1、同学们，大家好！我是来自清华大学附属中学的数学教师杨锦。今天我们同学们，大家好！我是来自清华大学附属中学的数学教师杨锦。今天我们将要学习的内容是导数的第四节常数与幂函数的导数将要学习的内容是导数的第四节常数与幂函数的导数 。通过前面课程的学习，我们已经知道了导数的几何意义是曲线在某点处的通过前面课程的学习，我们已经知道了导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. .（dhdh）对于函数对于函数( )yf x，如何求它的导数呢？由导数定义本身如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求给出了求导数的最基本的方法。
2、但是，导数是用极限来定义的，求导数总是归结到求极导数的最基本的方法。但是，导数是用极限来定义的，求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难。为了能尽快地求出函数的导数，我限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难。为了能尽快地求出函数的导数，我们要研究简捷地求导方法。们要研究简捷地求导方法。为此，今天这节课，我们将研究几个常用的基本初等函数的导数为此，今天这节课，我们将研究几个常用的基本初等函数的导数. .1.1. 函数函数( )yf xC的导数的导数（dhdh）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象上任一点( , )x y，（d dh h）()(
3、)0yf xxf xCCxxx（d dh h）lim00 xyx ，（d dh h）所以，导数所以，导数0y ，也可以写成，也可以写成0C . .函数函数yC的导数的导数0y ，（d dh h）从几何意义上讲，是函数图象上每一点处的切线斜率都为从几何意义上讲，是函数图象上每一点处的切线斜率都为 0.0.（d dh h）它的物理意义是什么呢？若它的物理意义是什么呢？若yc表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则0y 可以解释成某物体的瞬时速度始终为可以解释成某物体的瞬时速度始终为 0 0，即物体一直处于静止状态，即物体一直处于静止状态. .下面我们来看一下图象下面我们来看一下图象。
4、（dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点函数图象上任一点 P P，点点Q 逐渐向点逐渐向点 P 接近时，割线始终是直线接近时，割线始终是直线yC，割线的斜率始终是，割线的斜率始终是 0，因为切线，因为切线的斜率是割线斜率的极限，所以切线的斜率是的斜率是割线斜率的极限，所以切线的斜率是 0，所以导数恒为，所以导数恒为 0。2.2. 函数函数( )yf xx的导数的导数（d dh h）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象上任一点( , )x y，（d dh h）()( )1yf xxf xxxxxxxxx （d dh h）lim01xyx ，（
5、d dh h）所以，导数所以，导数1y ，也可以写成也可以写成1x . .函数函数yx的导数的导数1y ，（d dh h）它的几何意义是函数图象上每一点处的切线斜率都为它的几何意义是函数图象上每一点处的切线斜率都为 1.1.（d dh h）物理意义是，若物理意义是，若yx表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则1y 可以解释可以解释成某物体的瞬时速度始终为成某物体的瞬时速度始终为 1 1，也即物体在做速度为，也即物体在做速度为 1 1 的匀速运动的匀速运动. .下面我们来看一下图象下面我们来看一下图象。 （dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点函数图象上任一点 P
6、P，点点Q 逐渐向点逐渐向点 P 接近时，割线始终是直线接近时，割线始终是直线yx，割线的斜率始终是，割线的斜率始终是 1，因为切线，因为切线的斜率是割线斜率的极限，所以切线的斜率是的斜率是割线斜率的极限，所以切线的斜率是 1，所以导数恒为，所以导数恒为 1。3.3. 函数函数( )2yf xx的导数的导数（dh）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象上任一点( , )x y，（dh）()( )()2222yf xxf xxxxx xxxxxx （dh）limlim()0022xxyxxxx ，（dh）所以，导数所以，导数2yx，也可以写成，也可以写成()2
7、2xx. .函数函数2yx的导数是的导数是2yx，（dh）它的几何意义是函数图象上的点它的几何意义是函数图象上的点( , )x y处的切线斜率为处的切线斜率为2x，说明随着说明随着x的变化，切线的斜率也在变化的变化，切线的斜率也在变化. .（dh）它的物理意义是它的物理意义是，若若2yx表示路程关于时间的函数表示路程关于时间的函数，则则2yx可以可以解释成物体在做变速运动，它在时刻解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为的瞬时速度为2x. .下面我们来看一下图象。下面我们来看一下图象。（dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点，切线都是不同的，切线斜率函数图象上任一点，切线
