圆锥曲线二级结论深度易记讲义.pdf下载_163文库

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1、加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课圆锥曲线二级结论深度易记讲义作者：作者：逻辑逻辑小组小组徐伟徐伟 Q QQ Q 群：群：4 43988356039883560 一直以来，提起圆锥曲线二级结论，总让人感觉很鸡肋；一者，考试时这些结论确实好用，二者呢这些结论也实在不好记忆尤其是各大 QQ 群内动辄几百条的二级结论更是让人望而却步，基于此种情况，“逻辑小组”决定出一份全新的系统的便于记忆的圆锥曲线二级结论讲义，供老师上课使用，供学

2、生复习使用，共计 8 篇，分别是：第二定义与焦点弦、第三定义与斜率乘积定值模型、六大相切模型、椭圆焦点三角形、双曲线焦点三角形、抛物线焦点三角形、仿射变换、渐近线相关。 8 篇涵盖最全高中圆锥曲线专题应试必备结论技巧。先共性后特性，前三讲追根溯源，从通性的角度结合圆锥曲线的第二、第三定义，系统讲授圆锥曲线三大共性结论；后五讲结合历年高考压轴题，全面讲授圆锥曲线各类结论技巧。这 8 篇预计每天在公众号更新一篇，都是逻辑小组一个字一个字敲出来的，Word 和 PDF 电子版均已经发送至QQQQ 群：群：4 43988356039883560，在群内可自行下载，群内优质数学资料持续更新中. 加入教

3、研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课第一篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦作者：逻辑作者：逻辑小组小组徐伟徐伟 Q QQ Q 群：群：4 43988356039883560 一、焦半径倾斜角式设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F, 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减） 2.2.在抛物线中在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加

4、减）证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义：圆锥曲线第二定义：平面内的动点( , )P x y到一个定点F的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数(0),e e 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当01e时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e 时，轨迹为双曲线。在标准方程下第二定义中的各要素对应表注：1.和坐标轴平行的虚直线为准线;2.教材中抛物线的准线与焦点就对应第二定义中的准线与焦点. 标准方程图像焦点坐标准线方程 22221(0)xyabab+= (,0)c 2axc= xyOF1F2加入教

5、研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 22221(0)yxabab+= (0,)c 2ayc= 22221(0,0)xyabab= (,0)c 2axc= 22221(0,0)yxabab= (0,)c 2ayc= 结论证明：如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论2cosbAFac=（弦的长短决定加减）进行证明：如图，过椭圆上任意一点A作准线2axc= 的垂线，设垂足为M,连接AF并延长交椭圆于另一点B,设AFx=，过

6、F作AM的垂线，垂足设为N xyOF1F2xyOF1F2xyF1F2xy准线：x=a2c准线：x=-a2cNMBOFA加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课设AF=,则222cos ,()FaabANMNxcccc= = += 因此2cosbAMANNMc=+=+ 由第二定义知：2cosceebAMac=+ 化简得：22cos1cosbbaAFcaca=,证毕. 到这里很多读者朋友会问：2cosbac+这个结论对应哪个焦半径？答案

7、是:2cosbBFac=+ 如何记忆？为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2 一个对应两个焦半径AFBF、怎么区分？弦的长短决定加减怎么证明2cosbBFac=+？仿照证明2cosbAFac=自行证明. 二、推论 1.弦长公式在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中：22222cosabABac= 在抛物线中：在抛物线中：22sinpAB= 记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2 2. .焦半径混合运算焦半径混合运算在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中：2112aAFBFb

8、+= 在抛物线中：在抛物线中：22112,sinpAF BFAFBFp+= 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课记忆提示：这两组公式也无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式取倒数，同分母相加即可，总之以上推论花里胡哨，都不要背诵，大家只需记住： 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加减）这两个核心公式即可，是不是大大降低了记

9、忆难度，反观市面上的参考资料都是直接让我们背推论，殊不知，没有这两组核心公式的铺垫，各个推论是孤立存在的，而且不易推导，记忆起来当然难度很大. 三、焦半径超级结论如果大家赶紧上面倾斜角式两个公式还是过于繁琐，非得想要用一个公式，表示所有圆锥曲线的焦半径，那么下面这个公式将会很适合你. 1.焦半径公式：1cosepe=（弦的长短决定加减） 2.焦点弦长公式：2221cosepABe=（弦的长短决定加减）注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，所以22sinpAB= p焦准距（焦点到准线的距离），椭圆与双曲线的准线方程为2ac，所以22|,abpccc=抛物线中p即为公式中的p 焦点

10、弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2 特别说明：倾斜角相关所有公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时22222cosabABca=或222cos1epABe= 关于四这部分也不建议大家记忆，花里胡哨的四、一个重要推论（考点）由本文三、四可知，圆锥曲线焦点弦长公式与离心率有关，下面探究离心率、倾斜角及点分线段的比例关系： 1cos1e=+ 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439

