1、教教 案案教学基本信息课题11.4.1 直线与平面垂直的判定与性质学科数学学段：高一下年级高一教材书名： 数学必修第四册B 版出版社：人教社出版日期：2019年 8月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者姜涛北师大二附中实施者姜涛北师大二附中指导者李梁西城区研修学院课件制作者姜涛北师大二附中其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.理解线面垂直的性质定理，会用线面垂直的判定定理、性质定理解决问题.2.体会线线垂直和线面垂直的转化思想.教学重点、难点：教学重点是线面垂直的判定定理和性质定理的理解，教学难点是运用线面垂直的判定定理，性质定理解决相关问题教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动
2、设置意图引入（一）知识回顾1、直线和平面垂直的定义：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作：l直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l的垂面，它们唯一的公共点 P 叫做垂足.由定义可知：lmlm，2、直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面。图形语言可以如图所示，符号语言为mnmnAlmlnl ，这样我们就发现了线面的垂直可以推出线线的垂直复习线面垂直的定义，线面垂直的判定定理，引入新知.（二）思考与探究3 思考探究下列问题：问题 1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂
3、直于这条直线？问题 2：在空间中，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条是否也垂直于这条直线？问题 3 在空间中，如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于这个平面？问题 1 由平面几何的知识知道另一条也垂直于这条直线，问题 2 由直线成角的知识知也是垂直的，问题 3 从直观观察看也是成立的，下面我们来严格表述和证明这一结论.类比平面几何的性质，猜想空间中成立的结论，并加以论证.新课（三）线面垂直的性质定理1、结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面这个结论给出了证明线面垂直的一种方法：找一条辅助直线与已知直线平行，且容易证明该辅
4、助直线与平面垂直2、思考探究下列问题：问题 1：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？问题 2：在空间中，垂直于同一个平面的两条直线是否平行？问题 1 可知两条直线平行，问题 2 直观观察可知也是平行的这就是我们要学习的线面垂直的性质定理.线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.我们写出已知和求证即为：已知：如图l，m.求证：/ /lm证明：假设m不平行于l，设mO，过O作/ /ml，因为l，所以m ，mmO，m与m能确定一个平面，记为，设a， 由m，m 可知ma，ma所以在平面内， 过点O有两条不同的直线都与直线a垂直，得出矛盾.因此假设不成立，所以/
5、/lm.3、 前面已经研究了直线和平面垂直， 如果直线和平面不垂直，如何刻画其相对倾斜程度？直线和平面所成角应该如何定义？我们来认识几个相关概念如图所示，一条直线 PA 和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线， 斜线和平面的交点 A 叫做斜足，类比猜想，引入线面垂直的性质定理，并引导学生完成证明.线段 PA 称为平面斜线段.过斜线上斜足以外的一点P 向平面引垂线 PO ，线段 PO 称为平面的垂线段.过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。 斜线和射影所成的锐角PAO叫做这条直线和平面所成的角如图所示，从点 P 向平面引两条斜线段 PA、PB可知PAPBOAO
6、B例题例 1 如 图 在 三 棱 锥SABC中 ，ABBC， 且2ABBC，6SASBSC,求三棱锥的体积.解：设S在底面的射影为O则由SASBSC，有OAOBOC，即O为ABC的外心，又因为ABC是直角三角形，所以O是线段AC的中点.因为222 2ACABBC所以122OAAC又 因 为SOA是 直 角 三 角 形 ， 从 而222SOSAOA因此所求体积为1433SABCABCVOS S变式 1：在例 1 的条件下，求证：ACSB证明：由例 1 知：SOABC 平面，所以ACSO，又因为ABBC，OAOC，所以ACOB，所以ACSOB 平面，SBSOB 平面，故ACSB.变式 2：在例 1
7、 中S在底面的射影为O，若EF、分别是ABBC，的中点，试判断EF与SOB平面的位置关系；判 断 :EFSOB 平面.因 为EF、分 别 是 的ABBC，中点，所以/ /EFAC.ACSOB 平面，所以EFSOB 平面.变 式 3 ： 在 变 式 2 的 条 件 下 ， 有 人 说“SBAC,SBEF,所以SBABC 平面,” ，对吗？不对，因为/ /EFAC，不是平面 ? 中的两条相交直例 1 是线面垂直的简单应用，引导学生运用新知解决问题.变式练习，通过题目条件的变化，引导学生分析运用线面垂直相关定理解决问题，特别是关注定理成立的条件.线， 所以不满足线面垂直判定定理的条件， 所以不正确.
