1、数系的扩充和复数的概念北京实验学校 20axbxc对于实系数一元二次方程当 时， 20axbxc240bac 对于实系数一元二次方程当 时， 20axbxc240bac 对于实系数一元二次方程2bxa；方程的根为当 时， 20axbxc240bac 240bac 对于实系数一元二次方程方程的根为当 时， 2bxa；当 时， 20axbxc240bac 240bac 对于实系数一元二次方程负数不能开平方，方程没有实数根. 方程的根为当 时， 2bxa；问题1：从方程的角度看，负实数能不能开平方， 就是方程 是否有解，也就是方程 是否有解的问题，思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终简化为最
2、简单 的方程 是否有解的问题呢？20(0)xaa2(0)xa a 210 x20(0)xaa20(0)xaa简化为20(0)xaa210 x简化为20(0)xaaa两 边 同 时 除 以210 x20(0)xaaa两 边 同 时 除 以210 x210 xa ，20(0)xaaa两 边 同 时 除 以xya令210 x210 xa ，20(0)xaaa两 边 同 时 除 以xya令20 xa转 化 为210 x210 xa ，210y ，20(0)xaaa两 边 同 时 除 以xya令20 xa转 化 为20 xa有 没 有 解210 xa ，210y ，20(0)xaaa两 边 同 时 除
3、以210 xa ，xya令20 xa转 化 为210y ，20 xa有 没 有 解210 x归 结 为有 没 有 解 .问题2：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？N自然数集引入负整数Z整数集N自然数集引入负整数引入分数Z整数集Q有理数集N自然数集引入负整数引入分数引入无理数Z整数集Q有理数集R实数集N自然数集你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程 的解；（2）在整数集中求方程 的解；（3）在有理数集中求方程 的解.10 x 210 x 22
4、0 x N自然数集引入负整数Z整数集N自然数集引入负整数引入分数Z整数集Q有理数集N自然数集引入负整数引入分数引入无理数Z整数集Q有理数集R实数集N自然数集问题3：梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗？由此，你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？N自然数集引入负整数Z整数集N自然数集引入负整数2+(-2)Z整数集N自然数集引入负整数2+(-2)2 (-2)Z整数集N自然数集引入负整数引入分数2+(-2)2 (-2)Z整数集Q有理数集N自然数集引入负整数引入分数2+(-2)2 (-2)452+Z整数集Q有理数集N自然数集引入负整数引入分数2+
5、(-2)2 (-2)452+452Z整数集Q有理数集N自然数集引入负整数引入分数引入无理数2+(-2)2 (-2)452+452Z整数集Q有理数集R实数集N自然数集引入负整数引入分数引入无理数2+(-2)2 (-2)452+45222+Z整数集Q有理数集R实数集N自然数集引入负整数引入分数引入无理数2+(-2)2 (-2)452+45222+22Z整数集Q有理数集R实数集N自然数集数系扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，数系扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，
6、乘法对加法满足分配律.问题4：方程 在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个过程有解吗？2+10 x我们引入新数 ,规定 , 问题4：方程 在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个过程有解吗？2+10 x2i1 i问题4：方程 在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个过程有解吗？2+10 x我们引入新数 ,规定 , 2i1 i2i10 xx就 是 方 程的 解 .ii22+22 实数可以
7、与 进行加法和乘法运算： 实数 与 相加记为： ； 实数 与 相乘记为： ； 实数 与实数 和 相乘的结果相加记为： . iiiiabibia ababib 实数可以与 进行加法和乘法运算： 实数 与 相加记为： ； 实数 与 相乘记为： ； 实数 与实数 和 相乘的结果相加记为： . iiiiabibia ababib1+i 2i 5+3i， ，如： 复数的概念复数的有关概念：我们把形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母C表示。复数通常用小写字母z表示，即 ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部.i( ,R )ab
8、a bizababi113+2i,3i,3i,0.2i,5.22 (1)(2)(3)(4)(5)例.请说出下列复数的实部和虚部：分析：复数+i ( ,R)zaba b 113+2i,3i,3i,0.2i,5.22 (1)(2)(3)(4)(5)例.请说出下列复数的实部和虚部：+i ( ,R)zaba b 分析：复数实部113+2i,3i,3i,0.2i,5.22 (1)(2)(3)(4)(5)例.请说出下列复数的实部和虚部：+i ( ,R)zaba b 分析：复数实部 虚部113+2i,3i,3i,0.2i,5.22 (1)(2)(3)(4)(5)例.请说出下列复数的实部和虚部：5(5) 0.
