1、教教 案案 教学基本信息 课题 复数的乘法 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名：普通高中教科书数学（B 版）必修第四册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 实施者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 指导者 高丽娟 北京市昌平教师进修学校 课件制作者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 其他参与者 无 教学目标及教学重点、难点 运用类比方法，经历由实数系中的乘法到复数系中乘法的推广，使学生掌握复数代数形式的乘法运算法则及乘方的运算法则，理解复数乘法的交换律、结合律和分配律
2、，熟练掌握复数的乘法运算及乘方运算，提升学生的逻辑推理和数学运算素养。本节课共设计三道例题. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 （一） 复习引入 复习回顾：复习回顾： 我们是如何研究复数的加法运算的？ 类比实数的加法运算： 通过复习，使学生回顾本章学习的主要内容，并通过复习复数加法的研究过程以及实数的乘法定义来引导学生思考复数的乘法如何研究. 我们知道，实数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即：, ,a b cR时， ()()(),abbaab ca bca bcabac=+=+有 复数的乘法应该如何规定，才能满足这些运算律呢？本节课我们将来学习复数的乘法
3、法则. （二） 探究新知 问题 1 设12331 2i25izzz= =+， 1223z zz z如何计算与的值呢？ 类比多项式乘法： ()()()=;.a mnamanabmnamanbmbn+=+ 请你尝试给出任意两个复数相乘的运算法则. 复数的乘法法则：复数的乘法法则： 一般地，设()12i,i, , ,zab zcda b c d=+=+R ，称()121212z zzzzz或为 与 的积，并规定 ()()12iiz zabcd=+ 2iiiacadbcbd=+ 类比多项式乘法 iiacadbcbd=+ 把2i换成1 () ()iacbdadbc=+ 利用加法法则 运算思路：类比多项式
4、乘法. 运算结果：两个复数的积仍然是复数. 例如，对于前面的问题，则有 ()()()122233 12i36i12i25i25i4i 10i2i1012i.z zz z=+=+=+ +=+， 请你再算一算() ()2 1123123,z z zz zz zz 的值. ()()()()()()() ()()()2 11231231 2i336i,3 1 2i25i3 12i363i3 1 2i25i36i25iz zzz zz zz=+=+=+=+=+， 26 15i 12i30i363i.=+=+ 发现：复数的乘法法则满足交换律和结合律. 证明思路： 从特殊情形入手，使学生通过观察并类比多项式
5、乘法运算来尝试、探索复数的乘法法则. 从特殊到一般，验1.设()123iii, , , , ,zabzcdzefa b c d e f=+=+=+R，； 2.分别计算左右结果； 3.验证实部虚部是否都相等. 同时，用同样的方法可以验证等式的性质仍然成立. 问题 2 复数的乘法满足分配律吗？ ()1231213zzzz zz z+=+ 证明： 设()123iii, , , , ,.zabzcdzefa b c d e f=+=+=+R， () ()()() () ()()()()()() ()1232=iii=i+i=iii=i.zzzabcdefabcedfa cea dfb ceb dfac
6、aebdbfadafbcbe+ + ()() ()()() ()() ()121 322=ii +ii=iiiiii=iiii=i.z zz zabcdabefacadbcbdaeafbebfacaebdbfadafbcbeacaebdbfadafbcbe+ 发现：式子的左右两侧相等，所以，复数的乘法页满足分配律. 至此我们已经先后证明了复数满足三种运算律. 交换律：交换律：1221z zz z= 结合律：结合律：()()123123z zzzz z= 分配律：分配律：()1231213zzzz zz z+=+ 并且11.zzz= = 至此，也就验证了复数的乘法法则的合理性. 例如，()()
7、()()12i34i + 12i54i .+ 分析：观察式子，为两个乘积的和的问题，而两个乘法运算中均含有相同因数()12i+， 所以我们可以利用分配律先计算()34i+与()54i的和，再用()12i+与它们的和相乘. ()() ()()12i34i + 12i54i .+ 证复数的乘法运算仍然满足交换律、结合律和对加法的分配律，证实复数的乘法法则的合理性. 通过举例，说明运算律的作用. () () ()()= 12i34i + 54i= 12i88 16i+=+ 显然，此题利用分配律使得解答过程简捷多了。事实上，复数的乘法运算不仅满足以上三种运算律.我们用同样的方法还可以验证等式的性质仍然
