1、教教 案案教学基本信息课题余弦定理（第一课时）学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学（B 版）必修第四册出版社：人民教育出版社出版日期： 2019年 7 月教学设计参与人员姓名单位设计者孙丽英北京市昌平实验中学实施者孙丽英北京市昌平实验中学指导者高丽娟北京市昌平教师进修学校课件制作者孙丽英北京市昌平实验中学其他参与者无教学目标及教学重点、难点本节课通过类比正弦定理来学习余弦定理。内容包括四部分：（一）复习回顾，提出问题，（二）问题探究，证明定理，（三）学以致用，理解定理，（四）反思回顾， 归纳总结。 通过把实际问题转化为数学问题培养学生的数学抽象素养，通过余弦定理证明的探究过程
2、和余弦定理在解三角形中的运用过程培养学生的逻辑推理素养。本节课共设计两道例题。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图（一）复习回顾，提出问题通过问题激发学生的思考，使学生明确解三角形的四种类型，从数学内部发展的角度使学生体会求解新的两种解三角形问题的必要性.数学抽象实际测量问题解一般三角形已知两边和一边的对角已知两角和一边已知三边已知两边及其夹角逻辑推理锐角三角函数三角形的面积正弦定理sinsinsinabcABC?（一）复习回顾，提出问题实际情境：实际情境：如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为A，B.其中， 利用现代的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，
3、也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得A，B两点间的距离呢？情境分析情境分析：在地面上任取一点C，三点A，B，C可以构成一个三角形，然后借助三角形的边角关系来求解.通过测量，可以得到两边CA，CB的长度和C的大小.数学抽象：数学抽象：在ABC中，已知a，b和C，求c.数学抽象数学抽象：已知三角形的两边及其夹角，求第三边.提出问题：提出问题：这类三角形能否运用正弦定理求解呢？不能，因为无论我们选择正弦定理的哪一组等式，方程都会有两个未知数.因此，我们需要探究三角形的其它边角关系来求解.abc通过把实际问题转化为数学问题的过程，培养学生的数学抽象素养.让学生从解决实
4、际问题的角度体会求解新的两种解三角形问题的必要性，感受数学的实用性.让学生体会探求除正弦定理之外的三角形的其它边角关系的必要性.（二）问题探究，证明定理问题探究：问题探究：在ABC中，已知a，b和C，求c.向量法向量法：解：在ABC中，因为- AB = CB CA，所以- | AB |=| CB CA |，所以22|- | AB | =| CB CA222- | CB |CBCA+ | CA |通过分析法帮助学生理清向量法在探究三角形边角关系问题中的基本思路，培养学生的逻辑推理素养.通过运用向量法证明余弦定理，使学生体会向量的应用.向量关系数量关系转 化求边c：知a，b和C- AB = CB
5、CA- | AB |=| CB CA |CABacb222 |cos-| | CB |CBCA |C+ | CA |=2cos22-aabC + b，所以=2cos222-ca + babC.几何法几何法： 作高，根据已知的C进行分类.（1）当C为直角时， 可由勾股定理求c.（2）当C为锐角时，作AC边上的高BD.若ABC是锐角三角形：若ABC是直角三角形：类比正弦定理引导学生用几何法证明余弦定理，使学生再次巩固几何法的证明思路.通过分析法帮助学生理清几何法的证明思路，培养学生的逻辑推理素养.CABacbCABDacb求边c：知a，b和CRtBDARtBDCsinBD = aCcosCD =
6、aCcos-AD = b aCcB（ ）DaCbA一般三角形转 化直角三角形222=+cBDAD222=+cBDADRtBDCsinBD = aCcosCD = aCcos-AD = b aC222=-cab为锐角为直角为钝角CCC若ABC是钝角三角形：（3）当C为钝角时，作AC边上的高BD.根据上述分析，通过解答可以得到下面的结论：（1）=222ca + b（2）=2cos222-ca + babC（3）=2cos222-ca + babC综上可得=2cos222-ca + babC引导学生分析三种情况的结论能统一成同一种形式， 使学生明确勾股定理是余弦定理的一种特殊情况.余弦定理的证明小结
7、：余弦定理的证明小结：（1）向量法（2）几何法:解答过程学生课下完成（3）坐标法（4）运用正弦定理法第（3） （4）种方法，留给学生课下思考.让学生体会到初中到高中知识的连续性。通过总结余弦定理的证明方法，拓展学生的思路，给学生提供了思考和发展的空间.CABDbacCcBAaDb求边c：知a，b和CRtBDARtBDCsinBD = aCcosCD = aCcos -AD = aC b222=+cBDAD勾股定理余弦定理求边c：知a，b和CRtBDARtBDCsin() =sin- BD = aACBaACBcos(-) =cosCD = aACB-aACBcosAD = b - aACB22
8、2=+cBDAD余弦定理的分析：余弦定理的分析：余弦定理：在ABC中，结构特征：（1）每一个等式都有四个量：三条边和一个角；（2）等式左侧：其中一边的平方；等式右侧：另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍.文字语言：三角形任何一边的平方，等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍.余弦定理的作用：余弦定理的作用：（1）已知三角形的两边及其夹角（SAS） ，求第三边.（2）已知三角形的三条边（SSS） ，求三个角.通过前面问题的解决得出作用（1） ，通过对定理的分析得出作用（2） ，最后得出余弦定理的第二种形式.通过三种语言的表达，让学生熟记和理解余弦定理.通过总