9、2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： + iza b5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； + iza b5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； + iza b1=3 i2+()5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123+ iza b1=3 i2+()5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2
10、)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123+ iza b1=3 i2+()1=(3)+()i25(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123实部是 ，虚部是 ；312+ iza b1=3 i2+()1=(3)+()i25(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123实部是 ，虚部是 ；312+ iza b1=3 i2+()1=(3)+()i2=0+( 0.2)i5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2
11、)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123实部是 ，虚部是 ；312实部是0，虚部是-0.2；+ iza b1=3 i2+()1=(3)+()i2=0+( 0.2)i5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123实部是 ，虚部是 ；312实部是0，虚部是-0.2；+ iza b1=3 i2+()1=(3)+()i2=0+( 0.2)i=5+0i5(5) 0.2i(4)13i2(3)13i2(2)3+2i (1) 解： 实部是3，虚部是2； 实部是 ，虚部是 ；123实部是 ，虚部是 ；
12、312实部是0，虚部是-0.2；实部是5，虚部是0.1=3 i2+()1=(3)+()i2=0+( 0.2)i=5+0i+ iza b复数的分类对于复数 ， i( ,R )zaba b对于复数 ， 当且仅当 时， i( ,R )zaba b0b 对于复数 ， 当且仅当 时， ， i( ,R )zaba b0b =za对于复数 ， 当且仅当 时， ，复数 表示实数； i( ,R )zaba b0b =zaz对于复数 ， 当且仅当 时， ，复数 表示实数； 当 时， i( ,R )zaba b0b 0b =zaz对于复数 ， 当且仅当 时， ，复数 表示实数； 当 时，复数 叫做虚数； i( ,R
13、 )zaba b0b 0b =zazz对于复数 ， 当且仅当 时， ，复数 表示实数； 当 时，复数 叫做虚数； 当 且 时，i( ,R )zaba b0b 0b 0a 0b =zazz对于复数 ， 当且仅当 时， ，复数 表示实数； 当 时，复数 叫做虚数； 当 且 时， ，i( ,R )zaba b0b 0b 0a 0b =zazz= iz b对于复数 ， 当且仅当 时， ,复数 表示实数； 当 时，复数 叫做虚数； 当 且 时， ，复数 叫做纯虚数。i( ,R )zaba b0b 0b 0a 0b =zazzz= iz b( =0)i(0)(=0)babba()实 数复 数虚 数当时 为
14、 纯 虚 数问题6：你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？问题6：你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？复数集问题6：你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？复数集实数集虚数集问题6：你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？复数集实数集纯虚数集虚数集 在 这几个数中， 纯虚数为_；2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 实 数为_；虚 数为_.2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_.i( ,R)zab a b 在 这几个
15、数中， 纯虚数为_； 实 数为_；2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_. 且 0a 0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_.2i7(13)i 且 0a 0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_.2i7(13)i 且 0a 0b 0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b2227,i, 8 5i, (13)i, 0.6
16、18,i7 虚 数为_.2i727(13)i 且 0a 0b 0.6182i0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_.2i727(13)i 且 0a 0b 0.6182i0b 0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b2227,i, 8 5i, (13)i, 0.618,i7 虚 数为_.2i7278 5i (13)i 且 0a 0b 0.6182i2i7(13)i0b 0b 在 这几个数中， 纯虚数为_； 实 数为_；i( ,R)zab a b1(1)i
17、mzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .i( ,R)zaba b分析： 由复数是实数、虚数 和纯虚数的条件可以确定m的值1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .( =0)i(0)(=0)babba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数i( ,R)zaba b分析： 由复数是实数、虚数 和纯虚数的条件可以确定m的值1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复
