1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 南平市南平市 2022 届高三上学期届高三上学期 10 月联考月联考 数学卷数学卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 2 1Ax x，57Bxx ，则AB（） ARB17xx C51xx D 5117xxx 或 22021 年 8 月 8 日，第 32 届夏季奥林匹克运动会在日本东京正式闭17 天的比赛全部结 束后，排名前十的金牌数如下表所示，则这 10 个数据的中位数是（） 排名12345678910 国家/地 区 美国中国日本英国俄罗斯 奥运
2、队 澳大利 亚 荷兰法国德国意大利 金牌数39382722201710101010 A18.5B18C19.5D20 3将函数( )sin 5 4 f xx 的图象向左平移 5 个单位长度，再将得到的图象上的所有 点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，最后得到函数 g x的图象，则 g x （） A 5 sin 220 x Bsin 10 20 x C 53 sin 24 x D 53 sin 28 x 4已知四边形ABCD为梯形，则“ADBC”是“四边形ABCD为等腰梯形”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5若直线yxm与曲线 2 ex n
3、y 相切，则（） Amn为定值B 1 2 mn为定值 C 1 2 mn为定值D 1 3 mn为定值 6已知单位向量 1 e ， 2 e 的夹角为 2 3 ，则 12 ee的最小值为（） A 2 2 B 1 2 C 3 2 D 3 4 7已知定义在R上的函数( )f x满足()(2)fxfx ，当20 x 时，( )f x单调递 增，则（） A 3 71 tan(2021)log 242 fff 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） B 3 71 tanlog(2021) 242 fff C 3 17 log(2021)tan 224 fff D 3 17 logtan(2
4、021) 224 fff 8根据民用建筑工程室内环境污染控制标准 ，文化娱乐场所室内甲醛浓度 3 0.1mg / m 为安全范围已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时， 竣工 1 周后室内甲醛浓度为 3 6.25mg / m，3 周后室内甲醛浓度为 3 1mg / m，且室内甲醛浓 度( ) t（单位： 3 mg / m）与竣工后保持良好通风的时间 * t tN（单位：周）近似满足 函数关系式( )eat bt ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至 少需要放置的时间为（） A5 周B6 周 C7 周D8 周 二、选择题：本题共 4 小题，每小题
5、 5 分，共 20 分在每小题列出的四个选项中，有多个 选项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 9若实数x，y满足(i)(3i)24ixy，则（） A1i y的共轭复数为1 iB1xy C|i|y 的值可能为10D32yx 10下列函数中，最小值为 9 的是（） A 14 yxx xx B 22 14 sincos y xx C 4 lg lg5 yx x D 22 2 2 2148 1 xx y x 11已知函数 2 ( )coscos2 6 f xxx ，则 A( )f x的最大值为 13 2 B( )f x的图象关于点 7 ,0 6 对称 C(
6、)f x图象的对称轴方程为 5 () 122 k xk Z D( )f x在0,2 上有 4 个零点 12 定义在0,)上的函数( )f x的导函数为 fx， 且 2 ( )0f xxx fx恒成立， 则必有（） A3 (3)2 (1)ffB4 (2)5 (5)ff C3 (1)5 (5)ffD2 (3)3 (7)ff 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 5 3 xy展开式中的第 3 项为_. 14设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2410 232aaa，则 9 S _. 15已知 f x不是
7、常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 f x：_. 定义域为R；( ) 2 f xfx ； 2 1(2 )2fxf；1 4 f . 16设函数 2 2 4 ,4, ( ) log (4) ,4, xx x f x xx 关于x的方程( )f xt有四个实根 1 x， 2 x， 3 x， 41234 xxxxx，则 1234 1 4 xxxx的最小值为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 如图，在ABC中，D是BC边上一点，2AB ，5BC ，19AC （1）求角B的大小； （2）若32CDBD，求AD和sinDAB
