1、教教 案案教学基本信息课题平面向量的概念学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册 A 版出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者张一樵北京市第五十五中学实施者张一樵北京市第五十五中学指导者雷晓莉北京市东城区教师研修中心课件制作者张一樵北京市第五十五中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课以实际问题为背景，抽象出向量概念，举例说明向量的内涵及其表示方法，帮助学生理解向量集形与数于一身的基本特征. 介绍向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；类比对数、线段的研究方法研究向量；讲解课本例题.教学过程(表格描
2、述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，大家好，欢迎大家来到新的一册书、新的一个章节： 平面向量及其应用的学习，向量是近代数学中重要和基本的概念之一， 有着丰富的物理背景、 深刻的数学内涵，在解决实际问题中发挥着重要的作用.首先让我们先从现实生活中认识向量吧！由章引言引出本章话题，联系当今特殊环境，利用身边实例引导学生对于有方向的量、无方向的量进行分类.新课向量的有关概念的生成向量的有关概念的生成环节环节 1.数量与向量：数量与向量：新冠肺炎疫情牵动着全世界每个人的心， 疫情在世界各地陆续爆发，防疫物资在疫情爆发地都被抢购一空.最为抢手的防疫物资口罩、消毒酒精、医用防护服. 我们会关心这些
3、量：口罩的价格、消毒水的容量、浓度；防护服的尺寸、库存数量、有效防护时间等等. 这些量在取定单位后，只用一个实数就可以表示出来：3 元，75%，180cm有些量并不是如此.我国的抗击疫情的决心之大、速度之快，得到了全球各国的肯定.疫情爆发以来，各地源源不断的向武汉捐赠抗疫物资.我们在疫情地图上找到北京、 武汉， 如果记北京为点 A，武汉为点 B. 北京到武汉的位移，这个量你会如何说明？我们知道，北京到武汉的位移，大小是连接 A，B 两点的线段长度，其方向由 A 点指向 B 点.如果是武汉到北京的位移呢？其大小是连接 B，A 两点的线段长度，其方向由 B 点指向 A 点. 看来“位移”这个量，就
4、不是只能用一个数字说明的了. 位移除了大小，还有方向.那么生活中还有哪些量具有和位移一样的特征呢?比如在物理中我们常见的物理量：质量、力、速度，你能指出与位移具有同样特征的量么?我们知道，质量只有大小；而力、速度，既有大小又有方向. 至此我们发现，生活中的量从是否具有方向这个角度上，可以分为只有大小没有方向的量，比如身高、价格、速利用“北京到武汉的位移” 这一量的分析，对数量与向量进行分辨. 再回到生活中寻找是否还有具有大小、方向两个特征的量.率、路程；和既有大小又有方向的量，比如速度、加速度、力、位移.在数学中，我们把像位移、速度、力等等这些既有大小又有方向的量抽象出来，叫做向量.(1)向量
5、向量：既有大小又有方向的量.(2)数量：数量：只有大小没有方向的量.环节环节 2.向量的表示：向量的表示：在受力分析中，会用一个带箭头的线段来表示力， 如图所示. 受到物理的启发，数学中用带箭头的线段来表示向量，刻画它的大小、方向两个信息.(1) 有向线段：有向线段：通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向. 具有方向的线段叫做有向线段. 以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作 AB，它拥有三个要素：起点、方向、长度.正如我们在物理中描述一个力，需要描述：作用点、力的方向、力的大小.概念辨析：概念辨析：我们知道线段 AB 与线段
6、 BA 是同一条线段，线段的起点终点顺序可以改变， 有向线段的两个端点的顺序可以改变么? AB、 BA起点、终点均不同，表示的方向分别是由 A 指向 B、由 B 指向 A，显然表示的不是同一个方向，因而表示有向线段时， 端点的字母不能交换， 起点一定要写在终点前.(2) 表示向量的方法表示向量的方法几何表示：几何表示：有向线段. 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.代数表示代数表示：用有向线段的起点与终点字母，线段 AB 加箭物理中的受力分析引入向量的表示方法，介绍有向线段的概念、从数、形两个角度介绍向量的表示.并强调有向线段的方向、向量书写体与印刷体的区别.头来表示，
