1、1 / 411 基本计数原理【学习目标学习目标】知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)【自学导航自学导航】分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 M2 种不同的方法. 在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有_种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事有 n 个步骤， 在第 1 个步骤中有 m1 种不同的方法， 在第 1 个步骤中有 M2 种不同的方法. 在第
2、 n 个步骤中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有_种不同的方法.【合作探究合作探究】例例 1.1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例例 2.2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例例 3 3.用 0，1，2，3，4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）银行存折的四位密码？（2
3、）四位数？（3）四位奇数？例例 4 4我们把一元硬币由有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫反面。现依次抛出 5 枚壹元硬币，按照抛出的顺序得到一个由 5 个“正”或“反”组成的序列，如“正，反，反，反，正” 。问：一共可以得到多少个不同的这样的序列？例例 5 5 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？【反馈练习反馈练习】1 ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的
4、种数是 ;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有条2现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名 ( 1 ）从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3
5、 个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？（22464 000（个） ）4.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180B. 160C. 96D. 60图一图二图三若变为图二,图三呢?2 / 4121 排列（一）【学习目标学习目标】知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。教学重点：排列、排列数的概念【自学导航自学导航】1排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成
6、一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示3排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm（,m nNmn）全排列数：(1)(2)2 1!nnAn nnn （叫做 n 的阶乘）另外，我们规定 0! =1 .(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(2)(1)()3 2 1()(1)3 2 1n nnnmnmnm nm !()!nnm=nnn mn mAA.【自测自评自测自评】计算： (1）410A； (2）518A; (3）18131813AA.例例 1 1。解方
7、程：3322126xxxAAA2。解不等式：2996xxAA例例 2 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？例例 3(1）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 60.(2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？125例例 3 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 648【反馈练习反馈练习】1若!3!nx ，则x （ ）( )A3nA( )B3nnA( )C3nA()D33nA2若532mmAA
8、，则m的值为（ ）( )A 5( )B 3( )C 6()D 73计算：5699610239!AAA；11(1)!()!nmmAmn4 （1）已知256nA ，那么n ； （2）已知2247nnAA，那么n 5某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？153 / 4121 排列（二）排队照相问题排队照相问题（1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？5040（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？5040（3）7 位同学站成一排，其中甲站在
9、中间的位置，共有多少种不同的排法？720（4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？240（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？2400（6）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？1440（7）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？720（8）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？960（9）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 288（10）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？3600（11）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？1440练习练习5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少
10、种排法： （1）男女相间；28800（2）女生按指定顺序排列 302404 / 4122 组合【自学导航自学导航】1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同2 2判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不
11、同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？3组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnn mCAm或)!( !mnmnCmn),(nmNmn且规定:01nC.【合作探究合作探究】例例 1 1计算： （1）47C；（2）710C；例例 2 2 （组合数性质）（组合数性质）求证： （1）mnnmnCC （2）mnC1mnC+1mnC变式（1）计算：69584737CCCC；（2）求证：nmC2nmC+12nmC+2nmC例
12、例 3 3 （1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？例例 4 4在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？161700(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ 9506(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？9 604例例 5 5 （1 1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？（2 2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一
13、次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？教学反思：教学反思：1 1 注意区别注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2 2 特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3 3“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4 4、混合问题，先、混合问题，先“组组”后后“排排”对某种产
14、品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5 5、分清排列、组合、等分的算法区别、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法?(3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法?6 6、分类组合、分类组合, ,隔板处理隔板处理从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?