8、18 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，AP 平面ABCD，ABAP， 点E， F分别为BP，CP的中点 （1）证明：BP 平面AEF （2）若24ADAB，求平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值 19 （12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 n Sn数列 n b的前n项积为 n T，且 2 ( 3)n n n T （1）求 n a， n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和 n M 20 （12 分） 某地区位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生 洪水的概率为 0.25，乙河流发生洪
9、水的概率为 0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响） ，今 年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下 3 种方案： 方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失 30000 元当两河流同时 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 发生洪水时，设备将受损，损失 60000 元 方案二：修建保护围墙，建设费为 4000 元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河 流同时发生洪水时，设备将受损，损失 60000 元 方案三：修建保护大坝，建设费为 9000 元，能够抵御住两河流同时发生洪水 （1）求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率； （2）从花
10、费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为4 3，点 3, 6在C上 （1）求C的方程； （2）设C的上顶点为A，右顶点为B，直线l与AB平行，且与C交于M，N两点， MDDN ，点F为C的右焦点，求DF的最小值 22 （12 分） 已知函数 1 ( ) ex x f x . （1）求( )f x的单调区间与极值 （2）设m，n为两个不相等的正数，且lnlnmnnmmn，证明： 4 emn 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 高三数学月考卷参考答案高三数学月考卷参考答案 1D因为 1
11、1Ax xx 或，所以 5117xxx 或 2A这 10 个数据的中位数是 1720 18.5 2 3C将函数( )sin 5 4 f xx 的图象向左平移 5 个单位长度后， 得到的图象的解析式为 3 sin 5 54 fxx ， 故 53 ( )sin 21 g xx 4A若ADBC，则由四边形ABCD为梯形， 得/AB CD且ABCD，所以四边形ABCD为等腰梯形 若四边形ABCD为等腰梯形，则/AB CD或/BC AD， 而当/BC AD时，ADBC故选 A 5B设直线yxm与曲线 2 ex n y 切于点 0 2 0,e xn x ， 因为 2 ex n y ，所以 0 2 e1 x
12、n ， 0 2xn，所以切点为(2 ,1)n， 则12nm，故 11 22 mn. 6C因为 2121 21 cos 32 e ee e ， 所以 2 2 2222 211221 133 21 244 eeeee e ， 故 21 3 2 ee . 7A因为( )f x为偶函数，所以()( )fxf x， 又()(2)fxfx ，所以( )(2)f xfx ， 所以( )4f xf x，即( )f x是周期为 4 的函数， 则(2021)(505 4 1)(1)fff . 因为 7 2344 ， 所以 7 1tan3 24 ， 333 1 loglog 2log 2 2 fff ， 3 0lo
13、g 21. 因为( )f x为偶函数，且当20 x 时，( )f x单调递增， 所以当02x时，( )f x单调递减， 故 3 71 tan(2021)log 242 fff . 8B由题意可知，(1)e6.25 a b ， 3 (3)e1 a b ， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） (3) e (1)25 4 a ，解得 2 e 5 a 设该文化娱乐场所竣工后放置 0 t周后甲醛浓度达到安企开放标准， 则 0 0 0 1 1 0 2 ee6.2510.1 5 t a tatb a b te ， 整理得 0 1 2 62. 5 5 t ，设 1 5 62. 5 2
14、m ，因为 15 55 62.5 22 ， 所以415m ，即56m，则 0 11tm ，即 0 tm 故至少需要放置的时间为 6 周 9BCD因为(i)(3i)24ixy所以32xy，34xy， 即32yx ，1xy ，则 3 2y y 解得1y 或3y ， 故 A 错误，B，C，D 均正确 10AB 2 2 111 552 49yxxx xxx ， 当且仅当 2 2x 时，等号成立 22 2222 1414 sincos sincossincos yxx xxxx 22 22 cos4sin 552 49 sincos xx xx ， 当且仅当 2 1 tan 2 x 时，等号成立 因为l
