1、专题八专题八解析几何解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题81直角坐标系直角坐标系【知识要点】【知识要点】1数轴上的基本公式设数轴的原点为 O，A，B 为数轴上任意两点，OBx2，OAx1，称 x2x1叫做向量AB的坐标或数量，即数量 ABx2x1；数轴上两点 A，B 的距离公式
2、是d(A，B)|AB|x2x1|2平面直角坐标系中的基本公式设 A，B 为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点之间的距离公式是.)()(|),.(212212yyxxABBAdA，B 两点的中点 M(x，y)的坐标公式是2,22121yyyxxx3空间直角坐标系在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B 两点之间的距离公式是.)()()(|),(212212212zzyyxxABBAd【复习要求】【复习要求】1掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问
3、题2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式【例题分析】【例题分析】例例 1解下列方程或不等式：(1)x31；(2)|x34；(3)1|x34略解：(1)设直线坐标系上点 A，B 的坐标分别为 x，3，则x31 表示点 A 到点 B 的距离等于 1，如图 811 所示，图 811所以，原方程的解为 x4 或 x2(2)与(1)类似，如图 812，图 812则x34 表示直线坐标系上点 A 到点 B 的距离小于或等于 4，所以，原不等式的解集为x1x7(3)与(2)类似，解不等式 1x3，得解集x|x4，或 x2 ，将此与不等式|x34 的解集x|1x7取交集，
4、得不等式 1|x34 的解集为x1x2，或 4x7 【评析【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数 x 的次数和系数都为 1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式xa的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点 A(x)到点B(a)的距离例例 2已知矩形 ABCD 及同一平面上一点 P，求证：PA2PC2PB2PD2解：解：如图 813，以点 A 为原点，以 AB 为 x 轴，向右为正方向，以 AD 为 y 轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系图 813设 ABa，ADb，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设 P(x，y)，则22222222)()()(by
5、axyxPCPAx2y2(xa)2(yb)2，22222222)()(byxyaxPDPBx2y2(xa)2(yb)2，所以 PA2PC2PB2PD2【评析】【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便例例 3已知空间直角坐标系中有两点 A(1，2，1)，B(2，0，2)(1)求 A，B 两点的距离；(2)在 x 轴上求一点 P，使PA|PB|；(3)设 M 为 xOy 平面内的一点，若|MAMB，求 M 点的轨迹方程解：解：(1)由两点间的距离公式，得.14
6、)21()02()21 (|222AB(2)设 P(a，0，0)为 x 轴上任一点，由题意得222) 10()20() 1(a40)2(2a，即 a22a6a24a8，解得 a1，所以 P(1，0，0)(3)设 M(x，y，0)，则有,4)0()2() 10()2() 1(22222yxyx整理可得 x2y10所以，M 点的轨迹方程为 x2y10【评析】【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用练习练习 81一、选择题一、选择题1数轴上三点 A，B，C 的坐标分别为 3，1，5，则 ACCB 等于()A4B4C12D122若数轴上有两点 A(x)，B(x2)(其中 xR)，则
7、向量AB的数量的最小值为()A21B0C41D413在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于 yOz 平面的对称点是()A(1，2，3)B(1，2，3)C(1，2，3)D(1，2，3)4已知平面直角坐标内有三点 A(2，5)，B(1，4)，P(x，y)，且AP|BP|，则实数 x，y满足的方程为()Ax3y20Bx3y20Cx3y20Dx3y20二、填空题5方程x23 的解是_；不等式x32 的解为_6点 A(2，3)关于点 B(4，1)的对称点为_7方程x2x34 的解为_8如图 814，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|DA|3，|DC4，|DD1|2，A1C 的中点为M，则点 B1
8、的坐标是_，点 M 的坐标是_，M 关于点 B1的对称点为_图 814三、解答题三、解答题9求证：平行四边形 ABCD 满足 AB2BC2CD2DA2AC2BD210求证：以 A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形11在平面直角坐标系中，设 A(1，3)，B(4，5)，点 P 在 x 轴上，求|PA|PB的最小值82直线的方程直线的方程【知识要点】【知识要点】1直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线2直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直
