1、教教 案案 教学基本信息 课题 正弦定理（第一课时） 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名：数学必修第四册 出版社：人民教教育出版社 出版日期：2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 董武 北京市昌平区第一中学 实施者 董武 北京市昌平区第一中学 指导者 高丽娟 北京市昌平区教师进修学校 课件制作者 董武 北京市昌平区第一中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 本节课包括正弦定理及其推导，三角形的面积公式，正弦定理的应用之一：解三角形 通过实际测量问题，抽象出解三角形的概念；通过复习解直角三角形中的典型定理，归纳出一般三角形的面积公式及正弦定理；发
2、展了学生的数学抽象素养，数学建模素养 通过解直角三角形，推导一般三角形的面积公式，并证明了正弦定理，发展了学生的逻辑推理的数学素养 通过运用正弦定理解三角形，让学生体会由特殊到一般、分类与整合、数形结合及方程的思想方法，发展几何直观及数学运算的素养 教学重点：正弦定理的推导及应用 教学难点：三角形边角关系的探究过程及初步应用 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 发现问题 提出问题 问题问题 1 1： 在实际生活中，距离的测量是一项常见的活动而在现代生活中，得益于现代科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获
3、得两点间距离的么？ 由实际测量问题，引入实际问题，抽象为一般的数学问题，引导学生发现提实际问题： 如图，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了ABC与ACB的大小，你能借助这 3 个量，求出AB的长么？ 数学问题： 在 ABC 中，已知 BC=m，ABC=，ACB = ，求AB 出问题 分析问题 构建模型 1解三角形解三角形 习惯上，我们把三角形的三个角与 3 条边都称为三角形的三个元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形 请回顾三角形的基础知识 请回顾解直角三角形的重要结论， 如 “勾股定理” ， “锐角三角函数” “三角面积公式”
4、 问题问题 2 2： 回顾上面已知的，或已研究的内容，如何进一步研究一般三角形元素间的等量关系呢？ 探究 1：一般地，在ABC中，如何根据a，b与C的值，求出这个三角形的面积？ 当ACB为锐角时，如图 在ABC中， 过A作BC边上的高AD 在RtADC中，由正弦的定义可知，sinADbC，所以ABC的面积为1sin2SabC 通过复习一般三角形的性质，及解直角三角形，初步建立解三角形模型 通过直角三角形面积公式的基本结构，归纳得出一般三当ACB为钝角时，如图： 设BC边上的高为AD在RtADC中，由正弦的定义可知，sin(180)sinADbCbC，所以ABC的面积为1sin2SabC 当90
5、ACB时，上述面积公式仍成立 2三角三角形面积公式形面积公式 一般地，若记ABC中的面积为S，则 111sinsinsin222SabCacBbcA 问题问题 3 3： 回顾 ABC面积公式的推导过程及结论， 试归纳 ABC的元素之间的一些等量关系 思路 1：利用直角三角形中的正弦定义，由特殊到一般，猜测归纳得到正弦定理的结论 在ABC中，若90C 时，有 sinsinsin90abccAB 思路 2：任选两组三角形面积公式 11sinsin22SabCacB 解得，sinsinbCcB， 同理，sinsinbAaB，sinsinaCcA 所以，sinsinsinabcABC 思路 3：由三角
6、形面积公式直接得到 角形面积公式的基本结构，并把任意三角形转化为直角三角形，体现了由特殊到一般，及分类与整合的思想 通过直角三角形中锐角三角函数中正弦函数的相关结论，归纳得出正弦定理的基本结构，体现了由特殊到一般的数学思想 111sinsinsin222SabCacBbcA 所以2sinsinsinSCBAabccba 所以，sinsinsinabcABC 3正弦定理正弦定理 符号语言：一般地，在ABC中， sinsinsinabcABC 文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等 通过选取三角形面积公式的不同表达形式，由数学运算得出 正弦定理，让学生体会解三角形概念，理解正弦
7、定理的实质，发展逻辑推理的数学素养 解决问题 定理应用 问题问题 4 4： 如何利用正弦定理，解决“已知三角形的若干元素求其他元素”问题 例 1 已知ABC中，75B，60C，10a， 求c 分析： 解：在ABC中，75B，60C， 所以180180756045ABC 由正弦定理，得sinsinacAC， 所以310sin10 sin6025 6sinsin4522aCcA 解题反思： 通过例 1， 让学生体会基于三角形中两角一边条件下解三角形，可以转化为边的一次方程，方程有唯一解这是正弦定理的第一种重要应用 本题所给条件为ASA，要使用正弦定理，定理中的量应为三角形中的两边及所对角，因此求出
8、第三个角，转化为AAS例 1 中满足所给条件的三角形为 1 解，这与我们初中所学的ASA，AAS为三角形全等的判定定理一致 例 2 已知ABC中，2a，2 3b，30A，求解这个三角形 分析： 解：在ABC中，由正弦定理得sinsinabAB， 所以12 3sin32sin22bABa 由于0180B，所以60B或120B 当60B时，有 所以180180306090CAB 此时ABC是直角三角形，从而有 22222(2 3)4cab 当120B时，有 所以1801803012030CAB 此时ABC是等腰三角形，从而有2ca 解题反思： 本题所给条件为SSA，题中的 2 解都满足所给条件，这
9、与我们初中所学的SSA不能做为三角形全等的判定定理一致辞 通过例 2，例 3，让学生体会基于三角形中两边及其一边对角条件下解三角形，可以转化为角的三角方程， 方程解不唯一，满足条件的三角形可能不唯一这是正弦定理的第二种重要应用 求解三角方程3sin2B时， 忽略B为三角形内角，使得方程解集丢根或增根 对B进行分类讨论时，继续运用正弦定理，未能养成分析ABC的形状的习惯，使求解过程过繁，导致运算错误 例 3 已知ABC中，3 6b，6c，120B， 求,A C及三角形的面积 解：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC， 所以36sin22sin23 6cBCb 由于0180C，所以45B或1
10、35B 当45C时，有 所 以1801801204515ABC， 而321262sin15sin(6045 )22224， 所以ABC的面积为 1162279 3sin3 662242 SbcA 当120B时，有 所以18018012513575ABC，不合题意，应舍去 解题反思： 已知两边及一边对角求另一边对角，转化为“解关于对角的三角方程” 满足条件的三角形只有一个，注意正弦定理与其他条件综合判定 复习回顾 反思总结 问题问题 5 5： 请同学们回顾本节课所讲的内容 通过回顾梳理本节知识结构，让学生体会由特殊到一般思想， 分类与整合思想，方程思想，整体感受发现问题，提出问题是一种重要学习方法 作业 问题问题 6 6： 请同学们完成下列作业 在ABC中，已知10c，45C，60B，通过构造直角三角形求出b的值 已知ABC中， 已知45A，75B，8b， 求a 在ABC中， 已知3a，4b，30A， 求sinC 通过作业，让学生动手实践，掌握正弦定理的两种典型应用