7、向量 AB，或 a； 手写中， 用小写字母加箭头，a表示向量. （在这里要对向量的代数表示加以说明，我们在手写中用小写字母 a 加箭头表示向量， 但印刷中用黑体小写字母 a 来表示.）环节环节 3.向量的模：向量的模：表示向量的有向线段的长度表示向量的大小， 我们把向量的大小称为向量 AB的长度，或称为 AB的模.概念辨析概念辨析 1.关于向量的模的符号与绝对值符号.用绝对值来表示距离， 在我们的数学学习中不是第一次见到了，绝对值的几何意义就是在数轴上，表示数字 A 的点到原点的距离. 数字的绝对值、向量的模，刻画的都是量的大小， 区别是一个刻画的是线段的长度、 另一个是向量的长度. 而恰恰因
8、为它们都只刻画了对象的数量特征而无法说明方向， 因此绝对值为 3 的数字， 不唯一； 模为 3 的向量，方向可以指向任意，有无数多个.概念辨析概念辨析 2.向量是否可以比较大小.如果两个向量满足|a |b|， 是否a b？ 向量与数量不同，它除了大小还有方向，大小可以比较，但方向不能比较. 因而向量不能比较大小，a b没意义.由于向量这个新的研究对象，既是数、也是形，自然的我们研究有关它的任何问题，都会从这两个角度出发. 我们先从简单的入手数量的角度. 向量是可以度量的.类比数字的学习过程将向量的模对比数量的绝对值.类比数字的学习过程讨论向量是否可以比较大小.环节环节 4.特殊向量：特殊向量：
9、（1）零向量零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0.概念理解概念理解 1.零向量可以理解为起点和终点落在一起、起点终点相同的向量.概念理解概念理解 2.零向量的方向，可以理解为指向任意方向.概念理解概念理解 3. 0 向量和数字 0：零向量是模为 0、方向指向任意的，零向量有方向，而数字 0 没有方向.（2）单位）单位向量向量：长度为长度为 1 的向量的向量叫做单位向量叫做单位向量.概念理解概念理解 1.单位向量与单位长度.继续类比数字的绝对值，引导学生对两个特殊的向量下定义零向量和单位向量.对这两个规定了大小的特殊向量，分几个方面设计问题帮助学生理解它们的方向.单位向量在向量中的作用
10、，类似于单位长度在数量中的作用.概念理解概念理解 2.所有的单位向量都相等么？概念理解概念理解 3.如果我们把所有单位向量的起点平移到同一起点 P，向量的终点的集合是什么图形?概念理解概念理解 4.在任意方向上，单位向量都给出了一个度量的标准，正如数轴上的单位长度. 任意给定和一个非零向量，就给定了一个方向，那么单位向量就成为了这个方向上的“度量衡”. 因此，用向量除以它的模长，得到的就是这个方向上的“单位 1”，即单位向量. 我们可以用|aa来表示所有的单位向量.从长度、方向、任意单位向量的表示方法多个角度理解单位向量.向量之间的关系向量之间的关系环节环节 5.相等向量：相等向量：长度相等且
11、方向相同的向量叫做：相等向量. 记作：a = b.比如，平行四边形 ABCD， 对边 AB，CD 平行且相等.如果分别给它们一个方向，由 A 指向 B 的方向、由 D 指向C 的方向，那么 AB,DC就是一组长度相等且方向相同的向量， 它们是一组相等向量， 记作： AB=DC, AB,DC这组向量之间的数量关系、位置关系都很特殊. 如果只看位置关系，方向相同、方向相反，都是向量方向上的特殊关系.我们获得了新的研究对象， 根据它的特征给它起了“名字”，下了定义并用符号表示出来， 研究了特殊的元素零向量和单位向量； 这是我们认识数学新的对象的一个基本的脉络和方法. 接下来， 我们应该研究这个新生事
12、物具有什么样的性质了. 我们来研究两个向量之间的关系.环节环节 6.平行向量：平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 向量 a 与 b 平行记作ab;规定零向量与任意向量平行.概念理解概念理解 1.平行向量所在的直线一定互相平行吗？平行向量指的是向量在方向上的两个特殊的关系， 相同方向或者相反方向. 方向相同的向量，可以处在一组平行线上，像图中的向量 a 与向量 b；也可以处在一条直线上，也就是共线:图中的向量 b 和向量 c. 方向相反的向量同理. 所在的直线可能平行，也可能共线. 所以，因此，平行向量所在的直线可能平行，也可能共线.概念理解概念理解 2.平行是否等价于相同方向呢?
