1、1 / 102021 北京师大附中高三（上）11 月月考数学2021.11.15一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合|13Axx，|24Bxx，则AB=（）A|23xxB|23xxC|14xxD|14xx2在复平面内，复数1z的对应点是1(1,1)Z，2z的对应点是2(1, 1)Z，则12z z （）A1B2CiDi3若函数22 ,1,( )log,1xxf xxx,则函数( )f x的值域是（）A(,2)B(,2C0,)D(,0)(0,2)4设, a b为两个非零向量，则“a b =|a b|”是“a与b共线”的（
2、）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5.下列函数中，同时满足：图象关于y轴对称；1212,(0,)()x xxx，2121()( )0f xf xxx的是（）A1( )f xxB( )cosf xxC2( )log |f xxD1( )2xf x6已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若/ / ,/ / ,mn则/ /mnB若m，n，则mnC若m，mn，则/ /nD若/ /m，mn，则n7如图，点1122( ,), (,)A x yB xy分别是单位圆 O 上的点，角, 的终边分别为射线 OA 和射线 OB，则1212x xy y+表示的
3、值为（）Acos()Bcos()Csin()Dsin()2 / 108 已知正项等比数列an满足：765=2aaa， 若存在两项,nmaa使得14mna aa， 则nm41的最小值为 （）A35B23C256D不存在9青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） （10101.259）A1.5B1.2C0.8D0.610如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，,E F分别是棱11,AD BC
4、上的动点，设1,AEx B Fy.若棱1DD与平面BEF有公共点，则xy的取值范围是（）A0,1B1,2C1 3 , 2 2D3 ,22二、填空题 ：5 小题，每小题 5 分，共 25 分11. 设向量(1,0),( 1,)m ab. 若()maab，则m _12已知na为等差数列，nS为其前n项和若112a ，23Sa，则2a ；nS=.13已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=14设( )f x是定义在 R 上的单调递增函数，能说明“一定存在0 x R使得0()0f x”为假命题的一个函数是( )f x =_15对于定义域为R的函数( )fx，定义
5、：若存在非零常数T，对任意xR，若()( )f xTTf x恒成立，则称( )fx为倍周期函数下列四个函数：3yx ，ABCD1D1A1B1CEF3 / 10sin()3yx， xye， yx（其中 x表示不超过 x 的最大整数）.其中是倍周期函数的有. （直接填写所有符合条件的序号）三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题 13 分）已知数列na是等比数列，并且123,1,aaa是公差为3的等差数列.（）求数列na的通项公式；（）设2nnba，记nS为数列nb的前 n 项和，证明：163nS .17 （本小题 14 分）已知函数( )sin
6、sin3cosf xxxx（）.（）求( )f x的最小正周期；（）若( )f x在区间,3m上的最大值为32，求m的最小值.18 （本小题 14 分）在ABC中，7cos8A ，3c ，且bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）ABC的面积条件：sin2sinBA；条件：sinsin2sinABC注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。4 / 1019 （本小题 14 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，1DCBD（）证明：1DCBC；（）求二面角11ABDC的大小C1ABCA1B1第 19 题图D20 （本小题 15
7、 分）设函数2( )lnf xxaxx（a为常数）（）当3a 时，求函数( )f x的极值；（）当0a 时，试讨论( )f x的单调性；（）若存在01,2x ，使不等式0()lnf xma对任意1(0, )2a恒成立，求实数m的取值范围21 （本小题 15 分）对于集合M，定义函数1()( )1()MxMfxxM对于两个集合,M N，定义集合 |( )( )1MNMNx fxfx 已知2,4,6,8,10A，1,2,4,8,16B（）写出(1),(1)ABff的值，并用列举法写出集合A B；（）用()Card M表示有限集合M所含元素的个数，求()()Card X ACard X B的最小值；
8、()有多少个集合对( ,)P Q，满足,P QAB，且() ()P AQ BA B？5 / 102021 北京师大附中高三（上）11 月月考数学参考答案一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1D2B3A4D5C6B7A8B9C10B二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11.1121，(1)4n n133514如：1( )2xf x = -，1, 1( )2, 1xf xxxx-= -等；15注：12 题两空，其中第一空 3 分，第二空 2 分；15 题少选 3 份，错选不得分三、解答题共 6 小题，共 85 分，解