8、都是不同的，切线斜率也不相同也不相同。4.4. 函数函数( )3yf xx的导数的导数（dh）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象上任一点( , )x y，（dh）()( )()3322333yf xxf xxxxxxx xxxxxx （dh）limlim()22200333xxyxx xxxx ，（dh）所以，导数所以，导数23yx，也可以写成也可以写成()323xx. .函数函数3yx的导数是的导数是23yx，（dh） 它的几何意义表示函数图象上的点它的几何意义表示函数图象上的点( , )x y处的切线斜率为处的切线斜率为23x， 说明随说明随着着x的
9、变化，切线的斜率也在变化的变化，切线的斜率也在变化. .（dh）它的物理意义是，若它的物理意义是，若3yx表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则23yx可可以解释成物体在做变速运动，它在时刻以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为的瞬时速度为23x. .下面我们来看一下图象。下面我们来看一下图象。（dh）我们可以看到，当点在我们可以看到，当点在函数图象上运动时，切线在随之变化，切线函数图象上运动时，切线在随之变化，切线斜率也在变化斜率也在变化。5.5. 函数函数( )1yf xx的导数的导数（dh）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象
10、上任一点( , )x y，（dh）()( )()()111yf xxf xxxxxxxxx xxxx xx （dh）lim2201xyyxxx ，（dh 即即( )211xx ，也可以写成，也可以写成()12xx . .函数函数1yx的导数是的导数是2yx ，（dh）它的几何意义表示函数图象上的点它的几何意义表示函数图象上的点( , )x y处的切线斜率处的切线斜率为为2x，说明说明随着随着x的变化，切线的斜率也在变化的变化，切线的斜率也在变化. .（dh）它的物理意义是它的物理意义是，若若1yx表示路程关于时间的函数表示路程关于时间的函数，则则2yx 可可以解释成物体在做变速运动，它在时刻以
11、解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为的瞬时速度为2x. .下面我们来看一下图象。下面我们来看一下图象。（dh）我们可以看到，当点在我们可以看到，当点在函数图象上运动时，切线在随之变化，切线函数图象上运动时，切线在随之变化，切线斜率也在变化斜率也在变化。6.6. 函数函数( )yf xx的导数的导数（dh）根据导数的定义，对函数根据导数的定义，对函数( )yf x图象上任一点图象上任一点( , )x y，（dh）()( )()()()yf xxf xxxxxxxxxxxxxxxxx ()1yxxxxxxxxx （dh）lim012xyyxx ，（dh）即即()12xx，也可以写成，也可
12、以写成()112212xx. .函数函数yx的导数是的导数是1212yx，（dh）它的几何意义表示函数图象上的点它的几何意义表示函数图象上的点( , )x y处的切线斜率为处的切线斜率为1212x，说明说明随着随着x的变化，切线的斜率也在变化的变化，切线的斜率也在变化. .（dh）它的物理意义是若它的物理意义是若yx表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则1212yx可可以解释成物体在做变速运动，它在时刻以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为的瞬时速度为1212x. .下面我们来看一下图象下面我们来看一下图象。 （dh）我们可以看到我们可以看到，对对函数图象上任一点函数图
13、象上任一点，切线切线都是不同的，切线斜率也不相同都是不同的，切线斜率也不相同。好，通过上面的学习我们来进行下一步的探究。好，通过上面的学习我们来进行下一步的探究。观察：观察：0C ，1x ，()22xx，()323xx，()12xx ，()112212xx. .（dh）归纳猜想：幂函数归纳猜想：幂函数nyx，nQ的导数是什么的导数是什么? ?（dh）结论：对任意的幂函数结论：对任意的幂函数nyx，nQ，都有，都有()1nnxnx. .这是一个正确的结论，限于我们现有的知识结构，这里不对它进行证明，这是一个正确的结论，限于我们现有的知识结构，这里不对它进行证明，大家记住这个结论就可以了。大家记住
14、这个结论就可以了。好，下面我们来看看所学新知识能进行怎样的应用。好，下面我们来看看所学新知识能进行怎样的应用。例例 1.1. 求下列函数的导数求下列函数的导数: :（1 1）12yx； （2 2）41yx； （3 3）53yx我们可以看到这些函数都是幂函数，我们可以看到这些函数都是幂函数，（dh）根据幂函数的导数公式，根据幂函数的导数公式，()1nnxnx，可以得到对可以得到对12yx， （dh）()121112yxx；对对41yx， （dh）()()4545144yxxxx ；对对53yx， （dh）()()325355523355yxxxx. .通过例通过例 1 1，可以看到可以看到，对幂
