1、教教 案案教学基本信息课题瞬时速度与导数（1）学科数学学段：高中年级高二教材书名:普通高中课程标准实验教科书数学选修 1-1（B 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者吴中才中国人民大学附属中学实施者吴中才中国人民大学附属中学指导者张晓东北京市海淀区教师进修学校课件制作者吴中才中国人民大学附属中学其他参与者教学目标及教学重点、难点一、教学目标：1.结合实例，理解瞬时速度的概念2.会研究物体在某一时刻的瞬时速度3.在理解瞬时速度的过程中，体会极限思想（无限逼近思想）与数形结合的方法二、教学重点：瞬时速度的概念三、教学难点：极限思想的理解教学
2、过程教学环节主要教学活动设置意图问题引入物体作匀速运动，则物体在每一时刻的速度均相同物体作变速运动，我们常常会说它的平均速度例如，北京到天津的高铁距离为 120km，行驶时间为半小时，则高铁的平均速度为 240km/h那么，究竟如何刻画作变速运动的物体在某一时刻的速度呢？下面，我们以匀变速运动为例进行研究（一）创设情境，提出问题（一）创设情境，提出问题问题问题：某跳台跳水运动员从起跳到入水的过程中，距离水提出问题， 引发思考.设置情境， 激发兴趣面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系2( )4.9410h ttt ，如何求该运动员在1t s时的速度呢？数理综合思考：数理
3、综合思考：（1）物体竖直上抛运动的运动方程是什么？参答：201( )2h tv tgt（2）在函数2( )4.9410h ttt中，我们能读取一些什么信息？参答：初速度为 4m/s，加速度为 9.8m/s2，该运动员进行的是 10 米跳台跳水运动还可求运动到达的最大高度以及所需时间，整个跳水过程所需时间（3）物理上怎么计算 1s 时的速度？参答：利用公式0tvvgt，当1t s 时运动员的速度为5.8m/s.（4）从数学上怎么理解公式0tvvgt呢？参答：这是我们本节课要研究的问题从数学和物理已有的学科知识进行思考，学科综合，横向联系设置疑问， 促进求知欲算法形成（二）寻找算法，剖析思路（二）
4、寻找算法，剖析思路（1）从生活经验中获取思路）从生活经验中获取思路生活中我们对物体在某一时刻的运动速度是有感觉的： 比如，一辆汽车出发 t0（单位：分钟）后到达 A 处，假如我们此时就站在 A 处的路旁， 我们是能感受到汽车那一时刻速度的大小的那么，我们对汽车速度的感受与判断是如何完成的呢？其实，我们对汽车速度的感受与判断，不是仅仅对汽车在t0时刻这一点的运动作出的，而是对汽车从 t0时刻前一小段时间到 t0时刻的运动， 或从 t0时刻到 t0时刻后一小段时间的运动感知的（2）将生活素材数学化）将生活素材数学化设这“一小段时间”为t，并设汽车的位移 s（单位：m）关于行驶时间 t 的函数关系为
5、 s=f(t)我们可以先研究汽车在 t0到 t0+t 之间的平均速度从学生的生活经验出发， 寻找理解瞬时速度的切入点将生活经验数学化， 用数学方法研究问题00()( )f ttf tt ，若这“一小段时间”t 足够短，那么汽车在这一小段时间内的平均速度可以近似地认为是 t0时刻的速度（3）从特殊入手，研究变化规律）从特殊入手，研究变化规律我们再来研究跳台跳水运动员在1t s 时的速度：先研究 1 右侧附近的情况 取一些具体的t值来计算运动员在 t0到 t0+t 之间的平均速度：0.1t ：(1.1)(1)8.4719.16.290.10.1hh 然后取0.01t ，0.001，0.000 1，
6、0.000 01，依次计算(1)(1)htht 的值， 我们可以利用 EXCEL 的填充功能快速完成计算，得到如下结果：同样，再研究 1 左侧附近的情况：取0.01t ，0.001，0.000 1，0.000 01， ， 依次计算(1)(1)htht 的值，得到如下结果：由此可见，当时间改变量（间隔）越来越小时，平均速度趋于常数5.8，这个常数可视为该运动员在 1 s 时刻的速度这里的“”号表示运动员在这个时刻是的运动方向是竖直向下组织学生讨论运动员在1t s 附近的平均速度和瞬时速度之间的关系， 引导学生从已知探求未知的规律.在计算过程中感受和观察逼近的趋势， 用静态的计算刻画动态过程，体会
7、极限思想.（4）数形结合，直观理解变化趋势）数形结合，直观理解变化趋势我们把上面计算出来的平均速度用折线图表示， 可以直观地看到趋近于5.8 的过程（5）抽象概括，发现规律）抽象概括，发现规律上面的系列计算过程我们可以用一般的演算过程来表达我们先计算运动员在1t 到 1+t 之间的平均速度：(1)(1)htht 222 4.9(1)4(1) 10 ( 4.9 14 1 10)4.9()9.844.95.8.tttttttt 这个平均速度可以看作是t 的一次函数， 而且是单调递减函数无论t是正是负，当t无限趋于 0 时，平均速度趋于常数5.8这与上面的计算规律完全吻合数形结合， 直观感受极限思想
8、把一系列的具体计算过程进行抽象概括， 可以一般地表达运算过程，发现普遍规律问题解决（三）方法迁移，解决问题（三）方法迁移，解决问题一般地，我们可以求运动员在任意 t0时刻的速度我们同样先求0t到0tt之间的平均速度：从特殊点1t 推广到一般点0tt00()( )h tth tt 220000200 4.9()4() 10 ( 4.9410)4.9()9.844.99.84.tttttttttttttt 当t无限趋于 0 时，上面这个平均速度趋于常数09.84t，我们把它称为运动员在0t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度的表示， 方法是可以迁移的 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构， 并用数学语言