9、答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16 （本小题 13 分）（）解：设等比数列na的公比为q，因为123,1,aaa是公差为3的等差数列，所以213213,(1)3,aaaa2 分即112114,2,a qaa qa q 3 分解得118,2aq.5 分所以114118( )22nnnnaa q7 分（）证明：因为122214nnnnbaba，所以数列nb是以124ba为首项，14为公比的等比数列.8 分所以141( ) 4114nnS11 分161161( ) 343n.13 分6 / 1017.（本小题 14 分）解： （）( )sinsin3cosf xxxx（）2sin3sin co
10、sxxx1 分1 cos23sin222xx3 分311sin2cos2222xx1sin(2)62x6 分所以( )f x的最小正周期为22T .7 分（）由（）知1( )sin(2)62f xx.因为,3xm ，所以52,2666xm .9 分要使得( )f x在,3m上的最大值为32，即sin(2)6x在,3m上的最大值为 1.11 分所以262m，即3m.13 分所以m的最小值为3.14 分18 （本小题 14 分）解：选条件：sin2sinBA1 分（）在ABC中，因为sinsinbaBA，所以sin2sinaBbaA3 分因为222cos2bcaAbc，且3c ，7cos8A，2b
11、a，5 分所以22497128aaa化简得22760aa，解得2a 或32a 7 分7 / 10当32a 时，23bac，与题意矛盾8 分所以2a ，所以4b 9 分（）因为7cos8A，(0,)A，所以15sin8A 所以11153 15sin432284ABCSbcA 14 分选条件：sinsin2sinABC1 分（）在ABC中，因为sinsinsinabcABC，所以由sinsin2sinABC得26abc3 分因为222cos2bcaAbc，且3c ，7cos8A，6ab，所以229(6)768bbb7 分解得4b 9 分（）由（）知4b ，所以62ab因为7cos8A，(0,)A，
12、所以15sin8A 所以11153 15sin432284ABCSbcA 14 分19 （本小题 14 分）解： （）证明：在直三棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A为矩形因为112ACBCAA，D是棱1AA的中点，所以ADC和11ADC均为等腰直角三角形所以o1145ADCADC 因此o190C DC，即1C DDC3 分因为1DCBD，BDDCD，所以1DC 平面 BCD5 分因为BC 平面 BCD，8 / 10所以1DCBC6 分（）解：因为1CC 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，所以1CCAC，1CCBC又因为1DCBC，111CCDCC，所以BC 平面11AC
13、C A因为AC 平面11ACC A，所以BCAC以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示7 分不妨设1AC ，则(0,0,0)C，(1,0,0)A，(010)B ， ，(101)D ， ，1(10 2)A， ，1(0,0,2)C，所以1(0,0, 1)AD ，1( 1,1, 2)AB ，1(1,0, 1)C D ，1(0,1, 2)C B 8 分设平面1ABD的法向量xyz， ，m，由1100.ADAB ，mm得020.zxyz ，令1x ，则(1,1,0)m10 分设平面1C BD的法向量xyz， ，n，由1100.C DC B ，nn得020.xzyz，令1x ，则(1,2,1)n12 分则
14、有1 1 1 20 13cos,.| |226 m nm nmn13 分因为二面角1ABDC为锐角，所以二面角1ABDC的大小为614 分20 （本小题 15 分）DC1ABCA1B1zxy9 / 10解： （）依题意 ? ? ? ?，? 函数的定义域为 ?t ? ? ，当 ? ? h 时，? ? ? ? h? ln?，? ? ?h?，2 分当? ? ? ? 时，? ? ? ?，? ? 单调递减；当 ? ? ? ?或 ? ? ? 时，? ? ? ?，? ? 单调递增所以 ? ?极小值? ? ? ? ?， 极大值? ? ln5 分（II）函数的定义域为 ?t ? ? ，? ? ? ?，? 因为
15、? ，（当且仅当 ? ?时，等号成立）当02 2a时，? ? ? ? ? ? ? 在 ?t ? ? 上恒成立，故 ? ? 在 ?t ? ? 上是增函数7 分当2 2a 时，在28(0,)4aa，28(,)4aa上是增函数在28(,4aa28)4aa上是减函数。9 分（III）当 ? ? ?t?时，由（2）知，? ? 在 ?t 上单调递增，所以 ? ?min? ? ? ? ? 01? 分故问题等价于：当 ? ? ?t?时，不等式 ? ? ? ? ln? 恒成立，即 ? ?ln?恒成立11 分记 ? ? ?ln?，则 ? ? ?ln?ln?，令 ? ? ? ln? ? ? ?，? ? ? ln?
16、? ?，所以 ? ? 在 ? ? ?t?上单调递增，? ? ? ?ln ，? ? ? 故 ? ? ? ?，所以 ? ? ?ln?在 ? ? ?t?上单调递减，14 分所以 ? ?ln?lnt即实数 ? 的取值范围为 ? t ?ln15 分21 （本小题 15 分）解：(),.4 分10 / 10()根据题意可知：对于集合,且,则;若且,则.所以要使的值最小,2,4,8 一定属于集合 ;1,6,10,16 是否属于 不影响的值;集合 不能含有之外的元素.所以当 为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时,取到最小值4.9 分()因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素 ,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.15 分
