1、教教 案案教学基本信息课题两角和与差的正弦、正切（第一课时）学科数学学段：高中年级高一教材书名： 普通高中教科书数学必修第三册（人教 B 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019年 7月教学设计参与人员姓名单位设计者徐艳玲北京市房山区良乡中学实施者徐艳玲北京市房山区良乡中学指导者刘雪明北京市房山区教师进修学校课件制作者徐艳玲北京市房山区良乡中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1. 理解两角和与差的正弦公式的推导过程，在推导过程中体验数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养;2通过观察、分析、类比、联想，体会用两角和与差的正弦公式求值、化简，进行简单的恒等变形;会根据已
2、知点的坐标，求出旋转后的坐标；能熟练地掌握函数( )sincosf xaxbx的相关性质和物理意义；3发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质.教学重点、难点教学重点：两角和与差的正弦公式的应用和辅助角公式.教学难点：利用两角和与差的正弦公式将函数( )sincosf xaxbx转化为( )sin()f xAx的形式.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图温故知新1诱导公式二sin()sincos()costan()tan . ，利用诱导公式二，可以把负角的三角函数值转化为通过对旧知识的回忆，检查学生对已学知识是否掌握，从正角的同名三角函数值.2诱导公式五si
3、n()cos2cos()sin .2，利用诱导公式五，可以把一个角的正弦、余弦转化为它的余角的余弦、正弦.3两角差的余弦公式cos()coscossinsin .利用这个公式可以将角 与 差的余弦用角 ,角 正弦、余弦表示.而为探索新知做准备.探究新知尝试与发现：(1)怎 样 借 助30 45，的 三 角 函 数 值 求 出sin75 sin15，的值?(2)一般地,怎样根据 与 的三角函数值求出sin+sin （），（）的值?分析:我们可以利用学过的知识,这样求sin75的值:sin75sin 9015（） cos15cos 4530（）6+ 2.4受此启发,根据两角和与差的余弦公式,可以证
4、明如下的两角和与差的正弦公式.Ssin()sincoscos sin+ +：，Ssin()sincoscos sin ：.证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知sin+cos()2 由特殊到一般，利用诱导公式以及两角和与差的余弦公式推导出两角和的正弦公式.再用 -替换=cos2（）=coscossinsin22（）（）=sincos+cos sin,而且用 -替换sin+ 中的 得到sinsin() =sin cos+cos sin=sincoscos sin.想一想：公式有何特点？你如何记忆？1. 公式中一共涉及到两个角 与 ,左边若是两角和的正弦，右边用加号连接;左边若是两角差的正弦
5、，右边用减号连接；2. 在两角和的正弦公式中，左边是角 与角 和的正弦，右边为角 的正弦与角 的余弦的乘积加上角 的余弦与角 的正弦的乘积;在两角差的正弦公式中， 左边是角 与角 差的正弦，右边为角 的正弦与角 的余弦的乘积减去角 的余弦与角 的正弦的乘积.公式的助记方法是：S=SCCS+S=SCCS 我们可以利用所学公式解决如下问题：例如，sin75sin 30 +45（）=sin30 cos45cos30 sin45sin+ 中的 推导出两角差的正弦公式.分析两角和与差的正弦公式的特点，帮助学生记忆公式.应用所学公式,解决三角函数求值问题， 证明诱导公式等.12326+ 2+22224，s
6、in15sin 4530（）=sin45 cos30cos45 sin30或者sin15sin 6045（）=sin60 cos45cos60 sin45321262.22224利用S+与S 同样可以求出sin105以及证明诱导公式sin+=2（）,sin +=（）等，同学们可以自行尝试.典例剖析例 1 已知向量(3)OP ，4 ，如图所示，将向量OP 绕原点O沿逆时针方向旋转45到OP的位置.求点()P xy，的坐标解xOP设，22345OP 则因为，所以34cos,sin.55因此5cos(45 )x 通过例 1，不仅练习了两角和的正弦和余弦公式，还体会了向量的旋转变换，复习了角的定义、三
7、角函数的定义等知识.可以感受到知识之间的广泛联系性.232162.222245(coscos45sinsin45 )324225()=.525225sin(45 )y 5(sincos45cossin45 )42327 25(+)=.52522从而2 7 2()22.P ，.例 2求证:31sincossin().226xxx证明(法 1)因为31cossin6262,，所以31sincoscossinsincos2266xxxx=sincoscos sin66xx=sin().6x这种证明方法是将等式的左边化为右边,是两角和与差正弦公式的逆用;(法 2)sin()=6xsincoscos s
