1、试卷第 1页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密绝密启用前启用前人教版高三下册人教版高三下册 2021-2022 学年度学年度 XX 学校期末模拟考试学校期末模拟考试数学卷数学卷考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题一、单选题1定义在R上的函数 fx的导函数为 fx，当0,x时， 2sincos0 xxfx且xR ， cos21fxf xx.则下列说法一定正确的是（）A153
2、24643ffB15344643ffC3134324ffD1332443ff2已知4ln04aa ，3ln03bb，2ln02cc，则（）AcbaBbcaCabcDacb3已知0.2111.2,9abce，则（）AabcBcabCacbDcba4已知函数 3( )ln |,( ln3),(ln3),3,xef xex afbfcfdf e，则 a，b，c，d的大小顺序为（）AabcdBdcbaCcdbaDcdab5已知0ab且满足a baeb，则下列说法正确的是（）A1aabb Bln2ln2aabbC12a D不存在, a b满足1ab6设函数 fx是函数 f xxR的导函数，已知 33fx
3、f x，且 2fxfx ，31fe ，11f ，则使得 321xf xe成立的x的取值范试卷第 2页，共 5页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 围是（）A2,B0,C1,D2,7数列 na满足1nnaa，则下列说法错误的是（）A存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足22pqpqaq ap aB存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足pqqpapaqaC存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足p qqpapaqaD存在数列 na使得对任意正整数 p，q 都满足11p qpqaa apq8设数列 na满足112a ，2*1(N )2021nnnaaan，记
4、12(1)(1)(1)nnTaaa，则使0nT 成立的最小正整数n是（）A2020B2021C2022D2023二、多选题二、多选题9 已知函数sincos( )xxf xee， 其中e是自然对数的底数， 下列说法中， 正确的是 （）A( )f x在0,2是增函数B设( )( )f xg xx，则满足144nngg的正整数n的最小值是 2C4fx是奇函数D( )f x在(0, )上有两个极值点10已知：( )f x是奇函数，当0 x 时， ( )1fxf x，(1)3f，则（）A(4)(3)fefB2( 4)( 2)fe fC3(4)41feD2( 4)41fe 11已知函数yfxa的图象关于
5、直线xa对称，函数 yf x对于任意的0,2x满足 cossin0fxxf xx(其中 fx是函数 fx的导函数)， 则下列不等式成立的是（）A336ffB336ffC243ffD 024ff试卷第 3页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 12已知函数 33,021,0 xxxxf xx，若关于x的方程 244230fxa fxa有 5个不同的实根，则实数a可能的取值有（）A32B43C54D76第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明三、填空题三、填空题13设函数( )xf xx eaxa，若存在唯一的整数0 x，
6、使得0()0f x，则a的取值范围是_.14如图是数学家GeminadDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面截面相切，设图中球1O和球2O的半径分别为 1 和 3，128OO ，截面分别与球1O和球2O切于点E和F，则此椭圆的长轴长为_.四、双空题四、双空题15如图，P1是一块半径为 2a 的半圆形纸板，在 P1的左下端剪去一个半径为 a 的半圆后得到图形 P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 P3、P4、Pn、，记第 n 块纸板 Pn的面积为 Sn，则（1）S
7、3_， （2）如果对*2020,3nnNS 恒成立，那么 a 的取值范围是_五、解答题五、解答题16 学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范， 具体表现为： 解题结果正确，试卷第 4页，共 5页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 无明显推理错误， 但语言不规范、缺少必要文字说明、 卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答” 为评估此类解答导致的失分情况， 某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目， 扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：教师评分（满分
8、 12 分）11109各分数所占比例141214某次数学考试试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分 （假设本次考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照