11、883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课焦点把弦分成两部分，1=长短特别说明：此公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时1cos1e+= 由此结论，我们可以知道，对于离心率e、倾斜角、焦半径比，知道其中任意两个量，都可以求其他一个量，出题人也常以此原理出题. 证明：以椭圆和双曲线为例，如图，由三知： 2211,coscosbbAFBFacac=+, 则11cos1coscos1cosAFaceBFace+= 化简得：1cos1e=+ 五、焦半径坐标式设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为

12、F 1 1. .在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中： 0|AFaex=（焦点在x轴上） 0|AFaey=（焦点在y轴上）注：绝对值内具体是加还是减，要结合焦半径的长短及坐标正负来判断结论证明: xyBOF1F2A加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论0|AFaex=（焦点在x轴上）进行证明：设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F 则由第二定义得2100|aAFe

13、 xaexc=+=+，2200|aAFexaexc= 2 2. .在抛物线中在抛物线中 0|2pAFx=+（焦点在x轴上） 0|2pAFy=+（焦点在y轴上）证明提示：定义配套练习例 1.(2019 年全国 I 卷理 10/全国 I 卷文 12) 已知椭圆C的左右焦点为1( 1,0)F ，2(1,0)F，过点2F的直线与C交于,A B两点，若222AFF B=，1ABFB=，则C的方程为（） 22.12xAy+= 22.132xyB+= 22.143xyC+= 22.154xyD+= 解析： xy准线：x=a2c准线：x=-a2cMOF1F2A加入教研 QQ 群：439883560，获

14、取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课如图，设2222AFF Bx=，则13ABFBx=，由定义知：12124BFBFAFAFx+=+= 解得12AFx=，所以122AFAFx=,点A与短轴端点重合，于是21coscAF Fea= 由五结论知：211cos13ee=+ 所以222221,3,2cabac= 所以选B 例 2.(2017 全国卷) 已知F为抛物线2:4C yx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12, ,l l直线1l与C交于AB、两点，直线2l与C交于DE、两

15、点，则|ABDE+的最小值为（） .16A .14B .12C .10D 解法一：常规解法设AB倾斜角为作1AK垂直准线，2AK垂直x轴，易知11cos22+= =AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性），cosAFPAF+=，同理1cosPAF=，1cosPBF=+，22221cossinPPAB=，又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为2+， 2222cossin2PPDE=+，而24yx=，即2P = xy2xx2x3xBAOF1F2加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量

16、优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 22112sincosABDEP+=+2222sincos4sincos+=224sincos=241sin 24= 21616sin 2=，当且仅当4=取等号，即ABDE+最小值为16，故选A；解法二：结论解法依题意知：22sinPAB=，2222cossin2PPDE=+，由柯西不等式知： 2222211(1 1)22816sincossincosABDEPPP+=+=+，当且仅当4=取等号，故选A；例 3. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为3,2过右焦点F且斜率为(0)k k 的直线与C相交

17、于,A B两点，若3AFFB=，则_.k = 解析：将数据代入结论1cos1e=+得： 33 11cos23 12=+，解得3cos3= 进而2 2sin3=，所以sin2 6cos3k= 例 4.已知点( 23)A ，,设点F为椭圆2211612xy+=的右焦点，点 M 为椭圆上一动点，求| 2|MAMF+的最小值，并求此时点M的坐标。解析：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M. 椭圆的离心率12e = xy准线：x=a2cNOFMA加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备

19、aexcc+= 解得222022caxe=，由椭圆方程中 x 的范围知2200 xa。 222220caae ，解得212e. 例 6.（2020辽宁实验中学高三期末（理）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，过2F的直线与双曲线的右支交于两点,A B，若1:3:4AFAB =，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（） 5.2A 10.2B 5.2C .5D 答案：B 解析: 若1:3:4AFAB =，则可设13 ,4AFm ABm=，因为2F是AB的一个四等分点；若214BFAB=,则22,3BFm AFm=,但此时12330AFAF

20、mm=，再由双曲线的定义，得122AFAFa=，得到0a =，这与0a 矛盾；加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义逻辑小组出品逻辑小组出品教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课若214AFAB=,则22,3AFm BFm=，由双曲线的定义，得2111212232| 5AFAFmaBFBFBFmaBFama=，则此时满足22211AFABBF+=, 所以1ABF 是直角三角形，且190BAF= , 所以由勾股定理，得2222221212(3 )(2 )AFAFF Faac+=+=，得102e =,故选B. 例 7.过抛物线24yx=的焦点F作直线交抛物线于11()A xy，、22()B xy，若126xx+=，求|AB的长. 解析：设AB的中点为E，点AEB、、在抛物线准线:1l x = 上的射影分别为GHM、、.由第二定义知： | |ABAFBF=+ 12| 2| 2( 1)82xxAGBMEH+=+= = xy5m3mm3mBOF1F2A

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