1、高一年级 数学平面与平面垂直的概念北京师范大学第二附属中学知识回顾线面平行线面平行面面平行面面平行线线平行线线平行知识回顾mn空间中的平行mnmmO线面平行线面平行面面平行面面平行线线平行线线平行知识回顾空间中的平行mnmnmn知识回顾直线与平面垂直定义直线垂直于平面内与其具有公共点的所有直线知识回顾直线与平面垂直判定定理充要条件,lmlm 直线与平面内两条相交直线垂直,则直线与平面垂直.直线垂直于平面内的任意直线.知识回顾直线与平面垂直性质定理判定定理充要条件直线与平面内两条相交直线垂直,则直线与平面垂直.直线垂直于平面内的任意直线.如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.,mnmn
2、则两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.,mmnn则笔记本电脑在打开的过程中,会给人以面面“夹角”变大的感觉.你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？新课引入新课引入OabOabab平面中的角：从一点出发的两条射线构成角.记作AOB. AO讲授新课射线射线直线上的一点将直线分成两部分,每一部分都叫做射线.AO平面内的一条直线将平面分成两部分,每一部分叫半平面半平面半平面讲授新课直线上的一 点 将直线分成两部分,每一部分都叫做射线.射线射线1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.讲授新课棱面面OA
3、讲授新课2.二面角的表示：讲授新课3.二面角的画法：“见者实、遮者虚”ll讲授新课4.二面角的大小：在二面角-l- 的棱 l 上任取一点O,在半平面 和 内,从点 O 分别作垂直于棱 l 的射线OA、OB,射线OA、OB组成的AOB叫做二面角 -l- 的平面角.OABlO讲授新课4.二面角的大小：在二面角-l- 的棱 l 上任取一点O,在半平面 和 内,从点 O 分别作垂直于棱 l 的射线OA、OB,射线OA、OB组成的AOB叫做二面角 -l- 的平面角.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.OABl讲授新课注意1：二面角 -l- 的平面角AOB的大小与点O在棱l上位置无关.OABlCEF
4、讲授新课5.二面角-l-的范围：lll0,000180AOB讲授新课注意2：两个平面相交时所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不大于直角的角的大小.lll讲授新课OABOABOAB讲授新课6、两个平面垂直的定义：如果两个平面,相交所成的二面角是直二面角,则称此时这两个平面互相垂直.记作：.lOAB讲授新课6、两个平面垂直的定义：如果两个平面,相交所成的二面角是直角,即直二面角,则称此时这两个平面互相垂直.记作：.ll讲授新课思考1：已知,二面角-l-是锐角,过二面角-l-的半平面内一点A(A 不在棱l上),作另一个半平面的垂线,垂足为B.过点B作棱l的垂线,垂足为O,连结AO,则AO
5、B是二面角-l-的平面角吗？为什么？lB略解：因为AB,所以AB l. 因为OB l,所以,l平面AOB.所以,lAO.AOB是二面角-l-的平面角.AO讲授新课lBAO思考1：如图，过锐二面角-l-的半平面内一点A(A不在棱l上),作另一个半平面的垂线,垂足为B.过点B作棱l的垂线,垂足为O,连结AO,则AOB是二面角-l-的平面角.讲授新课思考2：如图,平面 垂直于二面角-l- 的棱l,分别与面、相交于OA、OB,则AOB是二面角-l-的平面角吗？为什么？lAOB略解：因为l面,所以,l AO,且 l BO. AOB是二面角-l-的平面角.讲授新课思考2：如图,平面 垂直于二面角-l- 的
6、棱l,分别与面、相交于OA、OB,则AOB是二面角-l-的平面角.lAB二面角的平面角的作法总结：1.定义法：依据定义作出二面角的平面角l二面角的平面角的作法总结：1.定义法：依据定义作出二面角的平面角2.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到二面角的平面角.lllOBA二面角的平面角的作法总结：1.定义法：依据定义作出二面角的平面角2.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到二面角的平面角.3.作垂线：做出半平面的垂线,利用线面垂直的知识作出二面角的平面角.lABO二面角的平面角的作法总结：1.定义法：依据定义2.作垂面：作与棱垂直的平面,利用与两半平面的交线3.作垂线：做出半平面
7、的垂线,利用线面垂直的知识典型例题例.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l122l2例.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_12图一典型例题11l122l2相等或者互补例.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_12图二典型例题例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l1例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角
8、的大小关系为_典型例题11l12例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l122l2例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l122l2例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l122l2无关例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小关系为_典型例题11l122l2无关门墙墙地例.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这
9、两个二面角的大小关系为_典型例题平面几何中的命题：“在平面内，如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”平面几何中的命题：“在平面内，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,（1）求二面角D AB D1的大小,（2）BAC B3ABC1D1A1B1CD.典型例题AA1BCDB1C1D1典型例题AA1BCDB1C1D1例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,（1）求二面角D AB D1的大小,典型例题AA1BCDB1C1D1解答：证指算作典型例题AA1BCDB1C1D1例.在正方体ABCD-A1B1C1
10、D1中,（2）BAC B典型例题AA1BCDB1C1D1O解答：证指算作典型例题AA1BCDB1C1D1EF例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,3ABC1D1A1B1CD.典型例题AA1BCDB1C1D1EF例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,3ABC1D1A1B1CD.3FEC1D1A1B1EF.典型例题AA1BCDB1C1D1EF证指作解答：算求解二面角的过程总结：求二面角的大小,一般先利用二面角的定义、作二面角棱的垂面、作面的垂线等等方法做出二面角的平面角,并证明所作角为二面角的平面角，通过解平面角所在的三角形求得平面角.其解题过程也称为“作、证、指、算”课堂练习三棱锥ABC
11、D中,ABBCCDDAACa， BD a,求: 二面角ABDC的大小BCDA2解答取BD的中点为O，分别连AO、CO因为ABAD=a，所以AOBD，同理，COBD所以AOC为二面角ABDC的平面角.因为ABAD=a，BD= a，在AOC中， ， OA2OC2AC2所以AOC90即二面角ABDC的大小为90.BCDAO证指作算222AOa22OCa1.二面角课堂小结2.平面与平面垂直的定义定义范围作法步骤棱上取点、分别在两个半平面内、与棱垂直射线0,定义、棱的垂面、面的垂线作、证、指、算直二面角1、判断下列命题的真假：（1）过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直.（2）已知平面 满足 , 则 .课后作业、 、2、已知正四面体A-BCD, 求：二面角ADCB的余弦值.高一年级 数学立体几何主讲人 高雪松北京师范大学第二附属中学