9、上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理） （1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X的分布列及数学期望 EX；（2）本次数学考试有 6 个解答题，每题满分 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“B类解答”记乙同学 6 个题得分为12345ix xxxxx的题目个数为ia，516iia，计算事件“233aa”的概率同学丙的前四题均为满分，第 5 题为“B类解答”，第 6 题得 6 分以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的认识17已知三次函数 32324f xaxaxa.（1）若函数 fx在区间,3a a上具有单
10、调性，求 a 的取值范围；（2）当0a 时，若122xx，求 12f xf x的取值范围.18已知函数11( )2sincosxxf xexex，( )fx是函数( )f x的导函数.试卷第 5页，共 5页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 （1）证明：( )fx在,4 3 上没有零点；（2）证明：当0,x，( )0f x .19已知数列 na的通项公式(1)21nn nan（*nN）且12111nnnabbb(*nN).(1)求数列 nb的通项公式；(2)求数列2nnab中最大值的项和最小值的项.20已知函数2( )2(1)xf xaexx（其中e为自然对数的
11、底数，aR） （1）当2a 时，求( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围答案第 1页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 参考答案参考答案1B【分析】构造函数 2sinF xxf x，分析出函数 F x为奇函数，利用导数分析出函数 F x在0,上为增函数，由此可得出该函数在R上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令 2sinF xxf x，xR ， cos21fxf xx，所以， 222sinsin2sinFxF xxfxxf xxfxf x1cos21cos20 xx ， FxF x ，所以，
12、函数 F x为R上的奇函数， sin2Fxxfx，当0,x时， 2sincos0 xxfx，即 sin2xfx， 0Fx，所以， 2sinF xxf x在0,上单调递增，由奇函数的性质可知，函数 F x在,0上单调递增，所以，函数 F x在R上单调递增.对于 A 选项，5263 ，则5263FF，即15324643ff，A选项错误；对于 B 选项，5463 ，5463FF，即15344643ff，B 选项正确；对于 C 选项，334，334FF，即3134324ff，C 选项错误；对于 D 选项，343，343FF，即1332443ff，D 选项错误.故选：B.【点睛】答案第 2页，共 22页
13、 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 关键点点睛：本题的解题关键在于利用导数不等式的结构构造函数 2sinF xxf x，充分分析该函数的奇偶性与单调性，结合单调性来比较函数值的大小关系.2C【分析】构造函数( )lnf xxx，利用导数判断其单调性，由已知可得( )(4)f af，01a，( )(3)f bf，01b；( )(2)f cf，01c，进而利用单调性可得答案.【详解】令( )lnf xxx，11( )10 xfxxx ，1x 01x时，( )0fx，则( )f x在(0,1)上递减，1x 时，( )0fx，则( )f x在(1,)上递增，由4ln04aa 可得0
14、4a，4ln4aa化为ln4ln4aa( )(4)f af，则01a，同理( )(3)f bf，01b；( )(2)f cf，01c，因为4321，所以 432fff，可得 f af bf c，因为( )f x在(0,1)上递减， ，abc，故选：C答案第 3页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【点睛】方法点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：求出 fx，在定义域内分别令 0fx 求得x的范围，可得函数 fx增区间，由 0fx 求得x的范围，可得函数 fx的减区间.3C【分析】构造函数( )10 xf xexx，( )(1)(1)(01)xxg xx
15、ex ex，利用导数研究函数的单调性，得出 fx， g x的单调性，得出1(0)xexx，令0.2x ，可得出ac，再由得出的21(01)1xxexx，令0.1x ，得出cb，从而得出结果【详解】解：先证1(0)xexx，令( )10 xf xexx，则( )10 xfxe ，可知 fx在0,上单调递增，所以 00fxf，即1(0)xexx，令0.2x ，则0.21.2e，所以ac；再证21(01)1xxexx即证(1)(1)xxxex e，令( )(1)(1)(01)xxg xxex ex，则 0 xxgxx ee，所以 g x在0,1上单调递增，所以 00g xg，即21(01)1xxex
16、x，令0.1x ，则0.2119e，所以cb，从而acb故选：C.答案第 4页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 4B【分析】对, a b化简变形得ln(ln3),3ln(ln3)3ab，从而可得ab，而函数( )ln |xf xex在区间(0,)上单调递增，所以 b，c，d 中 b 最小，然后构造函数( )lng xxex，利用导数判断其在区间), e 上单调递增，从而可得(3)3ln3( )0geg e，3ln3e，于是可比较出c，d 的大小【详解】因为ln3ln3ln(ln3)( ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3afebf
