1、弧度制及其与角度制的换算北京市师达中学请同学们观察动画,这些机械部件在做什么运动?问题1.大齿轮旋转一周,旋转的角 度是多少?大齿轮旋转三分 之一周,旋转的角度是多少?请同学们观察动画,回答:360,3601203,角度制.问题2.你对角度制有哪些认识?请同学们观察动画,回答:初中学习过的角度制:定义:以度,分,秒为单位的角的 度量制叫作角度制.1度: 把圆周等分成 份,其中 每一份所对应的圆心角为1度. 360问题3.当大齿轮旋转一周时,一个小齿 轮旋转的角度是多少?请同学们观察动画,回答:RrAB两个齿轮旋转形成的弧长是相等的.旋转形成的两条弧有什么关系?大齿轮旋转一周形成的弧长为 ,小齿
2、轮旋转形成的弧长为 ,2R2R数学化小齿轮旋转的角与 有关.22RrRrAB当 时,=()R kr k Z小齿轮旋转的角是2()2Rk kr Z ,整数 周.k数学化RrA2()2Rmlmr Z,小齿轮旋转的角是弧长 对应的圆心角是多少呢?l当 不是 的整数倍时,rR数学化BRrAB2=.360rl n初中学习过的弧长公式:如果圆心角为 ,则弧长 为nl数学化请同学们观察图形,回答:问题4.在半径不同的两个同心圆中, 比较 的圆心角所对的弧 长的关系.120两个同心圆的圆心记作 , 的圆心角 所对的两段弧为 , .O 120ABAB半径大,弧长大;半径小,弧长小.120ABBA22=120=3
3、603ABRRl12022=120=3603ABrrl,22=120=3603ABRRl,得到23ABlR,23ABlr,ABBA这两个等式的右边不包含半径,表示弧长与半径的比值不依赖于半径,这个比值是一个常数,且只与圆心角 有关. 120提出猜想:同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.120问题5.还可以用什么来度量角呢?可以利用弧长与半径的比值来度量角吗?ABBA问题6. 与 有什么关系?12012023ABBA确定同一个角.问题7.证明猜想:同一圆心角所对的弧长 与其所在圆的半径的比值是一个常 数.120ABBAn由弧长公式可得分析:设圆心角 ,弧长为 ,半径 为 ,nl
4、r2=360rl n,2=360lnr,等式的右边不包含半径,这表示弧长与半径的比值不依赖于半径,是一个常数.rlABnrlAB同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.n问题8. 与 有什么关系?n2360nrlAB确定同一个角.120ABBA问题5.还可以用什么来度量角呢?可以利用弧长与半径的比值来度量角吗?120ABBA问题5.还可以用什么来度量角呢?利用弧长与半径的比值来度量角.AB弧度数:称弧长与半径比值的这个常数 为圆心角的弧度数.rlr 弧度: 长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角.1单位: ,读作弧度.rad这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.1ra
5、dAB半径为 ,弧长为 所对的圆心角为 ,则 rl问题9.如果圆心角 是负角,如何表示?rl=lr=lr 的含义是什么?sin3用弧度制表示角时,“弧度”二字(或 )可以省略不写,只写这个角对应的弧度数.rad例如:2ABlr表示 的角的正弦.3rad表示 是 的角;2rad问题1.大齿轮旋转一周,旋转的角度是 多少?请同学们观察动画,回答:360角度制弧度制22RR问题10.弧度制与角度制如何换算呢?3602180等于多少弧度呢?1等于多少度呢?1 rad1 =180180=1 rad问题1.大齿轮旋转三分之一周,旋转 的角度是多少?请同学们观察动画,回答:120角度制弧度制2120 =12
6、01803,分析:180,1 =180,30 = 301806,得45 = 451804,60 = 60.1803643ABC1304560例1.把 化成弧度(用 表示),并在平面直角坐标系中作出他们的终边.1.053分析:2 ,.4Skk Z4练习. 写出与 终边相同的角的集合.4逆时针顺时针注意:两种度量角的单位不能混用, 数形结合360 ,4Skk Z,452 ,Skk Z,是不允许的.85分析:180得1,rad8588 180=28855,85在第四象限.180=,例2.把 化成角度数,并指出它所在的象限.分析:一个扇形中有哪些量?这些量之间有 什么关系?ABlrS例3.利用弧度制推
7、导扇形的面积公式. 设扇形的圆心角为 ,扇形的弧 长为 ,扇形的半径为 ,扇形的 面积为 .radrl由.lrlr,得弧长公式S22r,ABlrS圆心角是 的扇形的面积是 1rad221=22rSr,1=.2Slr例3.利用弧度制推导扇形的面积公式 . .lr扇形面积公式2扇形面积公式1212Sr,lrS分析: 1=2Slr,220rl ,20cm202lr,得21=(202 )(5)252Sr rr ,得练习.用 长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大,最大面积是多少?radlrS 设扇形的圆心角为 ,扇形的弧 长为 ,扇形的半径为 ,扇形的面 积为 .lrS020020rl
8、, 由得010r ,当半径 时,扇形的面积最大, 5r cm2lr圆心角rad.此时20210lr弧长cm,所以当扇形的半径为 弧长为 圆心角为 时,5cm,10 cm,2rad252cm .扇形的面积最大,最大面积为最大面积为252cm .2=(5)25Sr,小结数学问题数学 抽象发现问题科学实际问题lr用 度量 ?用 度量 ?l提出问题lr弧度制与解决问题角度制分析 问题换 算作业1.把下列各角度化为弧度(用含有 的代数式表示).(1)240(2) 12(3) 22 30作业2.把下列各弧度化成角度.5(1)3(2)83(3)2作业3.在半径为 的扇形中,圆心角为 ,求扇形的 面积.5cm2rad感谢观看