9、线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角并规定，与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角因此，倾斜角的取值范围是 0180我们把直线 ykxb 中的系数 k 叫做这条直线的斜率设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线 ykxb 上任意两点，其中 x1x2，则斜率1212xxyyk倾斜角为 90的直线的斜率不存在，倾斜角为的直线的斜率 ktan(90)3直线方程的几种形式点斜式：yy1k(xx1)；斜截式：ykxb；两点式：);,(2121121121yyxxxxxxyyyy 一般式：AxByC0(A2B20)4两条直线相交、平行与重合的条件设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB
10、2yC20，则(1)l1与 l2相交A1B2A2B10 或)0(222121 BABBAA(2)l1与 l2平行 ).0(; 00, 0222212121211221211221CBACCBBAACACABCCBBABA或或而(3)l1与 l2重合 ).0();0(,222212121222111CBACCBBAACCBBAA或当直线 l1与 l2的斜率存在时，设斜率分别为 k1，k2，截距分别为 b1，b2，则l1与 l2相交k1k2；l1l2k1k2，b1b2；l1与 l2重合k1k2，b1b25两条直线垂直的条件设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1
11、A2B1B20当直线 l1与 l2的斜率存在时，设斜率分别为 k1，k2，则 l1l2k1k216点到直线的距离点 P(x1，y1)到直线 l：AxByC0 的距离 d 的计算公式2211|BACByAxd【复习要求】【复习要求】1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系2掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【例题分析】【例题分析】例例 1(1)直线082yx的斜率是_，倾斜角为
12、_；(2)设 A(2，3)，B(3，2)，C(1，1)，过点 C 且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交，则斜率 k 的取值范围为_略解略解：(1)直线082yx可以化简为，22822xy所以此直线的斜率为22，倾斜角;22tanarc(2)如图 821，设直线 AC 的倾斜角为，图 821因为此直线的斜率为341213ACk，所以;34tan设直线 BC 的倾斜角为，因为此直线的斜率为,231312BCk所以23tan因为直线 l 与线段 AB 相交，所以直线 l 的倾斜角满足，由正切函数图象，得 tantan或 tantan，故 l 斜率 k 的取值范围为23,34k【评析】(1)求
13、直线的斜率常用方法有三种：已知直线的倾斜角，当90时，ktan；已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当 x1x2时，k1212xxyy；已知直线的方程 AxByC0，当 B0 时，kBA(2)已知直线的斜率 k 求倾斜角时， 要注意当 k0 时，arctank； 当 k0 时，arctan|k|例例 2根据下列条件求直线方程：(1)过点 A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点 P(2，1)，且点 Q(1，2)到直线的距离为 1解：(1)设所求直线方程为 y3k(x2)，或 x2(舍)，令 y0，得 x2k3(k0)；令 x0，得 y32k，由题意，得 2k332k，解
14、得 k23或 k1，所以，所求直线方程为 3x2y0 或 xy50；(2)设所求直线方程为 y1k(x2)或 x2，当直线为 y1k(x2)，即 kxy(2k1)0 时，由点 Q(1，2)到直线的距离为 1，得1| 122|2kkk1，解得34k，所以，直线03534yx，即 4x3y50 符合题意；当直线为 x2 时，检验知其符合题意所以，所求直线方程为 4x3y50 或 x2【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件特别地，在解题过程中要注意“无斜率” ， “零截距”的情况例例 3已知直线 l1：(m2)x(m2)y10，l2：(m24)xmy30，
15、(1)若 l1l2，求实数 m 的值；(2)若 l1l2，求实数 m 的值解法一：解法一：(1)因为 l1l2，所以(m2)(m)(m2)(m24)，解得 m2 或 m1 或 m4，验证知两直线不重合，所以 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2；(2)因为 l1l2，所以(m2)(m24)(m)(m2)0，解得 m2 或 m1 或 m4解法二：解法二：当 l1斜率不存在，即 m2 时，代入直线方程，知 l1l2；当 l2斜率不存在，即 m0 时，代入直线方程，知 l1与 l2既不平行又不垂直；当 l1，l2斜率存在，即 m0，m2 时，可求 l1，l2，如的斜率分别为 k122mm，k2mm