8、in66xx31=sincos22xx这种证明方法是将等式的右边化为左边,是两角和与差正弦公式的正用.尝试与发现尝试与发现证明一个等式，可以从左边推出右边，也可以由右边推出左边来证明.体会两角和与差的正弦公式的正用与逆用.如果函数如果函数31( )sincos22f xxx，你能求出你能求出( )f x的最大值及最大值点吗？的最大值及最大值点吗？由例 2 的结果可知，31( )sincos22f xxxsin().6x因此( )f x的最大值为 1，而且( )f x的最大值点0 x满 足0+=+2 62xkk Z，因 此 最 大 值 点 为+2 .3kk Z，例 3在求函数( )sincosf
9、 xxx的最小值时，下面的说法正确吗？“因为sin x的最小值为1,cosx的最小值也为1,所以( )f x的最小值为2.”如果不对,指出原因,并求( )f x的周期、最小值与最小值点.解因为sin = 1x 时有=+2 2xkkZ，；而cos = 1x 时有=+2 .xkkZ，因此sin = 1x 与cos = 1x 不能同时成立，这就是说，( )f x的最小值不是2，有关说法不对.又因为2cos=sin442,所以( )sin +cosf xxx22= 2(sin +cos )22xx= 2(sincos+cos sin)44xx为了引出辅助角公式做准备，体现了从特殊到一般的认知规律.利用
10、两角和的正弦公式将函数( )sincosf xxx转化为正弦型函数,这是一种经常用到的变换，再利用正弦型函数的图像与性质，研究三角函数的周期、单调性、最值和最值点等相关性质.= 2sin()4x由此可知函数( )f x的周期为2，最小值为2，而且最小值点0 x满足0+=+2 42xkkZ，因此最小值点为3+2 .4kkZ，探究探究：由例 3 可以看出:当 a，b 都是不为零的常数时，为了求出函数( )sincosf xaxbx的周期、最值等，关键是要将函数化为( )sin()f xAx的形式.也就是说,要找到合适的A和,使得sincos = sin()axbx Ax恒成立.尝试与发现尝试与发现
11、：满足满足式的式的A和和一定存在吗一定存在吗? ?它们与它们与 a, ,b 有什么有什么关系？关系？如果式恒成立,则将式的右边用S+展开可得sincosaxbx= sincoscos sinAxAx,因此cossinaAbA，从而可知22222+(cos )( sin )abAAA，因此,如果取22+Aab，则有22cos+aaAab，22sin.+bbAab由式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平 面 直 角 坐 标 系 中 坐 标 为()ab，的点为P,而是以射线OP为终边的角,如图所示，则一定满足式.这就是说， 满足式的A和一 定 存 在 . 因 此22sincos =sin()ax
12、bxabx，其 中满 足 式.公式22sincos =sin()axbxabx，引导学生在涉及到解决三角函数的值域、周期等性质的问题时首先要把解析式化简成一个角的三角函数形式，此问题得以解决的实质是构造两角和的正弦展开式的结构逆用公式.理解辅助角公式的推导过程.其中22+Aab，22cos+aaAab，22sin.+bbAab这里的是我们引入用来辅助计算的一个角，所以通常称这个公式为“辅助角公式”.例 4已知函数( )sin53cos5f xxx，求( )f x的周期、最小值及最小值点.解因为13ab ，.所以221(3)2 ，所以13( )2( sin5cos5 )22f xxx，=2 si
13、n5 cos()cos5 sin()33xx=2sin(5).3x由此可知函数( )f x的周期为25，最小值为-2，而且最小值点0 x满足05=+2 32xkkZ，因此最小值点为2 +.305kkZ，要研究函数sincosyaxbx的性质，必须要把sincosyaxbx转化为sin()yAx的形式，这是一种非常重要的变换，在变换的过程中用到了辅助角公式，其本质就是两角和与差的正弦公式的逆用.课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式；2.你是如何获得这些知识的？从特殊到一般，从具体到抽象；3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.用已知探究未知的方式，探究过程体会了从特殊到一般的数学思想.让学生通过小结，反思学习过程，加深对两角和与差的正弦公式的推导过程的理解，会应用两角和与差的正弦公式求值和证明，领会研究问题的方法；明确研究问题的步骤.布置作业1.已知向量(4)OP ，3 ，将OP 绕原点O旋转60 12060，到1OP，2OP，3OP的位置.求点通过这两道问题的解决,巩固本节课123PPP， ， 的坐标.2.求函数的周期、最值以及最值点.( )cos3sin3 .f xxx所学的知识.