9、结再次让学生明确余弦定理可以解决什么类型的三角形，以及对应运用哪一种形式.=2cos222ab + c -bcA=2cos222ba + c -acB=2cos222ca + b -abCacbABCcos=2222b + c - aAbccos=2222a + c - bBaccos=2222a + b - cCab形式 （2）=2cos222ab + c -bcA=2cos222ba + c -acB=2cos222ca + b -abC形式（1）（三）学习致用，理解定理例 1 在ABC中，已知= 6a，= 4b，= 2 7c，求C.分析分析：已知三边，求角.可用余弦定理（表示角的形式）求
10、解.解：由余弦定理可知cos=2222a + b - cCab2226 + 4 - (2 7)=2641=2，又因为oo0 180C，所以o60C =.注意注意：已知三角函数值求角时，要明确角的范围再定解.小结小结：已知三边解三角形时，因为三角形唯一确定，所以有唯一解.这与三角形全等的判定定理 SSS 一致.例 2 在ABC中，已知= 3a，= 6b，o= 60C，求c.分析分析：已知两边及其夹角，求第三边.可用余弦定理（表示边的形式）求解.解：由余弦定理可知=2cos222ca + b -abC= 36236cos6022+-= 27，因此= 3 3c或=3 3-c（舍）.小结小结： 已知两
11、边及其夹角解三角形时， 因为三角形唯一确定，所以有唯一解.这与三角形全等的判定定理 SAS 一致.通过例 1，让学生再次巩固余弦定理，并学会运用余弦定理解决“知三边， 求角”的问题.通过例 2，让学生再次巩固余弦定理，并学会运用余弦定理解决“知两边及其夹角，求第三边”的问题.变式： 在ABC中，已知= 3a，= 6b，o= 30A，求c.分析分析：已知两边和一边的对角，求第三边.法 1：运用正弦定理sinsinsinabcABC求解.解答过程留给学生课下完成.利用正弦定理需要三步才能完成， 请同学们思考这道题是否能够运用余弦定理求解？法 2：运用余弦定理求解.此题已知两边a，b和角A，求边c，
12、因此需要建立三条边和一个角的关系，而余弦定理恰好体现了这种关系，所以，此题可以运用余弦定理求解.又因为，此题已知角A，所以选择等式+- 2cos222abcbcA来求解.解：由余弦定理可知=2cos222ab + c -bcA，即3= 626cos30222+ c -c，整理得6 327 = 02c-c +，即2(3 3)= 0c -，因此= 3 3c.通过变式，让学生从方程的角度进一步深刻认识余弦定理.使学生明确运用余弦定理不仅可以求解“已知三角形的 两 边 及 其 夹角，求第三边”的问题，而且还可以求解“已知三角形的两边和任意一个角，求第三边” 的问题，使学生明确运用余弦定理可以知三求一.
13、=2cos222ab + c -bcA=2cos222ba + c -acB=2cos222ca + b -abC求sinB：正弦定理sinsinabAB求sinC：内角和定理sin= sin()CA + B求c： 正弦定理sinsinacAC注意注意： 已知两边和一边的对角解三角形时， 解的个数不确定，需要根据已知条件确定解的个数，并分析每一个解的取舍.小结：小结：此题通过余弦定理构造了关于所求边的方程进行求解；运用余弦定理求边时，依据已知角来确定运用哪一个等式.余弦定理的作用余弦定理的作用：知三求一（四）回顾反思，归纳总结解三角形（只知三要素）总结：通过对本节课学习过程和思路方法的总结，加
14、强学生对本节课整体的认识.通过解三角形各种类型的总结，便于学生形成知识体系，便于学生区分正弦定理和余弦定理的不同作用，便于学生在具体问题中学会分析和选择.两角一边：AAS 或 ASA正弦定理三边： SSS余弦定理两边一角两边及其夹角：SAS两边和一边的对角：SSA正弦定理余弦定理余弦定理问题延伸复习正弦定理实际问题应用提出新的两类解三角形问题已知三边已知两边及其夹角数学抽象向量的数量积向量关系数量关系转 化一般三角形直角三角形转 化几何证明余弦定理已知三角形的两边和一角 （SAS 或 SSA） ， 求第三边形式 （1）已知三角形的三条边（SSS） ，求三个角.形式 （2）（六）课后作业，复习巩
15、固【课后作业】（1）在ABC中，= 10a，= 5b，o= 120C，求c.（2）已知ABC中，= 3a，= 2b，=19c，求角C以及三角形的面积.（3）已知ABC中，= 2a，=6c，o= 45A，求b及角C.【参考答案】（1）解：由余弦定理可知=2cos222ca + b -abC= 1052105cos12022+-= 175，因此= 5 7c.（2）解：由余弦定理可知cos=2222a + b - cCab2223 + 2 -19=2321= -2，又因为oo0 180C，所以o120C =.三角形的面积为113 3sin32sin120222S =abC =.（3）解法 1：由余弦
16、定理可知=2cos222ab + c -bcA即22=626cos4522b +-b通过作业使学生及时巩固本节课所学知识，可以让学生自检学习效果和反思反馈.整理得2 32 = 02b-b +解得=3 - 1b或=3 + 1b.当=3 - 1b时，2222 + ( 3 - 1) -61cos=-222( 3 - 1)C，又因为oo0 180C，所以o120C =.当=3 + 1b时，2222 + ( 3 + 1) -61cos=222( 3 + 1)C，又因为oo0 180C，所以o60C =.解法 2：由正弦定理可知sinsinacAC，即26sinsin45C，解得3sin2C =，因为oo0 180C，所以o60C =或o120C =.当o60C =时，o75B =，由正弦定理可知sinsinabAB，即2sin45sin75b，解得=3 + 1b.当o120C =时，o15B =，由正弦定理可知sinsinabAB，即2sin45sin15b，解得=3 - 1b.