13、向量的平行对应两种情况，方向相同或者相反. 两个向量平行，它们的方向未必一致，有两种可能：相同或相反.概念理解概念理解 3.平行向量与共线向量.如图，设a,b,c是一组平行向量，任作一条与 a 所在直 线 平 行 的 直 线 l ， 在 l 上 任 取 一 点 O, 分 别 作OAOBOC a, b , c ，那么点 A、B、C 的位置关系如何？我们发现，A、B、C 三点共线. 由于平移不改变向量的长度和方向，任意一组平行可以平移到同一条直线上. 因此， 平行向量也叫共线向量， 是描述同一种方向特征的不同名称.应从哪几方面研究向量之间存在的特殊关系呢？由于向量具有大小、方向两个方面的特征， 我
14、们的研究也应该围绕向量的大小关系、 向量的方向之间的关系展开. 而由于其大小关系其实就是数量之间的关系， 我们把研究的重点放在向量的方向上.易混淆概念辨析易混淆概念辨析环节环节 7.有向线段与向量：有向线段与向量：概念辨析概念辨析 1.有向线段与向量的区别与联系.根据前面的学习我们知道，起源于物理，我们用：有向有向线段来表示向量线段来表示向量， 这句话明确了二者的联系； 但为什么不干脆说有向线段就是向量， 向量就是有向线段？这二者有什么区别？是否数学中的向量等同于物理中的矢量？二者的区别就在于起点. 向量与起点无关. 有向线段的有向线段的位置是固定的位置是固定的， 与起点位置有关与起点位置有关
15、； 我们在做受力分析的时候，力的大小、方向、作用点缺一不可，这是物理中的矢量；而在抽象成数学中的向量之后， 其 “作用点” 已经不起作用. 有向线段是几何图形，是向量的直观表示.向量的有关概念中， 向量与有向线段、 平行向量共线向量， 这两组概念经常由于理解的不到位而造成失误. 为了避免这些失误， 我们一起来分辨一下它们.类比物理受力分析， 辨析有向线段与向量之间区别是起点、 位置、 是否自由移动. 说明：有向线段是几何图形， 是向量的直观表示.环节环节 8.共线向量是否共线？平行向量是否平行？共线向量是否共线？平行向量是否平行？概念辨析概念辨析.共线向量所在直线是否共线？如果非零向量,AB
16、CD 是共线向量，那么点 A、B、C、D 是否一定共线？平行向量也叫共线向量，它们是一回事，指两个非零向量方向相同或相反（零向量与任意向量平行、共线）. 向量中，/ a b就读作向量、ab平行或者向量、ab共线. 如图上的两组向量，满足两向量共线，但不满足端点共线.也可能出现共线向量的端点共线的情形. 共线向量所在直线，可能平行、可能共线.向量中的平行概念与平面几何中的平行、 共线不是一个概念. 平行向量是从方向角度对比两个向量，方向相同或者相反， 都是平行向量； 而平面几何中的平行， 是两直线之间的位置关系， 是区别共线与相交的；反过来， 由于平行向量和共线向量压根是一回事， 因此“共线向量
17、”一词中的共线也不是说这两个向量一定是几何意义上的共线. 因为向量完全是由它的模和方向决定的， 共线向量所在直线可能平行、 可能共线； 平行向量所在直线， 可能共线、 可能平行.环节环节 9.练习练习(1) 若 a 与 b 是单位长度，那么a = b.单位向量都相等么？(由于单位向量可指向任意方向，错误)(2)方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量 是共线向量. (方向相反的向量一定共线，正确)(3)若两向量不相等，则它们不共线. (向量相等，大小相等、方向相同，两个条件需要同时满足；但不等，只需要一个条件不满足即可. 反例是一组共线但长度不等的向量，错误)(4)若 ABDC， 则A，B，C
18、，D组成平行四边形.( ABDC是平行四边形的必要条件， 这个命题在定义相等向量中曾举例说明；但是不是充分条件呢?由于 ABDC时，端点 A、B、C、D 可能共线，不能组成四边形，错误)针对：单位向量、相等向量、共线向量，易理解失误的概念，设计问题，其中（1） 、 （2）为课本课后练习.例题例题的分析与解答例题的分析与解答环节环节 10.例题的分析与解答.如图，设 O 是正六边形中心.(1) 分别写出图中的共线向量；(2) 分别写出图中与 OA、 OB、OC相等的向量.根据共线向量的定义， 我们需要找到在图中与 OA方向相同或者方向相反的向量，即，如果做出直线 l 与向量 OA平行，那么所有可
