1、教教 案案教学基本信息课题角的推广学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第三册 B 版出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月教学设计参与人员姓名单位设计者姓名单位实施者邱冠男北京市师达中学指导者邱冠男北京市师达中学课件制作者李大永北京市海淀区教师进修学校其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课通过设置生活实例情境， 回顾初中角的概念， 通过旋转理解教的概念并进行教的推广，赋予角的加减运算的几何意义，进而引出象限角和终边相同的角.能够从中体会从特殊到一般，数形结合，类比的数学思想方法.培养数学抽象核心素养、的直观想象核心素养.培养发现、提出问题，分析问题，解决
2、问题的能力.共设计三道例题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，请观察这几幅动画，这些动画显示的是一些机械制部件在周而复始的做着旋转运动、平移运动.在实际生活中，旋转和平移是物体非常普遍的运动方式.我们知道可以用方向和距离来描述平移.那么如何描述旋转呢，今天我们就来学习用数学的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.通过将生活、生产中的实例引入课题，使学生体会数学来源于生活，激发学生学习兴趣.新课请同学们观察第一幅动画，回答:问题问题 1.1.请同学们用数学语言描述大齿轮的旋转运动.初中学习过的旋转：在平面内,把一个图形绕点O旋转一个角度，这样的图形变换叫作旋转,点O叫作旋转中
3、心,旋转的角叫作旋转角.温故而知新，通过复习初中所学的旋转和角的概念，培养学生将实际问题抽象为数学问题，抽象概括的能力.培养学生能够用问题问题 2 2.你对角有哪些认识？定义：具有公共端点的两条射线构成的图形叫作角.单位： 角度制范围：0 ,360 问题问题 3.3. 大齿轮旋转一周，旋转了多度？那么如何用数学语言描述“大齿轮的旋转一周360”呢？我们取大齿轮对应的这个圆的圆心记为旋转中心O， 在圆上任取一点A， 这样圆心O与点A构成射线OA，随着齿轮的旋转，射线OA围绕着点O，旋转一周，终点B恰与点A重合，即射线OB与射线OA重合，这样我们就得到大齿轮旋转一周是360.问题问题 4.4. 这
4、三个齿轮的旋转有什么区别？若中号齿轮旋转两周，旋转多少度？旋转方向，必要将角的概念进行推广.问题问题 5.5. 如何定义角的概念，才能满足对现实世界中旋转现象的描述？定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.范围：任意角.分类：按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;按照顺时针方向旋转而成的角称为负角;当射线没有旋转时称为零角.角是分正角、零角和负角的，实数是分正数、零和负数的，那么这两者有什么区别和联系呢？观察课前展示的第二幅动画，回答：问题问题 6.6. 如何用数学语言描述绿色齿轮的旋转运动.第一次旋转所成的角为90AOB，第二次旋转所成的角为
5、90BOC.两次旋转的角的合成即为数学点的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.根据生产、生活中的实际问题抽象成了数学问题，根据实际需要，使学生理解角的推广的必要性.用数学的眼光观察，发现问题，进而分析问题，用数学的方法解决问题.将初中角的静态定义，用旋转这一运动变化的观点进行了推广,培养学生用动态的观点对角有更新的认识，培养抽象概括的能力.9090180AOBBOC.观察课前展示的第三幅动画，回答：问题问题 7.7.用数学语言描述棕色零部件的旋转运动.第一次旋转所成的角即为180AOB第二次旋转所成的角为180BOA两次旋转的角的合成为+180 +1800AOBBOA .观 察 课 前 展 示 的
6、 第 四 幅 动 画 ,回 答 ：问题问题 8.8.如何用数学语言描述滑块， 滑轨， 横杆所做的运动.滑块记作点P，旋转中心记作点O，滑块P围绕着中心O在做旋转运动；滑轨上任取点A，横杆上任取点B，滑块P相对于滑轨上点A，在做纵向平移运动（上下平移） ，滑块 P 相对于横杆上的点B，在做横向平移运动（左右平移）.问题问题 9.9. 如果确定了滑块P的横向、纵向的平移量，是否可以确定滑块P的旋转量（也就是可以确定点P在圆O上的位置？） ？由此你联想到了什么?可以确定点P的位置， 这使我们联想到在平面直角坐标系.为了在同一参照系下简化角，我们约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴，
