1、高一年级 数学探索旋转现象中的变量关系模型任意角三角函数概念北京市海淀区教师进修学校横杆回顾P滑块O滑轨匀速圆周运动 回顾1角的扩充p将角进行扩充：转角物体运动 图形运动 点运动旋转现象：旋转中心，旋转角，对应点 大小 方向静态 动态始边 终边逆时针顺时针实数正负绝对值符号匀速圆周运动 回顾2弧度制p 研究角的度量：角度制，弧度制p 将“角”与“距离”在度量上实现了统一度量的关键：单位角度制：三百六十分之一周弧度制：圆的半径 两种度量制的联系：圆匀速圆周运动循环往复的平移运动 回顾3坐标系中的角匀速圆周运动循环往复的平移运动 回顾3坐标系中的角匀速圆周运动循环往复的平移运动 回顾3坐标系中的角
2、匀速圆周运动循环往复的平移运动 回顾3坐标系中的角p 将角放在坐标系中来研究： 确定角 确定终边 确定终边上一点匀速圆周运动循环往复的平移运动u分析：发现并关联到锐角三角函数本课核心任务p 建立平移与旋转之间的关系模型( , )x yrM任务1：xr0y u当终边在初始位置，与 轴正半轴重合时：x任务2：u当终边首次旋转到第一象限时：cosxrsinyr任务3：0 x yru当终边首次旋转到与 轴正半轴重合时：y任务4：u当终边首次旋转到第二象限时：cos()xr sin()yr任务5：xr 0y u当终边首次旋转到与 轴负半轴重合时：x任务6：u当终边首次旋转到第三象限时：cos()xr s
3、in()yr 任务7：0 x yr u当终边首次旋转到与 轴负半轴重合时：y任务8：u当终边首次旋转到第四象限时:cos(2)xrsin(2)yr 任务9：xr0y u当终边第二次旋转到与 轴正半轴重合时：x任务10：u当终边第二次旋转到第一象限时:cos(2)xrsin(2)yrM 任务11：表达模型,0,cos ,(0,),20,2cos(),(,),2,3cos(),(,),23cos(2),(,2).2rrxrrrr 这仅是旋转的第一圈情况 任务11：表达模型,cos(),(,),20,2cos(),(,),2,3c2os(),(,),23cos(2),222222222.222(,2
4、)222rrxrrrr旋转的第2圈情况 任务11：表达模型,cos(),(,),20,2cos(),(,(),22(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)(2(1)2(1)2(1)2(1)21)2(1)2(1,3cos),(,2)2),23cos( ),(2rrxkkkkkkrkkkkkrrrkk),21).1)2(kkkN第k圈情况这也是变量模型的完整表达式探索活动的回顾、评价与反思u学而不思则罔：不经过反思和抽象，对事物或实践的认识就难以进入深刻。u反思抽象是实现“由厚到薄”的必经之路。探索活动的回顾、评价与反思u发现：在描述旋转现象中的变量关系时，锐角三角函数概念有很大的局限性。u
5、数学史小知识：锐角三角函数 原本是因测距的需求而产生的（例如，在 天文学领域不可直接测量的天体间距离）。任务12：如何优化模型呢？u困境：缺乏好用的合适数学工具。u破局：将锐角三角函数概念扩充到任意角三角函数概念。任务12：如何优化模型呢？u思考：如何定义任意角三角函数的概念呢？u需要消除：在连续旋转现象中暴露出的“锐角”局限性；平移量相对于原点方位的正、负符号表达。u需要注意：包容锐角三角函数含义。定义任意角三角函数概念对于任意角 来说，设 是角 终边上异于原点的任意一点， .( , )P x y22rxy( , )x yp一般地，称 为角 的正弦，记为 ；称 为角 的余弦，记为 ；称 为角
6、 的正切，记为 .yrxrsincosyxtan用任意角三角函数概念简化模型表达( , )x ycos ,sin .xryr横向平移量纵向平移量u 这样，就极大简化了平移量与旋转量的关系模型u 任意角三角函数概念解决了描述旋转现象中变量关系模型的两个问题： 平移量的符号和角的表达的繁琐性反思、抽象、感悟u 想一想，在以前的学习过程中，我们还曾经经历过哪些数学对象的扩充？数系的扩充，角的扩充，幂指数的扩充等等。2525当下是禁忌事项将来未必还是！1?感受数学抽象之美，领悟抽象的意义。(0)mm nnamaan整数反思、抽象、感悟u 学习体验：对事实不进行还原难以认识其本来面目，不抽象对其理解就难
