第七章 平行线的证明-5 三角形内角和定理-三角形内角和定理的证明-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版八年级上册数学(编号：12a83).zip

第五章三角形内角和定三角形的内角和跟踪测试题 三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于_180_类型之一利用三角形内角和进行角度的计算例 1：(1)在ABC 中，若A80，BC，则B_50_；(2)在ABC 中，若C90，A30，则B_60_；(3)在ABC 中，若AC35，BA20，则B_85_【解析】 三角形的三个内角的和等于 180，所以，本题有一个隐含条件，即ABC180，所以(1)中只需把A80，BC 代入上式即可求B.(2)可使用ABC180，直接代入C90，A30，求出B.(3)把已知的式子变形，由BA20，得BA20，又CA35，代入ABC180，即可求出A，再将A 代入求B.【点悟】 有关三角形的角度计算问题，有两种类型：一是直接利用三角形的内角和为 180，二是设某一角为 x(或将某一个角视为未知数)，其余的角用x 的代数式表示，从而根据题意列方程求角类型之二 利用三角形内角和判断三角形的形状例 2：一个三角形三个内角的度数之比为 237，这个三角形一定是(D)A任意三角形B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形【解析】 已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型设三角形的三个角分别为2x，3x，7x，由三角形内角和定理得 2x3x7x180，解得 x15，所以最大角为 715105.【点悟】 三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形1在ABC 中，A20，B60，则ABC 的形状是(D)A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形12014黄石如图 413，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中12 的度数是 (C)图 413A. 30 B60 C90 D1202ABC 中，A B C，则ABC 是 (C)1315A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定【解析】 设Ax，则B3x，C5x.根据题意得 x3x5x180，所以 x20，所以C520100，故选 C.3如图 414 所示，ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，A30，COD105，则D 的大小是 (B)A30 B45 C65 D75【解析】 首先根据两直线平行，内错角相等得出CA30，然后由COD 的内角和为 180，求出D 的大小ABCD，CA30.在COD 中，CCODD180，D1803010545.故选 B. 图 414 图 4154如图 415 所示，ABC 的形状是 (C)A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形【解析】 因为 23180，解得 30，所以 260，390，所以这个三角形是直角三角形，故选 C.52015肥城市一模将一副三角板按图 416 中的方式叠放，则 等于(A)A75 B60 C45 D30图 416【解析】 CBA60，BCD45，180604575.62015 春东台市月考在ABC 中，AB150，C3A，则A_10_【解析】 ABC180，AB150，C30，C3A，A10.7在ABC 中，三个内角A，B，C 满足BACB，则B_60_度8如图 417，ABCD，ACBC，BAC65，则BCD_25_图 417【解析】 根据三角形内角和定理得ABC25，又ABCD，ABCBCD25.9如图 418，ABC 中，A60，BC15.求B 的度数解： BC15，设Bx，C5x，x5x60180，解得 x20，B20. 10如图 419，在 RtABC 中，C90，B3A，求B 的度数【解析】 根据直角三角形两锐角互余求解解： C90，AB90.B3A，A3A90，A22.5，B67.5.11如图 4110，已知点 D 是ABC 的 BC 边上图 418图 419图 4110一点，B43且2BAC，求1 的度数【解析】 利用三角形内角和定理计算解： C180(BBAC)，又C180(12)，BBAC12.又2BAC，B1，143.12.如图 4114，在ABC 中，ABC80，ACB50，BP 平分ABC，CP 平分ACB，求BPC 的度数图 4114解： 在ABC 中，ABC80，BP 平分ABC，CBP ABC40.12ACB50，CP 平分ACB，BCP ACB25.12在BCP 中，BPC180(CBPBCP)115三角形内角和与平行线的综合应用三角形内角和与平行线的综合应用如图 1，在ABC 中，A62，B74，CD 是ACB 的角平分线，点 E 在 AC 上，且 DEBC，求EDC 的度数图 1解： A62，B74，ACB180AB180(6274)44.CD 是ACB 的角平分线，BCD ACB 4422.1212DEBC，EDCBCD22.【思想方法】平行线可以实现同位角、内错角、同旁内角之间的转换，从而与三角形内角和定理结合使用2015广陵区一模如图 2，直线 ab，EFCD 于点 F，225，则1 的度数是(D)A155B135C125 D115【解析】 EFCD，EFD90，225，CDE180902565，直线 ab，1CDE180，1115.图 2如图 3，ABCD，AD 平分BAC，若BAD70，那么ACD 的度数为(A)图 3A40 B35C50 D45如图 4，ABCD，CED90，AEC35，则D 的大小为(B)A65 B55C45 D35图 4如图 5，BD 平分ABC，CDAB，若BCD70，则ABD 的度数为(A)图 5A55 B50C45 D40如图 6，ABCD，ABE60，D50，则E 的度数为(C)A30 B20C10 D40图 62015十堰一模如图 7，ABCD，C32，E48，则B 的度数为(D)图 7A120 B128C110 D100【解析】 C32，E48，CDE100，ABCD，BCDE100.