17、e，所以ab因为函数( )ln |xf xex在区间(0,)上单调递增，且1ln32，332,2ee，所以 b，c，d 中 b 最小构造函数( )lng xxex，则( )xeg xx，当x e时，( ) 0g x，所以( )g x在区间), e 上单调递增，所以(3)3ln3( )0geg e，所以3ln3e所以33ee ，所以dc，所以dcba故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数( )lng xxex，利用导数判断其在区间), e 上单调递增，从而可比较出 c，d 的大小，考查计算能力，属于较难题5D【分析】令 e1xt xx，利用导数
18、求出单调性可判断 A；对ea bab取对数可得ln2ln2aabb，判断 B；令 ln2fxxx，利用导数求出单调性，根据 f af b可求出a的范围；令 lnln 142g xxxx，利用导数求出单调性可判断 D.【详解】令 e1xt xx，0 x ，则 e10 xtx ，所以 t x在区间0，内单调递减，所以答案第 5页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 00t xt，又0ab，所以e1a baabb，A 项错误；对ea bab两边取自然对数得1ln2aabb，即ln2ln2aabb，B 项错误；令 ln2fxxx，则 11 22xfxxx，故
19、fx在区间10,2内单调递增，在区间1,2内单调递减，因为 f af b且0ab，所以102a，C 项错误；假设1ab，则1ba ，所以lnln 1420aaa，令 lnln 142g xxxx， 则 221114011xgxxxxx， 故 g x在区间10,2内单调递增，故当10,2x时， 102g xg，所以不存在a，b满足1ab，D 项正确故选：D【点睛】关键点睛：本题考查根据已知条件判断不等式，解题的关键是构造合适的函数，根据导数求出函数的变化情况判断.6C【分析】构造函数 321xf xF xe，求导分析单调性，由 2fxfx 得出以函数 yfx对称性，推出 yf x的对称性，根据对
20、称点关系即可求解原不等式【详解】令 3232133,xxf xfxf xF xFxee因为 33fxf x得 330fxf x，所以 32330 xfxfxFxe故 F x在R上单调递减，又因为 2fxfx ，所以函数 yfx关于1x 对称，因为11f ，所以 yf x关于点1,1对称，则点3,1 e关于1,1的对称点为1,1e也在函数 yf x图象上，则 11fe 答案第 6页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 故 3 2111111feFee ，而由不等式 321xf xe得 1F x 所以 1F xF，又 F x在R上单调递减，故1x 故选：C【点睛】关键
21、点点睛：本题的关键在于构造新函数通过对称性与单调性求解不等式7C【分析】依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.【详解】由22pqpqaq ap a，得2222pqpqaaap qpq，令2logntann，2logntann，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 A 正确；由pqqpapaqa，得pqpqaaapqpq，令logntann，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 B 正确；由p qqpapaqa，令1q ，得11ppapaa，212aa，312124aaaa，413137aaaa，令pq，得22ppapa，212aa，42148aaa，则1187aa，10a ，从而23
22、40aaa，与1nnaa矛盾，所以 C 错误；由11p qpqaa apq，得p qpqaaapqpq，令nnant，则当1t 时，数列 na满足题设，所以 D 正确.故选：C【点睛】思路点睛： 肯定命题， 构造符合题设数列， 注意类比常见函数的运算性质， 寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.8D答案第 7页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【分析】由条件分析数列 na的单调性，由此确定满足0nT 的最小正整数n.【详解】212021nnnaaa，212021nnnaaa，又112a ，数列 na为递增数列，12na 212021nnn
23、aaa2120212021+nnnaaa，12021(2021+)nnnaa a11202111=(2021+)2021+nnnnnaa aaa，1111=2021+nnnaaa，1111112021ninnaaa，20211202211122202111202120212iiaa，20221a202212023111222022120212021 1iiaa，20231a当2022n 时，10na，又12(1)(1)(1)nnTaaa当2022n 时，0nT ，当=2023n时，0nT 使0nT 成立的最小正整数n是 2023.故选：D.【点睛】答案第 8页，共 22页 外 装 订 线 请不
24、要在装订线内答题 内 装 订 线 本题主要考察累加法求数列的通项，一般的，若1( )nnaaf n，则112211()()-nnnnnaaaaaaaa（），即1( )(1)(2)naf nf nfa.9ABC【分析】A 利用导数研究单调性即可；B 将1n 、2n 代入求值，并比较1,44nngg的大小即可； C 利用奇偶性的定义判断奇偶性； D 应用导数研究函数分别在0,2、2x、3(,)24、3(, )4上是否存在( )0fx，进而确定(0, )上极值点的个数.【详解】由题意，sincos( )cossinxxfxexex，A：0,2上有( )0fx，则( )f x在0,2是增函数，正确；B
25、：当1n 时，22102222(1)()()04424eeeeegg，不合题意；当2n 时，22(1)()1.09394eg，22223)()0.6453(154eeg，则23()()44gg，符合题意；满足144nngg的正整数n的最小值是 2，正确；C：sin()cos()44( )()4xxg xf xee， 则sin()cos()44()xxgxee cos()sin()44( )xxeg xe，4fx是奇函数，正确；D：由 A 知：在0,2上( )0fx，无极值点，2x时，()102f 不是极值点；在(, )2上sin2cos2( )(cossin )(cossin)xxfxexxe