15、g5x可能小于 0， 所以 4 lg lg5 yx x 的最小值不可能是 9 2 22 2222 222 222 212 2 21484 212 49 111 xx xxxx y xxx ， 当且仅当 2 1x 时，等号成立，则 22 2 2 2148 1 xx y x 最大值为 9 11ACD 1 cos 2 3 ( )cos2 2 x f xx 11 13 cos2sin2cos2 22 22 xxx 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 33131 sin2cos2sin 2 442232 xxx ， 则 f x的最大值为 13 2 ，A 正确 令2() 32 xk
16、kZ ，得 5 () 122 k xkZ ， 此即 f x图象的对称轴方程，C 正确 易知 f x图象的对称中心的纵坐标为 1 2 ，B 错 由 31 ( )sin 20 232 f xx ，得 3 sin 2 33 x 当0,2 x吋， 11 2, 333 x 因为 1133 sinsin 3323 ， 所以方程 3 sin 2 33 x 在0,2 上有 4 个不同的实根， 即( )f x在0,2 上有 4 个零点，D 正确 12ACD设函数 ( ) ( ) 1 xf x g x x ，0 x ， 则 2 22 ( )( )(1)( ) ( )0 (1)(1) f xxx fxf xxfxx
17、xf x g x xx ， 所以( )g x在0,)上单调递减，从而 12357ggggg， 即 (1)2 (2)3 (3)5 (5)7 (7) 23168 fffff ， 则必有 3321ff，4 (2)5 (5)ff，3 (1)5 (5)ff，6 (3)7 (7)ff 又( )g x在0,)上单调递减，则 00g xg，从而( )0f x 因为 2 ( )0f xxx fx，所以( )0f x ， 又6 (3)7 (7)ff，所以2 (3)3 (7)ff 【光逃解法】取 1f x ，满足题意，故选 ACD 13 36 10 x y 5 3 xy展开式中的第 3 项为 2 33336 5 1
18、0C xyx y 1472因为 2101546 222432aaaaaa，所以 5 8a ， 故 19 95 9 972 2 aa Sa 15( )cos8f xx（答案不唯一，形如( )cos 4f xkx（kZ，k为偶数，且|1|k 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 即可） 由 2 1(2 )2( )xffx，得 2 (2 )2( ) 1fxfx， 联想到 2 cos22cos1xx，可推测( )cosf xx. 由( ) 2 f xfx ，得 * 2 2| kk N则 * | 4k kN， 又1 4 f ，所以( )cos 4f xkx（kZ，k为偶数，且|1|
19、k ） 1610作出函数 f x的大致图象，如图所示： 由图可知 12 4xx，由 2 log (4)(2)4xf， 得 65 10 x 或20 x ，则 4 520 x. 又因为 4232 log4log40 xx， 所以 43 441xx，所以 1 3 1 4 4 x x ， 则 314 1 111 45 444 xxx x ，且 4 4(1,16)x ， 所以 43 11 256 44 xx ，当且仅当 4 4 11 4 44 x x ， 即 4 6x 时，等号成立， 故 1243 1 4 xxxx的最小值为 10 17解： （1）在ABC中，因为2AB ，5BC ，19AC ， 所以
20、222 425 191 cos 22 2 52 ABBCAC B AB BC . 因为(0, )B，所以 3 B . （2）因为32CDBD，5BC ，所以3BD 在ABD中，由 222 2cos7ADABBDAB BDB，得7AD 因为 sinsin BDAD DABB ，所以 sin3 21 sin 14 BDB DAB AD . 18 （1）证明：因为ABAP，所以AEBP 因为AP 平面ABCD，所以APBC 又BCAB，APABA，所以BC 平面PAB，从而BCBP. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 因为点E，F分别为BP，CP的中点，所以/EF BC，从
21、而EFBP 又AEEFE，所以BP 平面AEF （2）解：分别以AB ，AD ，AP 的方向为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,0,2)P，(1,0,1)E，(1,2,1)F， (1,0,1)AE ，(1,2,1)AF ，(0,0,2)AP 设平面AEF的法向量为 111 ,mx y z ， 则 11 111 0, 20, m AExz m AFxyz 令 1 1x ，得(1,0, 1)m 设平面AFP的法向量为 222 ,nxyz ， 则 222 2 20, 20, n AFxyz n APz 令 2