如图 8，在ABC 中，A90，点 D 在 AC 边上，DEBC，若1155，则B 的度数为_65_图 8如图 9，点 B，C，E，F 在一直线上，ABDC，DEGF，BF72，则D_36_度图 9如图 10，已知 ABCD，C25，E30，则A_55_图 10如图 11，在ABC 中，A60，B70，ACB 的平分线交 AB于 D，DEBC 交 AC 于 E，求BDC、EDC 的度数图 11解： A60，B70，ACB180607050，CD 平分ACB，BCD ACB 5025，1212BDC180702585，DEBC，EDCBCD25.将一副直角三角尺如图 12 放置，已知 AEBC，求AFD 的度数图 12解： 由三角板的性质可知EAD45，C30，BACADE90.AEBC，EACC30，DAFEADEAC453015.AFD180ADEDAF180901575.如图 13，ABCD，AP 平分CAB，CP 平分ACD.求证：APPC.图 13证明： AP 平分CAB，CP 平分ACD，PACPAB，PCAPCD，PACPCA (CABACD)，12ABCD，CABACD180，PACPCA90，ACP 中，PACPCAP180，P90，APPC.如图 14，A 处在 C 处的北偏西 30方向，B 处在 C 处的北偏东 45方向，A 处在 B 处的北偏西 70方向，求BAC.图 14解： BECF，EBCBCF180，即EBAABCBCF180，EBA70，BCF45，ABC180EBABCF65，ACF30，ACBACFFCB75，BAC180ABCACB40.答：BAC 的度数是 40.(1)如图 15(1)，ABCD，点 P 在 AB、CD 外部，若B40，D15，求BPD；(2)如图(2)，ABCD，点 P 在 AB，CD 内部，则B，BPD，D 之间有何数量关系？证明你的结论；(3)在图(2)中，将直线 AB 绕点 B 按逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点M，如图(3)，若BPD90，BMD40，求BD 的度数图 15解： (1)ABCD，B40，BODB40，PBODD401525.(2)BPDBD.证明：过点 P 作 PEAB，ABCD，ABPECD，BPEB，DPED，BPDBPEDPEBD.(3)延长 BP 交 CD 于点 E，PEDBMDB，BPDPEDD，BPDBMDBD，BPD90，BMD40，BDBPDBMD904050.创设情境激发情趣：创设情境激发情趣：内角三兄弟之争内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：来，它指着老大说：“你凭什么度数最你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大，我也要和你一样大！”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，我们这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了这个家就再也围不起了”“为什么呢为什么呢？” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？定理：三角形的内角和等于定理：三角形的内角和等于180三角形内角和定理三角形内角和定理ABC演示下一页123 将各角沿着一边所在的直线折叠将各角沿着一边所在的直线折叠验证：三角形的三个内角的和是验证：三角形的三个内角的和是180180验证：三角形的三个内角的和是验证：三角形的三个内角的和是180180图1图2 图3ABCCBAABBCC BAB想一想想一想平角平角的的度度数数是是180两直线平行，同旁内角两直线平行，同旁内角的的和是和是180从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?3. 邻补角邻补角的的和是和是180 问题：问题：有什么方法可以得到有什么方法可以得到180结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.证明：证明：过点过点A作直线作直线EFBC则则B=2（两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等） C=1（两直线平行两直线平行, ,内错角相等）内错角相等）2+1+BAC=1800（平角定义平角定义） B+C+BAC=1800（等量代换等量代换）已知：已知：ABCABCEF求证：求证：A +B +C =180E F这里的EF称为辅助线,辅助线通常画成虚线.结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.B+BAC +C =180（等量代换（等量代换）已知：已知：ABC.求证：求证：A +B +C =180 ABCL证明：证明：过点过点A作作AEBC则则B=1( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) )即即1+BAC+C=180 EAC+C=180 ( (两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补) )证明证明:延长延长BC到点到点D,过点过点C作作CEAB,则则 1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等), 2= B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等). 又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义), A+B+ACBACB=1800 (等量代换等量代换).ABCE213D结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.ABCL 为了证明三角形三个内角的和为为了证明三角形三个内角的和为180,180,通通常应用常应用转化思想转化思想. .转化为：转化为：平角或平角或两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补思路总结思路总结思路总结思路总结你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?填空填空（1 1）在）在ABCABC中中,A=35,A=35, B=43B=43，则则 C=C= . . （2 2）在）在ABCABC中中,C=90,B=50,C=90,B=50,则则A A = = 。