1、教教 案案教学基本信息课题空间中的平行与垂直的综合应用（一）学科数学学段：高中年级高一教材书名:普通高中教科书数学必修第四册（B 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月第 1 版教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者黄悦北京师大二附中实施者黄悦北京师大二附中指导者李梁北京市西城区研修学院课件制作者黄悦北京师大二附中其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.熟悉线面、面面平行关系和垂直关系的转化，利用常见几何体的性质，应用平行和垂直的判定定理、性质定理解决空间中平行和垂直相关问题；2.培养空间想象能力,会根据已知条件将问题进行适当转化,通过对综合问题的分析，提升逻辑推理水
2、平；3.借助对综合问题的分析，更好地练习自然语言、图形语言和符号语言之间的互相转化，体会数形结合思想在立体几何相关计算中的渗透.教学重点、难点：平行关系或垂直关系之间的相互转化教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入（一）知识的回顾（一）知识的回顾证明线面平行、线面垂直有哪些方法？证明面面平行、面面垂直有哪些方法？承前启后， 提出本节课的学习任务教学过程（二）（二）通过具体题目点明基本方法通过具体题目点明基本方法如图， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PD 的中点，(1)求证：AF平面 PEC；(2)求证：平面 PEC平面 P
3、CD；基本方法：基本方法：（1）证明线面平行、面面平行,需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直、面面垂直,需转化为证明线线垂直(三三)以常见几何体为载体讲评典型例题以常见几何体为载体讲评典型例题通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的位置关系,重点学习了空间中的平行关系和垂直关系, 这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合应用问题, 进一步提升解决立体几何综合问题的能力.高一学生新课阶段刚学完定理，想借助具体问题引入，让学生回顾自己都学了什么，能用到什么程度，再去反思总结方法层面的内容。题后反思：1.证明线面平行,面面平行,需转化为证明线线平行2.证明线面垂直,面面垂直,需转化为证明
4、线线垂直和新授课中的几何体与定理做衔接，先复习定理，而不是先上习题，先从常见几何体入手，这些几何体中的平行垂直关系非常丰富，可以让学生从常规视图开始训练，比较符合高一学生的认知规律教学过程例例 1 1 图图同类练习同类练习 1 1 图图例 1：如图，在正方体1111ABCD-A B C D中，E 是1CC中点，求证：(1)1ACBD（2）1ACBDE平面思路引导： 线线垂直和线面垂直如何转化？线面平行和线线平行如何转化？（怎么构造线面垂直？怎么构造线线平行？）同类练习 1：直三棱柱111ABC-A B C中，o1ABC=90AB=AC=BB，M 为11A B的中点，N是1A C与1AC的交点.
5、求证:(1)11MNBCC B平面(2)1MNBC 平面A例例 2 2 图图同类练习同类练习 2 2 图图例 2：如图所示，O 是正方形 ABCD 的中心，POABCD 底面，E是 PC 的中点，求证：（1 1）PABDE平面正方体中的平行垂直关系是学习立体几何中的平行和垂直关系的特别好的载体，高一的学生从正方体的问题中去熟悉解题思路，是一个容易接受的切入点。从正方体到直棱柱，问题还是在棱柱中，但是对思维能力的要求提升了。棱锥的研究从正棱锥开始，让初学立体几何的高一学生先对规则的图形有正确的认识，再过渡到底面特殊的棱锥，由浅入深，让学生的对几何体中的线面关系认教学过程(2)(2)CPABDE平
6、面平面同类练习 2：如图，PAABCD 矩形所在的平面，M,N 分别是 AB,PC 的中点.(1)求证：MNPAD平面(2)求证：MNCD(3)45 ,oPDA若求证：MNPCD 平面例例 3 3 图图同类练习同类练习 3 3 图图例 3： 如图， 已知ABC是正三角形， EA,CD都垂直于平面 ACB，且2 ,EAABa DCa，F是 BE 的中点，求证：（1 1）FDABC平面（2 2）AFEDB 平面同类练习 3： 在如图所示的几何体中， 四边形 CDEF为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，且ABBC=2 3AB=2AD=4AEBDCD，（1）求证：BADED 平面(2)求证：当点
7、M 为 BD 的中点时 ，BFECM平面（四）课后练习（四）课后练习 M D A P B C F D E C1 B1 A1 C B A识逐步深化，符合认知规律在立体几何的证明中，也经常会遇到组合体，在熟悉了棱柱和棱锥的性质之后，再逐渐接触组合体中的平行和垂直关系，让学生能一步一个台阶地提升思维训练的水平。这两个问题分别是看上去类似锥体和柱体的组合体，不但能让学生进行概念的再巩固，也能让学生的思维不拘于特殊的几何体。练习的设置是为了有机会将课堂所讲的问题巩固并把方法加深印象教学过程练习练习 1 1 图图练习练习 2 2 图图练习 1：如图，已知三棱锥 A-BPC 中，APPCACBC，M为 AB
8、 中点，D 为 PB 中点，且PMB为正三角形（1） 求证：DMAPC平面(2)求证：ABCAPC平面平面(3) 若 BC=4，AB=20，求三棱锥 D-BCM 的体积练习 2：如图，三棱柱111ABC-A B C中，侧棱1AAABC 平面，ABC为等腰直角三角形，o1BAC=90 , ABAA，D，E，F 分别是11,B A CC BC中点.(1)求证：BCDE 平面A(2)求证：1B F平面AEF(3)设AB= a，求三棱锥D-AEF 的体积课堂小结1、在解决立体几何问题时，经常要完成从空间到平面的转化，添加辅助线后，应该先在平面图形中分析几何关系；要学会从文字语言的叙述中，提炼出符号语言，并且标记在图形中，转化成图形语言； 要熟悉常见几何体的性质；2、垂直和平行关系的核心问题主要围绕“线线平行”和 “线线垂直” 展开， 要对定义和定理非常熟悉，并多总结转化经常用到的思路和方法，规范解答题过程书写.把最基本的要求提出来， 把最核心的方法提出来