15、函数求导时对幂函数求导时，把幂函数写成把幂函数写成nyx的形式更有利的形式更有利于计算。于计算。例例 2.求曲线求曲线34yx在点在点( , )1 1处的切线方程处的切线方程.（dh）解析：已知切线上一点解析：已知切线上一点( , )1 1， （dh）若求切线方程若求切线方程， （dh）还需要知还需要知道切线的斜率，因此需要对函数道切线的斜率，因此需要对函数34yx求导。求导。根据幂函数导数的计算公式，根据幂函数导数的计算公式，（dh）()()31344443344yxxxx，（dh）|134xy，34k，（dh）所以在点所以在点( , )1 1处的切线方程为处的切线方程为()3114yx，（
16、dh）化简得化简得3144yx.例例 3.3. 质点运动方程是质点运动方程是4St，求质点运动的加速度，求质点运动的加速度. .解析：解析：（dh）我们知道把路程看成关于时间的函数，它在某个时刻的瞬时我们知道把路程看成关于时间的函数，它在某个时刻的瞬时变化率对应了瞬时速度，因此对路程求导就是速度；变化率对应了瞬时速度，因此对路程求导就是速度；（dh）那么物理上我那么物理上我们知道加速度是速度的瞬时变化率，因此把速度看成关于时间的函数，对们知道加速度是速度的瞬时变化率，因此把速度看成关于时间的函数，对速度求导就是加速度。速度求导就是加速度。（dh）根据幂函数导数的计算公式，根据幂函数导数的计算公
17、式，( )434Stt，（dh）令令34vt，（dh）对对34vt的函数图象上任一点的函数图象上任一点( , )t v, ,（dh）()(),33223444 33vtttttt ttttt （dh）limlim ()222004 3312ttvtt tttt , ,（dh）所以质点运动的加速度为所以质点运动的加速度为212t. .好，经过上面三道例题的学习，大家对幂函数导数的计算公式应该有了一好，经过上面三道例题的学习，大家对幂函数导数的计算公式应该有了一定的理解，下面我们再来进行新的探究。定的理解，下面我们再来进行新的探究。1.1.对函数对函数yC图象上任一点，试求该点处的切线方程图象上任
18、一点，试求该点处的切线方程. .（dh）设函数图象上任一点为设函数图象上任一点为(,)0 x C，（dh）因为因为0y ，根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是，根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是 0 0，（dh）所以切线方程为所以切线方程为yC.好，下面我们再来看图象好，下面我们再来看图象。 （dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点函数图象上任一点 P P，点点 Q 逐渐向点逐渐向点 P 接近时接近时，割线始终是直线割线始终是直线yC，而切线是割线的极限位置而切线是割线的极限位置，因因此，此，函数图象上任一点处的函数图象上任一点处的切线都是直线切线都是直线yC.2.2.对
19、函数对函数yx图象上任一点，试求该点处的切线方程图象上任一点，试求该点处的切线方程. .（dh）设函数图象上任一点为设函数图象上任一点为(,)00 x x，（dh）因为因为1y ，根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是，根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是 1 1，（dh）所以切线方程为所以切线方程为00yxxx，（dh）也即也即yx. .好，下面我们再来看图象好，下面我们再来看图象。 （dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点函数图象上任一点 P P，点点 Q 逐渐向点逐渐向点 P 接近时接近时，割线始终是直线割线始终是直线yx，而切线是割线的极限位置而切线是割线的极限位置，
20、因因此，此，函数图象上任一点处的函数图象上任一点处的切线都是直线切线都是直线yx.3.3. 对函数对函数ykxb图象上任一点，试求该点处的切线方程图象上任一点，试求该点处的切线方程. .与前面的做法类似，我们还是要先求导，以确定切线的斜率。与前面的做法类似，我们还是要先求导，以确定切线的斜率。（dh）解：设函数图象上任一点为解：设函数图象上任一点为(,)00 x kxb，（dh）()()00k xxbkxbyk xkxxx，（dh）lim0 xyykx 。（dh）根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是根据导数的几何意义，该点处的切线斜率是k，（dh）所以切线方程为所以切线方程为()()00yk
21、xbk xx，（dh）也即也即ykxb. .函数函数ykxb图象图象上任一点处的切线斜率为上任一点处的切线斜率为 k，（dh）它的代数意义是函数它的代数意义是函数ykxb的导数是的导数是 yk；（dh）物理意义物理意义：函数函数ykxb表示路程关于时间的函数表示路程关于时间的函数，则则 yk可以解可以解释成某物体的瞬时速度始终为释成某物体的瞬时速度始终为 k，即物体在做速度为，即物体在做速度为 k 的匀速运动的匀速运动.好，下面我们再来看图象好，下面我们再来看图象。 （dh）我们可以看到，对我们可以看到，对函数图象上任一点函数图象上任一点 P P，点点 Q 逐渐向点逐渐向点 P 接近时接近时，