7、角的终边上的点可以用坐标( ,)x y来表示通过类比实数加减运算的几何意义，分析了角的旋转合成即角的加减运算，使学生数形结合的思想方法，培养直观想象等数学核心素养.象限角：角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.请 同 学 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 角45 , 21，并写出他们所在的象限.45的终边在第一象限， 它是第一象限角；21的终边在第四象限，它是第四象限角.问题问题 10.10. 对于任意给定的一个角， 它的终边的位置是否唯一确定？那么反之，给定一个终边位置，它对应的角是否唯一确定？如果不确定，你还能写出哪些角，我们以45这个角为例，与45终边相同的角，
8、你还能写出哪些呢？这无数个角具有什么共同特征呢？与45终边相同的角构成一个集合，这个集合可以记为45360 ,Skk Z从几何角度看，与45终边相同的角，具有怎样的几何特征呢？当0k时， 按逆时针方向旋转整数k圈， 当0k，按顺时针方向旋转整数k圈，当0k ，不做任何旋转.如何表示与角?终边相同的角的集合？与 角 ? 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ：360 ,Skk Z.从代数角度分析：终边相同的角的差一定是360的整数倍.从几何角度分析：将角?的终边按逆时针或顺时针方向旋转整数圈. 当0k时， 按逆时针方向旋为了简化角，将角放入直角坐标系内研究，得到了象限角的概念；使学生从数和形两个角
9、度，加深了对角的概念的理解.培养了直观想象的数学素养.根据从特殊到一般的认知规律，从数和形两个角度归纳得到了终边相同的角的特征,培养了学生归纳，概括的能力，体会数形结合等思想转整数k圈，当0k，按顺时针方向旋转整数k圈，当0k ，不做任何旋转.同时要注意这里的角是可以任意角.方法.例题例 1. 如图，已知角?的终边为射线OA，分别作出角90 ,180的终边.分析：将角的终边顺时针方向旋转90，得到90的终边；将角的终边逆时针方向旋转180，得到180的终边.例 2.写出与角21终边相同的角的集合S， 并把集合S中满足不等式360720的角写出来.21360 ,Skk Z.36021360720
10、k，212113602,360360k kZ0,1,2k ，0, 210 36021 ,k 2, 211 360339k ，3, 212 360699k .例 3.写出终边在x轴上的角的集合S.1360 ,Skk Z，2180360 ,Skk Z,12SSS2180 ,kk Z(21) 180 ,kk Z180 ,Smm Z.如何从几何的角度，更加直观的理解集合S.当0m，将0的终边顺时针方向旋转180（半加深对角的概念中两个关键要素(旋转方向和旋转的 绝 对 量 ) 的 理解，使学生体会利用图像解题的便捷性.便于加深学生对角的概念的理解和应用.圈） ，终边落在x轴的负半轴上，再顺时针旋转半圈
11、，终边落在x轴的正半轴上，也可以继续这样的旋转下去，角的终边始终落在x轴上.0m ，0的终边不做任何旋转.练习题：写出终边在第一象限内的角的集合S.我们知道大于0且小于90的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与0 90内的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合36090360 ,Skkk Z .总结首先我们根据生产、生活中的实际问题抽象成了数学问题， 根据实际需要， 将初中角的静态定义，用旋转这一运动变化的观点进行了推广；再通过类比实数加减运算的几何意义，分析了角的旋转合成即角的加减运算；为了简化角，我们将角放入直角坐标系内研究，得到了象限角的概念；接着，我们根据从特殊到一般的认知规律，从数和形两个角度归纳得到了终边相同的角的特征.希望同学们能够通过旋转运动，更好的理解教的概念并加以应用.回顾角的概念的推广过程，使学生更好用运动旋转的观点的对角的概念加以理解.作业1.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把集合S中满足不等式360720的元素写出来.(1) 100(2)120(3)380 202. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 集 合90 ,Skk Z中的元素所表示的角的终边在哪些位置？3.写出终边在第二、第三、第四象限内的角的集合.巩固、复习角的概念，终边相同的角的概念.