16、42，截距 b121m，b2m3，若 l1l2，由 k1k2，b1b2，解得 m2 或 m1 或 m4，若 l1l2，由 k1k21，解得 m1 或 m4综上，(1)当 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2；(2)当 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2【评析【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用例例 4已知直线 l 过两直线 l1：3xy10 与 l2：xy30 的交点，且点 A(3，3)和 B(5，2)到 l 的距离相等，求直线 l 的方程【分析【分析】所求
17、直线 l 有两种情况：一是 l 与 AB 平行；二是点 A，B 在 l 的两侧，此时 l 过线段AB 的中点解：解：解方程组03013yxyx得交点(1，2)，由题意，当l 与 AB 平行；或l 过 A，B 的中点时可以使得点 A，B 到 l 的距离相等当 lAB 时，因为215323ABk，此时) 1(212:xyl，即 x2y50；当 l 过 AB 的中点时，因为 AB 的中点坐标为),25, 4(M所以,1412252:xyl即 l：x6y110综上，所求的直线 l 的方程为 x2y50 或 l：x6y110例例 5已知直线 l1：ykx2k 与 l2：xy5 的交点在第一象限，求实数
18、k 的取值范围解法一：解法一：解方程组52yxkkxy，得交点),1255 ,125(kkkk由题意，得012550125kkkk，解得250k解法二：解法二：如图 822，由 l1：yk(x2)，知 l1过定点 P(2，0)，图 822由 l2：xy5，知 l2坐标轴相交于点 A(0，5)，B(5，0)，因为, 0,252005BPAPkk由题意，得250k【评析】【评析】在例 4，例 5 中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想例例 6如图 823，过点 P(4，4)的直线 l 与直线 l1：y4x 相
19、交于点 A(在第一象限)，与 x轴正半轴相交于点 B，求ABO 面积的最小值图 823解：解：设 B(a，0)，则),4(4044:xayl将 y4x 代入直线 l 的方程，得点 A 的坐标为),3)(34,3(aaaaa则ABO 的面积,121)611(3234212aaaaS所以当 a6 时，ABO 的面积 S 取到最小值 24练习练习 82一、选择题一、选择题1若直线 l 的倾斜角的正弦为53，则 l 的斜率 k 是()A43B43C43或43D34或342点 P(ab，ab)在第二象限内，则 bxayab0 直线不经过的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3 “21m”是
20、“直线(m2)x3my10 与直线(m2)x(m2)y30 相互垂直”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4 若直线3: kxyl与直线 2x3y60 的交点位于第一象限， 则 l 的倾角的取值范围()A)3,6B)2,3(C)2,6(D2,6二、填空题二、填空题5已知两条直线 l1：ax3y30，l2：4x6y10，若 l1l2，则 a_6已知点 A(3，0)，B(0，4)，则过点 B 且与 A 的距离为 3 的直线方程为_7若点 P(3，4)，Q(a，b)关于直线 xy10 对称，则 a2b_8若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(a
21、b0)共线，则ba11的值等于_三、解答题三、解答题9已知点 P 在直线 2x3y20 上，点 A(1，3)，B(1，5)(1)求PA的最小值；(2)若|PA|PB|，求点 P 坐标10 若直线 l 夹在两条直线 l1： x3y100 与 l2： 2xy80 之间的线段恰好被点 P(0， 1)平分，求直线 l 的方程11已知点 P 到两个定点 M(1，0)、N(1，0)距离的比为2，点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线 PN 的方程83简单的线性规划问题简单的线性规划问题【知识要点】【知识要点】1二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地， 二元一次不等式 AxByC0 在平面区域中
22、表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式 AxByC0 所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分(3)可在直线 AxByC0 的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从 Ax0By0C 的正(或负)来判断 AxByC0(或 AxByC0)所表示的区域当 C0 时，常把原点(0，0)作为特殊点(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：ykxb 表示直线上方的半平面区域；ykxb 表示直线下方的半平面区域当 B0 时，AxByC0 表示直线上方区域，Ax
23、ByC0 表示直线下方区域2简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于 x，y 的要求最大值或最小值的函数，如 zxy，zx2y2等约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利