（3 3）在）在ABCABC中中, , A=40,A=40,A=2BA=2B，则则C C = = 。10204001200你真棒！你真棒！ 小小试牛刀试牛刀我是最棒的三角形内角和定理ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800几种变形： A=A=1800 (B+C).(B+C). B=B=1800 (A+C).(A+C). C=C=1800 (A+B).(A+B). A+B=A+B=1800-C.C. B+C=B+C=1800-A.A. A+C=A+C=1800-B.B. 几种变形几种变形ABC 如图，在如图，在ABC中，中，B=38B=380 ，C=62C=620 ADAD平分平分ABC，求，求ADBADB的度数的度数我是最棒的1.直角直角三角形三角形的的两锐角之和两锐角之和是多少度是多少度?等边等边三角形三角形的一个内角是多少度的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论. 随随堂堂练习练习ABCABC结结论论: : 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余 等边三角形每个内角都等于等边三角形每个内角都等于60602.2.已知：三角形三个内角的度数之比为已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:51:3:5，求这，求这三个内角的度数三个内角的度数. . 解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x x、3x3x、5x5xx+3x+5x=180 x+3x+5x=180解得解得x=20 x=20所以三个内角度数分别为所以三个内角度数分别为 20,60,100.20,60,100.由三角形内角和为由三角形内角和为180得得 随随堂堂练习练习我是最棒的3.已知已知:如图如图,在在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.求证：求证： ADE=ADE=500 随随堂堂练习练习DCBAE1.如图，求如图，求 A1+ A2+ A3+ A4+ A5的度数的度数 提高题提高题A2A1A5A3A42.如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：ABCD（用两种方法证明）DFNMBAC 提高题提高题ABCEFO3.如图，已知如图，已知ABCABC中，中， B B 和和C C的平分线的平分线BEBE，CFCF交点交点O.O.求证：求证： BOCBOC =90+=90+ 提高题提高题 联系拓广联系拓广试一试证法四：如图，过点证法四：如图，过点A A任作一条射线任作一条射线ADAD，再作，再作BEBEADAD，CFCFADADBEBEADADCFCF，1=3，2=4， EBCEBC+BCFBCF=180=180BACBAC+ABCABC+ACBACB=EBEBC C+BCFBCF=180=180根据下面的图形根据下面的图形,写出写出三角形内角和定理三角形内角和定理的证明过程的证明过程根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明过程写出相应的证明过程 联系拓广联系拓广(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM试一试用运动变化的观点理解和认识数学 在在ABC中中,如果如果BC不动不动,把点把点A“压压”向向BC,那么当点那么当点A越来越接近越来越接近BC时时, AA就越来越大就越来越大( (越来越接近越来越接近181800),而而B B和和 C,C,越来越小越来越小( (越来越接近越来越接近00).由此你由此你能想到什么能想到什么? 如果如果BC不动不动,把点把点A“拉离拉离”BC,那么当那么当A越来越远离越来越远离BC时时,AA就越来越小就越来越小( (越来越接近越来越接近00),),而而B B和和C C则越来越大则越来越大, ,它们的和越来越接近它们的和越来越接近1800, 当把点当把点A A拉到无穷远时拉到无穷远时, ,便有便有ABABAC,AC,BB和和C C成为同旁内角成为同旁内角, ,它们的和等于它们的和等于181800.由此你能想到什么由此你能想到什么? 读一读读一读CBACBA1.三角形内角和的定理：三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等三角形三个内角的和等180180 3.三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过过平行线来移动角平行线来移动角 小结小结2.通过思考、探究、总结三角形内角和定理，发现要证通过思考、探究、总结三角形内角和定理，发现要证明三角形内角和等于明三角形内角和等于180 需转化为：需转化为： 平角或两直线平行同旁内角和等于平角或两直线平行同旁内角和等于180180 作业1.课本课本P180：知识技能：知识技能 数学理解数学理解2，3，4结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 由“因”导“果”,执“果”索“因”.是探索证明思路的基本方法.下课了! 1第七章第七章 平行线的证明平行线的证明5 5三角形内角和定理三角形内角和定理（第（第 1 1 课时）课时）一、教材的地位与作用一、教材的地位与作用本节课是北师大版八年级上册第七章第五节的内容，是在学生学习了平角、互余角、平行线、平行线的性质和判定等基础上，进一步学习三角形内角和定理，为下节课学习三角形外角及今后学习圆内圆心角与圆周角关系的证明打下良好基础，具有承上启下的作用.2、教材内容分析教材内容分析 三角形内角和定理的证明在 整个知识系统中的地位和作用是很重要的.本节课首先让学生了解了作为证明基础的几条公理和定理内 容，然后让学生在已准备的三角形中利用平角定义进行探索，进一步体会证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式，将抽象的证明和直观的探索联系起来，担负着训练学生学会分析证明思路任务，在培养学生逻辑推理能力方面有着非常重要的作用.3、教学目标分析教学目标分析知识与技能：知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及简单应用.