26、xx，1、3(,)24时，2cossin0 xx、2cossin0 xx，即( )0fx，( )fx单调递减，而()12f，222232()()042fee，03(,)24x使0()0fx.答案第 9页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 2、3(, )4时，|sin| |cos |xx，又cos0 x ，sin0 x ，sincosxx ，则sincos0 xx，又sincosxxee有sincos|cos |sin|xxx ex e，sincos( )cossin0 xxfxexex，故不存在零点.综上，(0, )上( )f x只有一个极值点，错误
27、；故选：ABC【点睛】关键点点睛：选项 D，将区间分拆不同子区间，应用导数研究函数在各区间上是否存在( )0fx，判断区间极值点的个数.10ACD【分析】由已知构造得( )+10 xxef，令 ( )+1xf xg xe，判断出函数 g x在0 x 时单调递增，由此得 4 3gg，化简可判断 A； 4 2gg，化简并利用( )f x是奇函数，可判断 B； 4 1gg，化简可判断 C；由 C 选项的分析得32(4)414+1fee，可判断 D.【详解】因为当0 x 时， ( )1fxf x，所以 ( ) 10fxf x ，即 ( )+10 xfxfex，所以( )+10 xxef，令 ( )+1
28、xf xg xe，则当0 x 时， 0gx，函数 g x单调递增，所以 4 3gg，即43(4)+1(3)+1ffee，化简得(4)(3)1(3)ffeeef，故 A 正确； 4 2gg，即42(4)+1(2)+1ffee，化简得222(4)(2)1(2)ffeeef，所以2(4)(2)eff ，又( )f x是奇函数，所以2( 4)( 2)eff，故 B 不正确； 4 1gg，即4(4)+1(1)+1ffee，又(1)3f，化简得3(4)41fe，故 C 正确；由 C 选项的分析得32(4)414+1fee，所以2(4)41fe ，又( )f x是奇函数，所以2( 4)41fe ，故 D 正
29、确,答案第 10页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.11AD【分析】根据已知条件，易得函数 yf x偶函数，再结合 cossin0fxxf xx，构造函数 cosf xg xx，只需判断函数 yg x的单调性，即可做出正确选择.【详解】由 cossin0fxxf xx，得 coscos0fxxf xx，令 cosf xg xx，0,2x，则 2coscoscosfxxf xxgxx，因 coscos0fxxf x
30、x，则 0gx，故 yg x在区间0,2上单调递增，因函数yfxa的图象关于直线xa对称，知函数 yf x偶函数，故函数 yg x也为偶函数.对于选项 A，因0632，则63gg，故336ff，因此 A 正确；对于选项 B，因0632 ，则63gg，故336ff，因此 B 错；对于选项 C，因0432 ，则43gg，故234ff，因此 C 错；对于选项 D，因042 ，则 04gg，故 204ff，因此 D 正确.故选：AD.答案第 11页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之
31、中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12BCD【分析】画出 fx的函数图象， 根据图象讨论244230tata的根的情况， 结合二次函数的性质可求解.【详解】当0 x 时， 33f xxx，则 23 33 11fxxxx，当, 1x 时， 0fx， fx
32、单调递减，当1,0 x 时， 0fx， fx单调递增，作出 fx的图象，如图所示，令 f xt，则244230tata，令 24423g ttata，由题意得方程 0g t 有两个不同的根：有两个不同的根1t，2t，且12, 1t ，21,0t ，则有 201000ggg，解得3726a .答案第 12页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 有两个不同的根1t，2t，且11t ，21,0t ，则有 11670g tga，则76a ，方程为26710tt ，得11t ，211,06t ，满足条件.有两个不同的根1t，2t，且10t ，21,0t ，因为 10230g
33、 tga，则32a ，方程为2302tt，得10t ，231,02t ，不符合题意，舍去.综上所述，实数37,26a .故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是画出函数图象，根据函数图象讨论方程244230tata的根的分布情况.13322213,2,322eeee【分析】令 g（x）（2x1）ex，h（x）a（x1） ，求出( )g x后画出 g（x） 、h（x）的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.【详解】令 g（x）xex，h（x）a（x1） ，( )(1)xxxg xxeexe，当1x 时，( )0g x，则函数 g（x）在（，1）上单调递减；当1x
34、 时，( )0g x，则函数 g（x）在（1，+）上单调递增；而21( 1), (0)0, ( 2)2gggee ；因为存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0即000(1)xx ea x答案第 13页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 当直线( )(1)h xa x与( )xg xxe相切时，设切点为( ,)xx xe，则()11xxxxxxxexeee，则152x，152x；因为15122，15102 所以结合图形知：011( 2)2aghgh 或 2233hghg即：120223aeaea 或23223aeae 解得22132aeea1 或 2e
