈，并指出不足之处以及注意事项； （3）指导学生用身边的实物做出第一个模型，并体会不同位置图形的区别，培养学生的 空间想象能力。 学生活动 1： （1）观察图形，思考后作答; （2）根据教师的讲解，纠正错误,掌握应用符号语言的恰当方法； （3）用纸张，笔做出模型，体会不同位置的图形的区别. （四）课堂小结（四）课堂小结 1、学习了哪些知识？ 2、学会了哪些认识事物的方法？ 3、用到了哪些数学处理问题的方法？ 教师提示，学生总结归纳，深化知识。 （五）作业布置（五）作业布置 页与学案的内容；、完成教材431 . ,2 1 1111 与正方体各个面的交线做出面 的中点，分别为中，、正方体 EFD BCABFEDCBAABCD .2.1.23的位置关系，体会空间内两条直线、预习 l a b P