9、予以表征， 可以发展我们数学抽象的核心素养.辨析与回扣（四）概念辨析对比，深入数理研究（四）概念辨析对比，深入数理研究（1 1）瞬时速度与平均速度的关系）瞬时速度与平均速度的关系物体在某一时刻0t的瞬时速度可以看成是0t到0tt之间的平均速度的极限， 当t无限趋近于 0 时， 平均速度就无限趋近于0t时刻的瞬时速度（2 2） “t趋于趋于 0 0”和和“t0 0”的区别的区别可能有同学觉得，0t时刻的瞬时速度09.84t，不就是在式子04.99.84tt 中，令t0 得到的吗？这里t趋于 0，意思是指t是一个非常小的正数，它可以无限接近 0，但永远也不会等于 0.t到底有多小呢？我们可以在心中
10、任意想出一个很小很小的正数(比如0.0001)，t比我们想出的正数还要小很多！ ！（3 3）奇怪的比值与极限思想）奇怪的比值与极限思想当t趋于 0 时，204.9()9.84tttt 也趋于 0，但是00()( )h tth t与t的比值却趋于常数5.8这与我们以往的认知大不一样！用自然语言提出“极限”的说法，初步渗透极限思想用通俗的语言描述极限思想， 进一步体会平均速度到瞬时速度中蕴含的无限逼近思想深入渗透极限思想， 为下节理解瞬时变化率和导数的概念打下基础我们不能用有限的思想来看待这个问题， 需要用无限的思想来理解！（4 4）从数学角度理解物理知识）从数学角度理解物理知识在匀变速运动中，物
11、体的运动方程是201( )2s tv tat其中0v为初速度，a是加速度我们仿照前面的求解过程， 可以求物体在t到tt之间的平均速度：2200200()( )11()() ()221()21.2s tts ttv tta ttv tattvtat tattvata t 当t趋于 0 时，012vata t趋于0vat，即物体在时刻t的瞬时速度为0( )v tvat我们再求物体在t到tt之间的平均加速度：00()()()( ).va ttvatv ttv tatt 当t趋于 0 时，可以说a仍然趋于a，即物体在任何时刻t的加速度均为a，亦即物体作匀加速度运动从数学的角度深入理解物理知识，加强学科
12、融合巩固与应用例例 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为 100m/s(1)求小球在 t0时刻的瞬时速度；(2)试求小球何时速度为 0.解：解：不妨设小球从地面向上弹射，则小球离地面的高度( )h t为：221( )1001004.92h ttgttt（1）小球在0t到0tt之间的平均速度为：从实例理解求物体瞬时速度的主要步骤， 理解瞬时速度与平均速度之间的关系00220000200()( )100()4.9() (1004.9 )1009.84.9()1009.84.9.h tth tttttttttttttttt 当t趋于 0 时，01009.94.9tt趋于01009.8t，即小球在0t
13、时刻的瞬时速度为01009.8t（2）由（1）知，小球在t时刻的瞬时速度为1009.8t，令1009.80t，得：50010.249t ，即小球大约在弹射 10.2 秒后速度为 0.总结：总结：求瞬时速度的主要步骤有： 求增量h00()( )h tth t； 求平均速度00()( )h tth tt ； 当t 趋近于 0 时，求出平均速度所趋近的常数，即为瞬时速度思考与讨论：思考与讨论：（1）小球的速度变为 0，意味着什么？参答：停止上升（2）小球上升的最大高度是多少？（精确到 1m）参答：2(10.2)100 10.24.9 10.2510(m)h；或者看作求二次函数的最大值（3） 小球在
14、3s 到 9s 之间的平均速度是多少？这个平均速度与小球在 3s 和 9s 的瞬时速度有什么数量关系？参答：小球的平均速度为01009.84.9tt，所以在3s 到 9s 之间的平均速度是1009.8 34.9 6 41.2m/s；小球在0t时刻的瞬时速度为01009.8t， 所以在 3s 和 9s 的瞬时速度分别为 70.6 m/s 和 11.8 m/s我们发现，平均速度正好是两个瞬时速度的平均数在例题中进行总结， 体现知识与方法的螺旋上升， 同时渗透学法指导深入理解平均速度与瞬时速度之间的数量关系推导过程留给同*（4）一般地，小球在 t1到 t2的平均速度与它在 t1和 t2时刻的瞬时速度
15、有什么数量关系？你能证明吗？参答：在数量上，平均速度是两瞬时速度的算术平均数证明过程略例例 已知某 F1 赛车从 0 s 到 6 s 匀加速过程中，位移s(单位：m) 与时间 t (单位：s) 存在函数关系2( )6s tt，求该赛车在 t = 6s 时的瞬时速度【解法 1】该赛车在 6 s 到 (6+t) s 之间的平均速度为22(6)(6)6(6)66672.ststttt 当t 趋于 0 时，6t +72 趋于 72，即该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度为 72 m/s.【解法 2】该赛车在 0 s 到 6 s 的平均速度为22(6)(0)666036.606ss 因为该赛车在 t = 0 s 时的速度为 0m/s，所以该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度为 362 = 72(m/s).学们思考， 学过导数后可以回扣这个问题课堂小结本节课主要学习瞬时速度的概念与求法从特殊到一般：从匀速运动到变速运动，从特殊值的计算到一般情况的推理数形结合：从折线图看平均速度的变化趋势整理知识结构， 梳理思想方法布置作业已知某物体作竖直上抛运动，其运动方程为S(t)5t24t3（1）求 t=1s 时此物体的瞬时速度；（2）何时此物体的瞬时速度为 2?（3）此物体的初速度和加速度分别是多少？22(6)(6)6(6)66672.ststttt