35、2a332e；故答案为：322213,2,322eeee142 15【分析】设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用coscoseba=求得离心率，再利用平面几何知识求得24 3EFc得解【详解】答案第 14页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 如图，圆锥面与其内切球12,O O分别相切与,B A，连接12,O B O A，则12,O BAB O AAB，过1O作12O DO A于D，连接12,O F O E EF交12OO于点C，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在Rt12OO D中,23 12DO =- =,221822 15O D =-=11
36、22 1515cos84O DOO128OO,218COOC,2EO C 1FOC,11218OCOCEOO F解得12OC ,26O C 222211213CFOCFO,即13cos2CFOCb=, 所以椭圆离心率为cos2 5cos5cea在2EO C中223coscos2ECECOO C解得3 3EC ,4 32EFc2 32 5155aa22 15a故答案为：2 15答案第 15页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【点睛】利用coscoseba=求得离心率是解题关键.152118a505,【分析】根据题意，写出前 3 项，再归纳总结出nS与
37、n的关系式，并求nS的最小值，解不等式即可.【详解】第一块纸板面积为2211222Saa第二块纸板面积为222213222Saaa第三块纸板面积为222331112228aSaaL由此归纳总结，第n块纸板面积为23121222111111121224444444nnnSaaaLL答案第 16页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 1122211144211222133414nnaaa因为243naS，故要使得*nN ，20203nS恒成立只需24202033a，可解的2505a ，故505,a.故答案为：2118a，505,.【点睛】易错点睛：本题考查归纳推理，等
38、比数列求和，以及解不等式，需要注意的是要理解本题的意义，从而避免出错，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于较难题.16 （1）分布列见解析；期望为32132； （2）516；答案见解析【分析】（1）根据题中规则：规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时， 取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分可得随机变量X的取值为 9，9.5，10，10.5
39、，11，利用表格中的概率值，求出各种情况下的概率，即可得到分布列，以及数学期望；（2）事件A发生的次数16,2YB，“233aa”相当于事件A恰好发生 3 次，那么就可以求出其概率；分别求出乙，丙同学的均值，比较大小即可.【详解】（1）根据题意，随机变量X的取值为 9，9.5，10，10.5，11设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x，y，z，(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P XP xyP xyzP xyz1 11 1 1324 44 4 432，1 11 11(9.5)(9,10)(10,9)4 24 24P XP xyP xy，11010,10,10.510,1111,10
40、4P XP xyP XP xyP xy答案第 17页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 1 11 1 15(11,9,10)(9,24 44 4 41611,10)P xyzP xyz，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P XP xyP xyzP xyz1 11 1 1324 44 4 432，故X的分布列为X99.51010.511P332141451633231153321()99.51010.5113244163232E X （2）方法一事件“233aa”可分为20a ，33a ；21a ，32a ；22a ，31a ；
41、23a ，30a 四种情况，其概率为232323230,31,22,13,0P aaP aaP aaP aa333333333211236646561111111154242424216CC CC CC 方法二记“9.5X 或10X ”为事件A， 6 次实验中， 事件A发生的次数16,2YB， “233aa”相当于事件A恰好发生 3 次，故概率为：33323611532216P aaC 由题意可知：乙同学得分的均值为32119266 ()63232E X ，丙同学得分的均值为：32120494 1263232显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答
42、，尽量避免“B类解答”的出现17 （1）(, 32,) ； （2）4,).【分析】（1）求得 fx，对a分成0a 和0a 两种情况进行分类讨论，结合 fx的单调性求得a的取值范围.答案第 18页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 （2）首先证得 124f xf x，然后利用反证法求得 12f xf x的取值范围.【详解】由 32324f xaxaxa可得： 23632fxaxaxax x（1）由已知可得0a ，当0a 时，令 0fx 得202xx，. fx与 fx在区间 ，上的情况如下：x0，00 2，22 ， fx0- -0 fx增极大值减极小值增因为 fx在