18、数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 实 数 呢 ？1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2）
19、虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 实 数 呢 ？虚部为01(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .1=01mmz 解：（1）当时，即时，复数 是实数.1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 虚 数 呢 ？1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值
20、时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 虚 数 呢 ？虚部不为01(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .1=01101mmzmmz 解：（1）当时，即时，复数 是实数.（2）当时，即时，复数 是虚数.1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz
21、当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 纯 虚 数 呢 ？1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .实部虚部mz当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数 是 纯 虚 数 呢 ？实部为0且虚部不为01(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .1=01101+1=010=-1mmzmmzmmmz 解：（1）当时，即时，复数 是实数.（2）当时，即时，复数 是虚数.（3）当，
22、且时， 即时，复数 是纯虚数.1(1)imzmm 例 .当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数 .小结：明确复数的分类； 会区分复数在什么情况下是实数、虚数和纯虚数.( =0)i(0)(=0)babba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？1izab 问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？1izab 2izcd , , ,Ra b c d 问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？1izab 2izcd , , ,Ra b c d 实
23、部问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？1izab 2izcd , , ,Ra b c d 实部 虚部问题7：实数能相等，那么复数能相等吗？1izab 2izcd 12aczzbd实部 虚部思考：由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是，复数由它的实部和虚部唯一确定.回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过的什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？思考： 的充要条件是什么？+ i=0( ,R)a ba b思考： 的充要条件是什么？+ i=0( ,R)a ba b+ i=00ia b思考： 的充要条件是什么？+ i=0( ,R)0,0a ba bab+
24、 i=00ia b+ i=0( ,R)a ba b,()(1)i(23 )(21)i(3)(2)i0 x yxyyxyyxyx例.求满足下列条件的实数的值： (1); (2).,()(1)i(23 )(21)i(3)(2)i0 x yxyyxyyxyx例.求满足下列条件的实数的值： (1); (2).1izab 2izcd ,()(1)i(23 )(21)i(3)(2)i0 x yxyyxyyxyx例.求满足下列条件的实数的值： (1); (2).1izab 2izcd 12aczzbd,()(1)i(23 )(21)i(3)(2)i0 x yxyyxyyxyx例.求满足下列条件的实数的值：
25、(1); (2).=23421=21xyxyxyyy 解：(1),()(1)i(23 )(21)i(3)(2)i0 x yxyyxyyxyx例.求满足下列条件的实数的值： (1); (2).=23421=21xyxyxyyy 解：(1)3=0212=0 xyxyx (2)课堂小结我们引入新数 ，规定2i1 i复数的代数形式：复数的代数形式：复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部虚数单位复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部虚数单位
26、复 数+i ( ,R)zaba b 复数集C+ i( ,R)z z a ba b( =0)(0)(=0)babiba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数复数集( =0)(0)(=0)babiba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数复数集实数集虚数集( =0)(0)(=0)babiba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数复数集实数集虚数集( =0)(0)(=0)babiba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数纯虚数集 复数相等，即：实部等于实部，虚部等于虚部( , , ,)iiRa b c dacabcdbd作业12i,2i,3i,i,03 1.请 说 出 下 列 复 数 的 实 部 和 虚 部 ：22+7 0.618i,5i+8,392i,i,0i(13)7 ，2.指出下列各数中哪些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，为什么？22(56)(3)immmm3.当 实 数 m取 什 么 值 时 ， 复 数是 下 列 数 ？ （ 1） 实 数 ； （ 2） 虚 数 ； （ 3） 纯 虚 数,(32 )(5)i172i(3)(4)i0 x yxyxyxyx 4.求满足下列条件的实数的值：(1);(2).