7、以走向深刻。正如哲学家康德：“感性无知性则盲，知性无感性则空。”u 思想观念的认识：从锐角三角函数概念到任意角三角函数概念的发展，体现了数学的思想、精神 与文化的深刻内涵。分析：由任意角三角函数的概念可知，由终边上非原点的任意一点的坐标，可以计算出 r 的值，然后依据定义就可以依次求出角的正弦值、余弦值和正切值。u 例1 已知角 终边经过点 ，求 的值.(23)P，sin,cos,tan解：u 例1 已知角 终边经过点 ，求 的值.(23)P，sin,cos,tan22222,32( 3)13xyrxy 设,则3 132 13sin,cos,13133tan.2yxrryx 所以，sintan
8、cos此时任意角三角函数概念的直观模型单位圆p若 ，则 所以，角 的终边与单位圆的 交点为 .1r cos ,sin .xy(cos ,sin )Psincostanyxyrrx，(cos ,sin )M弧长三角函数定义可否再简明一些呢？p想象一下，生活在平面上的二维动物的眼中，循环往复地做着匀速圆周运动的质点P在做怎样的运动呢？p从左向右看是怎样的？p从上向下看是怎样的？P(cos ,sin )任意角三角函数单位圆上质点的运动模型OxyMN任意角三角函数单位圆上质点的运动模型sin002101320任意角三角函数单位圆上质点的运动模型cos01201 03221任意角三角函数单位圆上质点的运
9、动模型p任意角三角函数概念，在本质上，反映了单位圆上作匀速圆周运动的质点P 的运动规律。p若质点P的角速度为1rad每秒，则角 .任意角三角函数单位圆上质点的运动模型质点P在横轴上的投影点相对于原点 O 的位移量 x 关于时间 t 的函数。p任意角三角函数概念，在本质上，反映了单位圆上作匀速圆周运动的质点P 的运动规律。p若质点P的角速度为1rad每秒，则角 . 刻画的就是tcost任意角三角函数单位圆上质点的运动模型质点P在纵轴上的投影点相对于原点 O 的位移量 y 关于时间 t 的函数。p任意角三角函数概念，在本质上，反映了单位圆上作匀速圆周运动的质点P 的运动规律。p若质点P的角速度为1
10、rad每秒，则角 . 刻画的就是tsint(1) cos260( 2) sin()3负负costansin10(3) tan3正正(1) 0( 2) 3(3)2分析：由三角函数的直观化解释模型，我们知道：角的正弦值和余弦值就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标与横坐标，所以只需确定角的终边与单位圆交点坐标即可.(1) 0( 2) 3(3)2角0的终边在 x 轴正半轴上，它与单位圆交点为（1，0），因此0sin00,cos01,tan001解：(1) 0( 2) 3(3)20sin0,cos1,tan01 解：角 的终边在 x 轴负半轴上，它与单位圆交点为 ，因此( 1,0)(cos )N(1) 0
11、( 2) 3(3)2解：333sin1,cos0,tan222 不存在角 的终边在 y 轴负半轴上，它与单位圆交点为 ，因此(0, 1)32小结：核心任务：探索并建立平移量与旋转量之间的关系模型锐角三角函数概念任意角三角函数概念扩充关联体现了数学的精神与文化直观化模型小结：核心任务：探索并建立平移量与旋转量之间的关系模型锐角三角函数概念任意角三角函数概念扩充关联体现了数学的精神与文化直观化模型小结：核心任务：探索并建立平移量与旋转量之间的关系模型锐角三角函数概念任意角三角函数概念扩充关联体现了数学的精神与文化若角速度为 ，cos,sin.xrtyrtr半径为 ，则周期运动模型1/rads发展性作业挑战自我u任意角三角函数概念的直观化模型 单位圆具有丰富的几何性质，由这些几 性质，你可以发现三角函数的哪些性质？ Mu请尝试用任意角三角函数概念去描述机械部件中左侧小轮与滑块的运动关系。基础性作业2.已知角 的终边经过点 ，求 的值.( 13)P ，sin,cos,tan1.确定下列各值的符号.(1)sin256( 2)cos( 80 )16(3)tan()53.若 ，求下列角的三角函数值.(1)sin2 ( 2 ) cos( +)(3)tan 2kkkkZ感谢观看