8、成立. 等式的性质：等式的性质：即当1212zzz zz z=时，必有. 问题 3 下列运算能否用更简单的方式表示？ （1）2i2i2i2i （2）()()()()1 i 1 i 1 i 1 i+ 我们知道，在实数范围内，n个相同因数的乘积的运算，称为乘方运算.乘方的运算结果叫做幂.实数的正整数次幂满足 ()()(),nnmnm nmmnnna aaaaaba bm n+=+N 有了复数的乘法法则，在两个复数乘积的基础上可以定义多个相同复数的乘积，即乘方运算. 复数的乘方定义复数的乘方定义及及运算法则运算法则： n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方（或n次幂） ，并记作nz，即.nnzzzz
9、= 个 则( )42i 2i 2i 2i= 2i ()()()() () ()221 i 1 i 1 i 1 i = 1 i1 i+ 可以验证，当,m n均为正整数时， ()()1 212,.nnmnm nmmnnnz zzzzz zz z+= 由此可知 32iiii= = () ()422iii111= = 54iiii=. 以此类推，642iii1,= 743,iiii= 844iii1.= 我们发现，他们的运算结果呈现出 4 个一循环的规律，所以我们可以将其规律总结如下： 由于复数的加法、乘法运算仍然保持相应的运算律，所以容易得到与实数情形相同的复数的等式性质. 通过问题 3，使学生在思
10、考有无更简单的表示方法时，联想到实数乘方的定义，从而思考复数是否可以写成乘方的形式. 巩固乘方的定义及运算法则，并探究in的规律. 1,4 ,i,43,i1,42,i,41,nnknknknkk+= 所以( )44 42i 2i 2i 2i= 2i=2 i =16. （三） 典例精讲 例 1 计算： （1）()()32i32i+ （2）()()iiabab+ 方法一：利用乘法法则. 分析：此题考查的运算是两个复数的乘法，可以利用乘法法则求解. 方法二：利用平方差公式计算. 分析：观察式子结构，形如()()abab+，可以尝试利用实数乘法运算中的平方差公式求解. 小结：复数的乘法在计算过程中按照
11、复数的乘法法则进行，其中实数运算中的平方差公式也适用于复数的乘法. 平方差公式：()()22121212.zzzzzz+= 我们发现这两个题目等式的左边都是两个复数的乘积形式，这两个复数有什么关系？ 发现：两个共轭复数. 再观察等式的右边，其运算结果都是一个实数，这个结果与这两个共轭复数本身有什么关系呢？ 小结：两个共轭复数的乘积等于其模的平方. 即：22,.zzzzz =C 例 2 计算()215i+ 方法一：根据复数乘法的定义. 分析：此题考查的是复数的乘方运算，可以先利用乘方运算的定义将问题转化成两个复数的乘积，再 方法二：利用完全平方公式. 分析：观察式子结构，形如 ()2ab+， 可
12、以尝试利用实数乘法运算中的完全平方公式求解. 小结：实数运算中的完全平方公式和平方差公式同样适用于复数的乘法.在计算过程中应注意观察，适时的利用公式使运算过程更简捷. 通过例 1， 使学生学会利用平方差公式求解.并证明两个共轭复数的乘积为其模的平方. 通过例 2， 让学生明确运算程序， 并学会利用完全平方公式使计算过程更简捷. 和平方公式：()2221211 212zzzz zz+=+ 平方差公式：()()22121212.zzzzzz+= 例 3 计算() ()221 i1 i+的值 方法一：先乘方，再乘积. 分析：此题考查的是两个幂相乘的运算，可先利用完全平方公式，分别计算出()()221
13、 i1 i+与的值，再计算它们的乘积. 方法二：先乘积，后乘方. 分析：可根据正整数次幂的运算法则()1212nnnz zz z=，将式子变形为()()21 i 1 i+，其中，括号内的式子可用平方差公式计算. 小结：针对运算问题，要选择适当的运算公式、设计合理的运算程序，综合运用运算方法，形成规范化思考问题的习惯. 通过例 3， 使学生巩固乘方的定义及其运算法则. （四） 课堂小结 1知识层面 2复数的乘法运算应注意： 3.在运算过程中要注意合理性、准确性、熟练性和简捷性.养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 通过对本节课学习过程和思路方法的总结，加强学生对本节课整体的认识. （五） 课后作业
14、 【课后作业】 1.计算下列各式的值. （1）()48i i； （2）()i 112i； （3）()232i； （4）()()1i1i+; （5）()()()12i2i34i+; （6）()()()()iiiiababababab+ + R，其中 ，. 2.计算28374290iiii， ， ，的值. 【参考答案】 1. （1）()248i i=4i8i84i=+. （2）()2i 112i =11i2i =211i+. （3）()( )222232i=312i2i912i4i512i+=+=. （4）()()21i1i =1i2+=. （5）()()()()()212i2i34i2i4i2i34i+=+ ()()43i34i= ()21216i9i12i=+ 25i= . （6）()()()()()222iiii =ababababab+ + +. 2. ( )7284 747i =ii11;= ( )9374 9 149iiii1ii; += = = ( )()10424 10 24210iiii111;+= = ( )()22904 22 24222iiii111+= = . 通过作业使学生及时巩固本节课所学知识，可以让学生自检学习效果并反思反馈.