43、3aa，上具有单调性，所以2a .当0a 时， fx与 fx在区间 ，上的情况如下：x0，00 2，22 ， fx- -00- - fx减极小值增极大值减因为 fx在3aa，上具有单调性，所以30a，即3a .综上所述，a 的取值范围是 32 ，U.（2）先证明：12()4(f xf x.由（1）知，当0a 时， fx的递增区间是 02， ， ，递减区间是0 2，.因为122xx，不妨设12xx，则21x.若10 x ，则2122xx.所以12112444f xf xf xfxa.若1 0 x，因为21x，所以 12224f xf xff，当且仅当122xx时取等号.综上所述， 124f xf
44、 x.答案第 19页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 再证明： 12f xf x的取值范围是4 ，.假设存在常数4m m，使得对任意 12122xxf xf xm，.取12x ，且242mxa则 322222222222223242(2)(2)2(2)4ff xaxaxaax xa xa xm，与12f xf xm矛盾.所以 12f xf x的取值范围是4 ，.【点睛】利用反证法进行证明时，先假设原命题不成立，然后退出矛盾，从而证得原命题成立.18 （1）证明见解析； （2）证明见解析.【分析】（1）通过构造函数和二次求导可证得,4 3x 时，总有
45、( )0fx；（2）分1x和01x两种情况证明. 当1x时，易证( )0f x ；当01x时，仿（1）可证得( )0fx，即( )f x单调递增，进而可证得( )0f x .【详解】证明： （1）因为11( )2sincosxxf xexex，所以1111( )2coscossin2cossincosxxxxfxexexexexxx，令1( )2cossincosxg xexxx，则111( )2cossinsincossin22sinsinxxxg xexxexxxexx在,4 3x 上显然( )0g x，所以( )g x在,4 3x 上单调递增，4114422222( )222422222
46、1252107 220,2.827214eg xgeee即,4 3x 时，总有( )0fx，故( )fx在,4 3 上没有零点；答案第 20页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 （2）当1x时，1111( )2sincossin1 cos0 xxxxf xexexexex，当0,1x时，由（1）可知，1( )22sinsin0 xg xexx1( )2cossincosxg xexxx在0,1x上单调递增，3( )(0)10g xge ，即(0,1)x时，总有( )0fx，所以( )f x在0,1上单调递增，111( )(0)230f xfeee.综上所述，0,
47、x，( )0f x .【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分1x和01x两种情况证明( )0f x .19(1)2,13(1),2nnbn nn；(2)最大值项为23，最小值项为625.【分析】(1)首先根据已知条件求出12111nbbb，然后再根据12112111111111nnnnbbbbbbbb求解，并对1n 进行讨论，即可求解.(2)首先求出2nnab的通项公式，利用单调性即可求出最大值的项和最小值的项.【详解】(1)12111nnnabbb，12111nnnbbba.当1n 时，11 122 13a，1111ba，1123ba；当2n时，1211211111111111nnnn
48、nnnnbbbbbbbbaa212121211(1)(1)(1)1(1)nnnnnnn nnnnnn n，(1)nbn n，显然当1n 时，(1)nbn n不成立.答案第 21页，共 22页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 综上，2,13(1),2nnbn nn.(2)当1n 时，21123ab，当2n时，22222211(1)1(1)114421(1)(21)4414 4 441nnnnan nn nbnn nnnnnn.2( )441f nnn在2n时为增函数，必有2441 25nn .由21101004 441nn，可知2111644254 441nn.
49、2134，数列2nnab的最大值项为21123ab，最小值项为222625ab.20 （1）单调递增区间为R，无单调递减区间； （2）(0,2).【分析】（1）当2a 时，求出( )fx及( )fx的最小值可判断 fx的单调性；（2）求出( )fx，分0a 、2a 和02a讨论，对于02a再构造函数利用单调性进行求解.【详解】（1）当2a 时，2( )22(1)xf xexx，令( )( )21xg xfxex，( )21xg xe，令( )0g x，解得0 x ，令( )0g x，解得0 x ，所以( )g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以( )( )(0)0fxg xg，
50、所以( )f x的单调递增区间为R，无单调递减区间（2）若( )f x有两个极值点，即( )22xf xaex有两个变号零点令( )( )22xh xf xaex，（）当0a 时，( )22xh xaex在R上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；（）当2a 时，( )22210 xxh xaexex，最多只有一个零点，不合题意（）当02a时，令( )20 xh xae，得2lnxa；答案第 22页，共 22页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 当2,lnxa ，( )0h x，当2ln,xa，( )0h x；所以( )h x在2,lna单调递减，在2ln,a单调递增，则2