22、割线始终是直线割线始终是直线ykxb，而切线是割线的极限位置而切线是割线的极限位置，因此，因此，函数图象上任一点处的函数图象上任一点处的切线都是直线切线都是直线ykxb.我们做一个小结：常值函数和一次函数的图象都是直线，它们图象上任一我们做一个小结：常值函数和一次函数的图象都是直线，它们图象上任一点处的切线还是这条直线点处的切线还是这条直线.下面，我们来做一些练习巩固本节课所学的知识。下面，我们来做一些练习巩固本节课所学的知识。练习练习. .( )1f x 的导数是（的导数是（）. .A A( )1fx B B( )0fx C.C. 不存在不存在D.D. 不确定不确定（dh）解析：常值函数的导
23、数为解析：常值函数的导数为 0 0. .（dh）所以正确选项是所以正确选项是 B B. .练习练习. .21( )yfxx ，则，则( )yf x可以是下列函数的哪一个可以是下列函数的哪一个( () )A A. .1( )f xxB.B.1( )f xx C C. .3( )2f xx D.D.31( )2f xx （dh）解析：函数解析：函数1yx的导数是的导数是2.yx （dh）所以正确选项是所以正确选项是 A A. .好，我们来看一个变式。好，我们来看一个变式。变式变式. .21( )yfxx，则，则( )yf x可以是下列函数的哪一个可以是下列函数的哪一个( () )A A. .1(
24、)f xxB.B.1( )f xx C C. .3( )2f xx D.D.31( )2f xx 通过与上面练习的对比通过与上面练习的对比，我们很容易想到我们很容易想到（dh）选项应该是选项应该是 B.B. 那么如何证那么如何证明呢，我们对明呢，我们对 B B 选项加以验证。选项加以验证。解析：对函数解析：对函数1( )yf xx 图象上任一点图象上任一点( , )x y，（dh）11()()( ),()yf xxf xxxxxxxxx xxx （dh）20011limlim.()xxyxx xxx 练习练习. . 曲线曲线3yx在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为k k，3k 时，点时
25、，点P P坐标为坐标为( () )A.A.( 2, 8)B.B.( 1, 1),(1,1) C.C.(2,8)D.D.11(,)28（dh）解析：函数解析：函数3yx的导数的导数23yx，（dh）233x 时，时，1x 或或1.x （dh）所以正确选项为所以正确选项为 B B我们来看下图象我们来看下图象。 可以看到可以看到， 曲线曲线3yx在点在点( 1, 1),(1,1) 处的切线互相平行处的切线互相平行。实际上，因为实际上，因为23yx，只要切线斜率不是，只要切线斜率不是 0 0，总是存在关于原点对称的两点，总是存在关于原点对称的两点，这两点处的切线斜率相等，切线互相平行。这两点处的切线斜
26、率相等，切线互相平行。我们来看变式。我们来看变式。变式变式. 求求曲线曲线3yx在点在点(0,0)P处的切线方程处的切线方程. .（dh）函数函数3yx的导数的导数23yx，（dh）|203 00 xy，0k ，（dh）所以切线方程为所以切线方程为()000yx，（dh）也即也即0y .练习练习. . 点点 P 在曲线在曲线2yx上，点上，点P P横坐标横坐标01 1(, )2 2x ，则点，则点 P 处切线的倾处切线的倾斜角的范围斜角的范围( () )A.A.0,)4B.B.3(, 4C C. .30,)(, 44D.D.3(,)44解析解析： （dh）函数函数2yx的导数为的导数为2yx，
27、（dh）01 1(, ),( 1,1),2 2xy ( 1,1),k 切线（dh）记切线的倾斜角为记切线的倾斜角为，则则tan( 1,1), 根据正切函数的图象性质，根据正切函数的图象性质，（dh）30,)(, .44 我们来看下图象，我们来看下图象，（dh）当点当点 P 横坐标从横坐标从12到到 0 变化时变化时，点点 P 处切线的倾斜角是钝角处切线的倾斜角是钝角，在逐在逐渐增大渐增大， （dh）也即此时也即此时3(, 4，（dh）当当点点 P 横坐标从横坐标从 0 到到12变化时点变化时点 P 处切线的倾斜角是锐角，也在逐处切线的倾斜角是锐角，也在逐渐增大渐增大， （dh）也即此时也即此时
28、0,)4。好，下面我们对本节课的学习做一个总结。好，下面我们对本节课的学习做一个总结。1.1. （dh）本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？（dh）常值函数的导数、幂函数的导数、导数的几何意义、物理意义常值函数的导数、幂函数的导数、导数的几何意义、物理意义；2.2. （dh）你是如何获得这些知识的？你是如何获得这些知识的？（dh）通过研究函数图象并结合代数运算通过研究函数图象并结合代数运算. .3 3. . （dh）通过本节课的学习，谈谈你的体会通过本节课的学习，谈谈你的体会. .我们学到了研究问题的步骤我们学到了研究问题的步骤：提出问题提出问题、确定方法确定方法、实施操作实施操作、发现规律发现规律. .在此过程中体会了数形结合的数学思想在此过程中体会了数形结合的数学思想. .大家可以通过作业进一步巩固本节课所学的知识内容。大家可以通过作业进一步巩固本节课所学的知识内容。谢谢大家，再见！谢谢大家，再见！