19、以通过平移移动到 l 的向量都符合题意.正六边形的边、对角线之间存在着丰富的、 特殊的数量关系：倍数关系、相等关系，特殊的位置关系：平行、共线，是我们理解向量有关概念的很好的载体. 根据正六边形的几何性质确定， 向量 OA与DO、 CB、 FE是共线向量. 其中， OA=DO= CB， OA与 FE是一组相反向量，它们方向相反，大小相等.同理，我们找到与向量 OB共线的向量有三个： EO、共线向量所在直线可能平行也可能共线，容易漏解，需要提示如何避免；相等向量在共线的前提下，寻找方向相同同时模相等的向量.如果时间容许可以进行追问，若没有图形中给定的向量方向，以第三组共线向量为例，以正六边形的端
20、点、中心，为起点终DC、AF，其中， OB= EO=DC.第三组，与OC共线的向量是： FO、 AB、 ED，它们不仅方向共线，而且方向相同，大小相等，OC= FO= AB= ED.点的向量中，与OC共线的向量就应该还有： CO、 OF、 BA、 ED.小结小结回顾与展望小结回顾与展望环节环节 11.小结回顾与展望小结小结 1：本节课小结关于向量的概念， 我们从实际生活中、 物理中抽象出概念，引入既有大小又有方向的量. 向量的定义决定了它兼有代数、几何特征. 受到带箭头的线段表示力的启发，用有向线段表示向量，并符号化. 类比研究数的方法，也为向量体系的完备制订“规则”， 在研究向量时首先找到特
21、殊的向量进行研究. 研究了特殊而要的向量，接下来研究特殊而重要的关系：相等、平行.小结小结 2：数学历史文化中的向量向量的定义方法和符号表示， 我们仅仅经历了一节课的时间，在历史上向量从在物理中的使用到进入数学， 蓬勃的发展，经历了漫长的时间. 向量概念萌芽于两千多年前，由古希腊著名学者亚里士多德最早提出； 牛顿则最先使用有向线段表示力. 莱布尼兹利用向量研究几何问题的视角，逐渐形成了现在的向量理论体系.而向量进入数学并得到发展的标志出现在 1797 年，丹麦测量学家韦塞尔把复数表示为从三方面进行小结：本节课的知识内容和研究方法；向量的历史；本章要继续研究的内容.本节课研究问题你的方法，是我们
22、获得研究对象、刻画、认识它的基本思想方法；而知识线中，由于向量的形数兼备这一特征，在讨论任何问题时都要考虑向量的大小、向量的方向，这两个方面.这一结构体系，体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路和基本方法. 展望一下： 数学的发展过程，新问题的获得、 认识、研究、发展并进一步应用的过程，无不如此. 我们会继续学习有关向量的运算、将其坐标化、进而可以应用在哪些方面.向量并将坐标平面上的点用向量表示出来，自此， 二者都如虎添翼，彻底实现了几何问题的代数化.小结小结 3：本节课在章节中的位置介绍，向量学习展望我们不妨展望一下，对于这个全新的研究对象， 我们还会研究什么? 如何运算？如何坐标化？进而
23、可以应用在哪些方面. 在应用到各领域后，可能还会遇到新的问题，需要我们回到物理、回到数学中继续研究和加以解决.作业1. 下列量中哪些是向量？悬挂物体受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.2. 画两条有向线段，分别表示一个竖直向下，大小为18N 的力和一个水平向右，大小为 28N 的力. (1cm长等于 10N)3. 指出图中各向量的长度. (规定小方格边长为 0.5)4. 将向量用具有相同起点 O 的有向线段表示.（1）当 OMON时，判断终点 M 与 N 的位置关系;（2）当 OM与ON是平行向量，且| 2| 1 OMON时，求向量 MN的长度，并判断 MN的方向与ON方向之间的关系.作业会同时通过学习任务单发送给大家，请大家完成本节课学习后，思考学习单上的问题，并完成课后作业.数学是研究空间形式和数量关系的科学，研究对象就是几何和代数， 向量兼而有之，这也决定了它必在数形结合上发挥巨大的作用.让我们拭目以待.