22、 1y ，得(2, 1,0)n 所以 210 cos, 5|25 m n m n m n . 所以平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值为 10 5 19解： （1）当1n 时， 11 1aS； 当2n 时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn . 经检验，当1n 时，满足21 n an，因此21 n an 当1n 时， 11 3bT；当2n 时， 2 2 2 (1)1 1 ( 3) ( 3)3 ( 3) nn nn n n nn n T b T 当1n 时，满足3n n b ，因此3n n b （2）由（1）知(21) 3n nn a bn， 23 1 33 35 3(21) 3
23、 n n Mn ， 2341 31 33 35 3(23) 3(21) 3 nn n Mnn ， 两式相减得 2311 232 3333(21) 3 nn n Mn 1 1 93 32(21) 3 1 3 n n n 1 6(22) 3nn 故 1 3(1) 3n n Mn 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 20解： （1）由题意，甲河流发生洪水的概率为 0.25乙河流发生洪水的概率为 0.2， 则甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为(1 0.25)(1 0.2)0.6， 所以今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率为1 0.60.4 （2）设损失费为X方案一：X的可能
24、取化为 30000，60000，0 (30000)0.25 0.80.75 0.20.35P X ， (60000)0.25 0.20.05P X ， (0)(1 0.25)(1 0.2)0.6P X ， 所以()30000 0.3560000 0.050 0.613500E X 元 方案二：建围墙，需要花费 4000 元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水， 当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失 60000 元， 两条河流都发生洪水的概率0 25 0 20 05P ， 所以该方案中()100060000 0.057000E X 元 方案三：修建保护大坝，建设费为 9000 元，设备不会受损
25、，方案中的花费为 9000 元 所以方案二最好 21解： （1）因为C的长轴长为4 3， 所以24 3a ，即2 3a . 又点 3, 6在C上，所以 22 36 1 ab . 代入2 3a ，解得 2 8b . 故C的方程为 22 1 128 xy （2）由（1）可知，A，B的坐标分别为 0,2 2， 2 3,0， 直线AB的方程为232 60 xy 设 :2302 6lxymm 联立 22 1 128 230 xy xym 得 22 42 2240 xmxm 由 222 8162438480mmm ，得 2 48m 设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 00 ,D xy， 则 12
26、 0 2 24 xxm x ， 因为 00 230 xym，所以 0 3 6 m y . 又F的坐标为(2,0)， 所以 222 2 2 00 5 |22424 81224 mmm DFxymm 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2 512 28 2155 m 因为 2 12 2 48 5 ，所以当 12 2 5 m 时， DF取得最小值，且最小值为 2 10 5 . 22 （1）解：( )f x的定义域为R， 2 er x fx . 当(,2)x 时， 0fx；当(2,)x时， 0. fx 所以 f x的单调递增区间为(,2)，单调递减区间为(2,) 故 f x在2
27、x 处取得极大值，且极大优值 2 1 e ，无极小值 （2）证明：易知m，0n ， lnln(ln1)mnnmmnmn lnln ln1ln1ln1ln1 (ln1) ee mm nmnm nm nm 即ln(ln )ffmn，lnlnmn. 不妨设 1 lnxm， 2 lnxn， 12 xx （1）可知 2 (2,)x ， 12 0f xf x， 1 (1,2)x 当 2 3x 时， 12 4xx， 1 emn 当 2 23x时， 2 142x， 2 2 2 2 1 22 22 22 11 1 e3141 4 xr rr e xxexx f xfx ee 设 4 ( )(1)e(3)e xx h xxx ，(2,3)x， 则 44 ( )(2)e(2)e(2) ee rxxr h xxxx ， 因为(2,3)x，4xx， 所以( )0h x，( )h x在区间(2,3)上单调递增， 4 22 ( )(2 1)e(32)e0h x ， 所以 2212 440f xfxf xfx， 12 4f xfx 又因为 1 x， 2 4(1,2)x，所以 12 4xx， 即 12 4xx，故 4 emm
