1、教教 案案 教学基本信息 课题 正弦定理与余弦定理的应用 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名：数学必修第四册 出版社：人民教教育出版社 出版日期：2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 董武 北京市昌平区第一中学 实施者 董武 北京市昌平区第一中学 指导者 高丽娟 北京市昌平区教师进修学校 课件制作者 董武 北京市昌平区第一中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标 通过设计测量底部不能到达的故宫角楼高度的测量方案，让学生感受正弦定理，及余弦定理在实际测量中的应用，发展数学运算及数学建模素养 通过测量平面上两个不能到达的地方之间距离，体会由特殊到一般、
2、转化与化归、数形结合，及方程的思想方法，发展几何直观，数学运算素养 通过解决在运动变化过程中蕴含的解三角形问题，体会根据运算条件选取相应的运算法则解决问题，发展几何直观，数学运算，数学建模的素养 教学重点：不可达两点间距离的测量及正余弦定理的应用 教学难点：三角形边角关系的探究过程及初步应用 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习回顾复习回顾 构建模型构建模型 问题问题 1 1： 请回顾、梳理解三角形的基本模型 通过复习回顾， 让学生梳理解三角形的基本模型， 并进一步思考正弦定理、 余弦定理中蕴含的距离测量的问题问题 2 2： 请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量河对
3、岸的一点A与岸边一点B之间的距离试说明测量方案与计算方法 解：一点不可达的两点间的距离的测量方案及计算方法如下 知识 发现问题发现问题 提出问题提出问题 问题问题 3 3： 请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量不可到达的两点间的距离试说明测量方案与计算方法 例例 1 1 如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量假设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，并写出方案，给出有关的计算方法 分析分析：问题实质为用米尺和测量角度的工具，怎样得到不便到达的两点之间的距离在对面的岸边选定一点进行测量，问题转化为测量一点不可达的两点间距离 解：测量方案如下，设角
4、楼顶端为 A，底部为 B 通过本题的研究，让学生了解历史， 增强学生的民族自豪感， 感受到生活中处处有数学 第一步：选定一点 C，测量 ACB= ； 第二步：选定一点D，测量 CD=m ； 第三步：测量 BCD= ， BDC= ； 第四步：测量 ACD= ， ADC= 解：在 BCD 中，有CBD， 由正弦定理，sin()sinmBC， 即 sinsin()mBC 在 ACD 中，同理有sinsin()mAC 在 ACD 中，由余弦定理可得的长，即2222cosABACBCACBC 反思反思： 通过高度的测量，让学生体会， 空间问题平面化的策略； 并在求解过程中， 需要关注解直角三角形与解斜三
5、角形相结合， 全面分析所有三角形， 仔细规划解题思路 模型应用模型应用 问题解决问题解决 问题问题 4 4： 思考，如何解决平面上不便到达的两点之间的距离的测量 例例 2 如图所示， A，B 是某沼泽地上不便到达的两点， C， D 是可到达的两点，已知 A，B，C，D 都在水平面上，且已经测得45ACB，30BCD，45CDA，15BDA，100mCD ，求 AB 的长 求解三角形中与距离相关的线段时， 若所求线段在一个三角形中， 则直接用正弦定理，余弦定理求解；若所求的线段在多个三角形中， 则依次选择或构造适当的三角形， 再 分析分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量明确两观测点
6、C，D，梳理数据 解解：已知 A，B，C，D 都在水平面上， 在BCD中， 60BDCBDACDA， 18090CBDBCDBDC 在RtBCD中， 有100cos3050 3mBC 在ACD中，60CAD， 由正弦定理得100sin45sin60AC， 所以100 63AC 在ABC中，由余弦定理，2222cos45ABACBCACBC， 化简得2125003AB ，解得50 153AB 反思反思： 例例 3 如图，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南60方向、利用正弦定理， 余弦定理求解 关注测量观点下的数据的整理与分析；关注基于解三角形元素间
7、关系的分析 距城市 A300km的海面点 P 处，并以20km/h的速度向西偏北30方向移动 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 3km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由 分析：分析： 用数学语言描述城市 A 受到台风的影响即城市 A 在以台风为中心，半径为100 3km的的圆形区域内 用数学语言描述城市 A 受到台风影响的时间 即城市 A进入台风影响区域以及离开台风影响区域的时间之差 解解：设台风的中心hx后到达位置Q，且此时100 3AQ如图 在AQP中，有603030P，且30
8、0kmAP，20 kmPQx （解法一解法一） 由正弦定理可得100 330020sin30sinsinxQA， 解得300sin303sin2100 3Q， 所以60Q或120Q 引导学生建立数学模型， 学会用数学的眼光看现实世界， 应用数学知识解决问题 通过引导学生思考： “如何用数学语言描述城市 A 受到台风的影响， 如何用数学知识运算与表达” ，让学生能有意识地用数学语言表达现实世界， 发现和提出问题， 感悟数当60Q时，90QAP， 因此100 320sin30 x，得10 3x 当120Q时，30QAP， 因此20100 3x，得5 3x 所以，城市在5 3 h后会受到影响，持续时
9、间为10 35 35 3 h （解法二解法二） 由余弦定理可得2222cosAQAPPQAP PQAPQ， 解得2300 3600000PQPQ， 所以100 3PQ 或200 3PQ 当100 3PQ 时，因此20100 3x ，解得5 3x 当200 3PQ 时，因此20200 3x ，解得10 3x 所以，城市在5 3 h后会受到影响，持续时间为10 35 35 3 h （解法解法三三） 由余弦定理可得222300(20 )2 300 20 cos30AQxx ， 又因为100 3AQ， 所以，得215 31500 xx， 解得5 310 3x 所以，城市在5 3 h后会受到影响，持续时
10、间为学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题， 积累数学实践的经验 通过选取不同的方法解决问题， 引导学生感受有效借助运算方法解决实际问题； 通过运算促进数学思维发展， 形成规范化思考问题的品质， 养成一丝不苟、 严谨求实的科学精神 10 35 35 3 h 复习回顾复习回顾 反思总结反思总结 问题问题 5 5： 我们共同回顾、梳理本节课研究的主要问题 1.不能到达底部的物体的高度问题 2.不能到达的同一水平面上两点间的距离问题 3.运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题 通过回顾梳理本节知识结构， 让学生体会不可达的两点之间的距离测量问题的三种典型应用， 构建较完整的解三角形模型，
11、体会由特殊到一般思想 课后作业 问题问题 6 6： 请同学们完成下面的作业 作业作业 1 如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶的仰角分别为30和45，两个观测点C，D之间的距离为200m，求此山的高度AB（测量仪的高度忽略不计，A，B，C，D都在一个平面内，ABC是一个直角三角形） 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD，BDC，CDs， 并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB 通过作业， 让学生进一步体会， 解决实际问题中： 关注空间图形与平面图形的识别， 关注正、 余弦定理及解直角三角形的综合应用，关注测量观点下数据的整理与分析 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量已知四点A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图所示） 飞机能够测量的数据有俯角和A，B之间的距离请设计一个方案，包括 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出） ； 用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤 作业 2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）