8、例 2 已知如图，AC是平面的斜线，C为斜足，AB，B为垂足，l，且lBC求证：lAC证明：因为AB，l，所以ABl，又 因 为lBC 且ABBCB， 所 以lABC 平面， 而且ACABC 平面， 所以lAC.练 习 1 ： 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，PAABCD 平面，四边形ABCD是菱形（1）证明：BDPAC 平面；（2）证明：PCBD（1）证明： 因为四边形ABCD是菱形，所 以ACBD 又 因 为PAABCD 平面，BDABCD 平面，所以PABDACPAAACPAPAC、平面,所以BDPAC 平面（2）证明： 由（1）知BDPAC 平面，因为PCPAC 平面，所以P
9、CBD练习 2 如图，PAABCD 平面，四边形ABCD为矩形，1PAAB，2AD ， 点F是PB的中点， 点E在边BC上移动通过例题 2 让学生体会到线线垂直和线面垂直的转化思想.设置课堂练习 1，让学生通过练习逐步掌握本节课所学知识.（1）求三棱锥EPAD的体积；（2） 证明： 无论点E在边BC的何处， 都有AFPE（1）解：1133E PADP ADEADEVVPA S（2）因为PAABCD 平面，故PABC，又BCAB，故BCPAB 平面，所以BCAF；PAB中 ，PAAB， 点F是PB的 中 点 ， 故AFPB，所以AFPBC 平面，故无论点E在边BC的何处，都有AFPE例3： 如图
10、， 在正四棱柱1111ABCDABC D中，E是1DD的中点（1）求证：1ACBD；（2）若1BDACE平面，求1AAAB的值（1）证明： 连接BD因 为1111ABCDABC D是 正 四 棱 柱 ， 所 以设置练习 2，让学生体会变化过程中两条直线垂直关系始终不变，应用了线面垂直的判定和概念.例题 3 让学生运用本节所学知识，转化成平面几何中的相关问题，培养学生前后一致的系统知识.1BBABCD平面，且ACBD，所以1ACBB，所以1ACBBD平面，所以1ACBD（2）解： 连接1AD因为1BDACE平面，所以1BDAE 因 为1111ABAADD平面， 所 以11ABAE因而11AEAB
11、D平面.所 以1ADAE 因 为1AADADE， 所 以1A AADADDE， 即221112ADA A DEA A 所 以112AAAAABAD例 4 将 两 块 三 角 板 按 图 甲 方 式 拼 好 ， 其 中90BD ，30ACD，45ACB现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好落在AB上，如图乙（1）求证：BCAD；（2）求证：O为线段AB的中点（1）证明：D在平面ABC上的射影O恰好落在AB上，所以DOABC 平面，所以BCDO又BCAB，ABDOB，所以BCABD 平面，所以BCAD（ 2 ） 证 明 ： 在Rt ACD中 ，30ACD， 得12ADAC32D
12、CAC， 在Rt ABC中 ，例题 4 关注折叠问题中变化与不变的量，利用课堂所学，解决问题.45ACB， 得22BCAC，由 （ 1 ） 得BCABD 平面，所以BCBD，在Rt BDC中，2212BDDCBCACAD，又DOAB，所以O为线段AB的中点总结今天和同学一起回顾了线面垂直的判定定理，学习了线面垂直的性质定理，并运用转化思想解决了垂直关系中的综合问题总结梳理课堂所学，引导学生做好总结作业作业 1：如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90ABC，SAABCD 平面，1SAABBC，12AD （1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求证：BCSAB 平面；作 业 2 ： 如 图 ， 在 四 棱 柱1111ABCDABC D中 ，1BBABCD平面，/ /ADBC，90BAD，ACBD（1）求证：1ACBD；（2）若12ADAA，判断直线1BD与平面1ACD是否垂直?并说明理由通过设置作业，让学生运用新知识解决问题，加强对知识的理解掌握.