过程与方法：过程与方法：通过对三角形内角和定理的探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用.情感态情感态度与价值观：度与价值观：通过一题多解，一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展及解决问题的成就感，培养学生的创造性.四、教学重、难点分析四、教学重、难点分析教学重点：教学重点：理解三角形内角和定理及其简单的应用.教学难点：教学难点：三角形内角和定理的证明及辅助线的添加2五、学情分析五、学情分析 经过第六章第三节和第四节的学习，学生已认识了平行线、平行线的性质和判定，具有一定的证明能力.由于初中生模仿能力强，思维往往依赖直观具体的形象.因此，根据本节课特点，结合教法与学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，采用实验探究、交流讨论、归纳应用的方法进行学习，让学生自动参与教学活动，引导学生用实验法，观察法得出“三角形三个内角和等于 180 度这个定理”.通过引导学生探究、讨论、启发作出辅助线，通过推理、证明得出三角形内角和定理.培养学生的参与能力，主动性和创造性.六、教法分析六、教法分析1、启发性教学法：启发学生作出合理的辅助线，2、探究式教学法：和学生一起探索三角形内角和定理的证明过程.从而突破这节课的难点，体现这节课的重点.来二源:学*科*网来源:Zxxk.Com来源:学_科_网来源:Zxxk.Com七、教学过程七、教学过程本节课的设计分为十个环节：情境引入温故旧知探索新知联系拓广定理变形题例讲解反馈练习拔高训练课堂小结布置作业第一环节：创设情境，引入课题第一环节：创设情境，引入课题 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大，我也要和你一样大！” “不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了我们这个家就再也围不起了” “为什么？为什么？” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？ 内角三兄弟之争内角三兄弟之争3第二环节：动手实践，温故旧知第二环节：动手实践，温故旧知活动内容：活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理 实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图 638（1） ）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2） 、 （3） ） ，最后得图（4）所示的结果（1） （2） （3） （4）试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？实验 2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。4 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的：活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明第三环节：探索新知第三环节：探索新知活动内容活动内容： 用严谨的证明来论证三角形内角和定理 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：如图（1）过 A 点作 DEBC DEBCDAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）DAB+BAC+EAC=180BAC+B+C=180(等量代换)方法二：如图（2）作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CEBAABCDEABCED5 CEBAB=ECD（两直线平行，同位角相等）A=ACE（两直线平行，内错角相等）BCA+ACE+ECD=180A+B+ACB=180(等量代换)方法三：（如图 3） 过点 A 作 ADBC ADBC， 1=C（两直线平行，内错角相等）DAB+ABC=180（两直线平行，同旁内角互补） BAC+B+C=DAB+ABC=180(等量代换)活动目的：活动目的： 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。第四环节：变形第四环节：变形ABC 中中,A+B+C=180几种变形：几种变形：A=1800 (B+C).B=1800 (A+C).C=1800 (A+B).A+B=1800-C.B+C=1800-A. A+C=1800-B.ABC6活动目的：让学生灵活应用三角形内角和定理活动目的：让学生灵活应用三角形内角和定理第五环节：例题讲解第五环节：例题讲解例题：如图，在例题：如图，在ABC 中，中，B=38，C=62 ，AD 是是ABC 的角平的角平分线，求分线，求ADB 的度数的度数.活动目的：让学生体会应用三角形内角和定理解决简单的问题过程，规范解活动目的：让学生体会应用三角形内角和定理解决简单的问题过程，规范解题。题。第六环节：随堂练习第六环节：随堂练习1.已知已知:如图如图,在在ABC 中，中，DEBC,A=60, C=70.求证：求证： ADE=50活动目的活动目的： 通过学生的反馈练习，全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理第七环节：提高练习第七环节：提高练习1.如图，求如图，求A1+A2+A3+A4+A5 的度数的度数A2A1A5A3A472.如图，已知如图，已知ABC 中，中， B 和和C 的平分线的平分线 BE，CF 交点交点 O.求证：求证： BOC=90+A21活动目的：让学生在不同层次上发展，以此提高学生分析问题，解决问题的能力，并突破重点. 第九环节：课堂小结第九环节：课堂小结活动内容：活动内容： 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 辅助线的作法技巧. 三角形内角和定理的简单应用.活动目的：活动目的： 复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度第十环节：布置作业第十环节：布置作业1.根据图形写出三角形内角和定理的证明过程ABE8板书设计7.5 三角形内角和定理 一、三角形内角和定理在ABC 中，A+B+C=180 二、三角形内角和定理证明 三、例题