24、用线性目标函数，求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解【复习要求】【复习要求】1了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组2能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决【例题分析】【例题分析】例例 1(1)若点(3，1)在直线 3x2ya0 的上方，则实数 a 的取值范围是_；(2)若点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围是_解：解：(1)将直线化为,223axy由题意，得23231a，解得 a7(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(332a)3(4)12a0，即(a7)(a24)0，所
25、以，实数 a 的取值范围是(7，24)例例 2(1)如图 831，写出能表示图中阴影部分的不等式组；图 831(2)如果函数 yax2bxa 的图象与 x 轴有两个交点，试在 aOb 坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域略解：略解：(1)，02210yxyx(2)由题意，得 b24a20，即(2ab)(2ab)0，所以0202baba或0202baba，点(a，b)表示的平面区域如图 832图 832【评析】【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题例例 3已知 x，y 满足. 033, 042, 022yxyxyx求：(1)z1xy 的最
26、大值；(2)z2xy 的最大值；(3)z3x2y2的最小值；(4)14xyz的取值范围(x1)略解：略解：如图 833，作出已知不等式组表示的平面区域图 833易求得 M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)(1)作直线 xy0，通过平移，知在 M 点，z1有最大值 5；(2)作直线 xy0，通过平移，知在 A 点，z2有最大值 1；(3)作圆 x2y2r2，显然当圆与直线 2xy20 相切时，r2有最小值2)52(，即 z3有最小值;54(4)1xy可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以 z4的取值范围是(，23，)【评析】【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充
27、分挖掘其目标函数 z 的几何意义z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等例例 4某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件.112, 932,22115xyxyx则 z10 x10y 的最大值是()(A)80(B)85(C)90(D)95略解：由题意，根据已知不等式组及00yx可得到点(x，y)的可行域如图 834图 834作直线 xy0，通过平移，知在 M 点，z10 x10y 有最大值，易得),29,211(M又由题意，知 x，yN，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使 z 取最大值，所以，zmax10510490，选 C【评析】【评析】实际问题中，
28、要关注是否需要整数解例例 5某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000 元，运费 500元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克今预算每日原料总成本不得超过 6000 元，运费不得超过 2000 元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：解：设此工厂每日需甲种原料 x 吨，乙种原料 y 吨，则可得产品 z90 x100y(千克)由题意，得. 0, 0,2045,1232. 0, 0，2000400500，600015001000yxyxyxyxyxyx上述不等式组表示的平
29、面区域如图 835 所示，阴影部分(含边界)即为可行域图 835作直线 l：90 x100y0，并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 l 的距离最大，此时目标函数达到最大值这里 M 点是直线 2x3y 1 2 和 5 x 4 y 2 0 的 交 点 ， 容 易 解 得 M)720,712(， 此 时 z 取 到 最 大 值71290.440720100答：当每天提供甲原料712吨，乙原料720吨时，每日最多可生产 440 千克产品例例 6设函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2，2f(1)4(1)在平面直角坐标系 aOb 中，画出点(a
30、，b)所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求 f(2)的取值范围解：解：(1)f(1)ab，f(1)ab，. 42, 21baba即. 4, 2, 2, 1babababa如图 836，在平面直角坐标系 aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域图 836(2)目标函数 f(2)4a2b在平面直角坐标系 aOb 中，作直线 l：4a2b0，并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 B 点，且与直线 l 的距离最大，此时目标函数达到最大值这里 B 点是直线 ab2 和 ab4 的交点，容易解得 B(3，1)，此时 f(2)取到最大
31、值 432110同理，其中有一条直线经过可行域上的 C 点，此时目标函数达到最小值这里 C 点是直线 ab1 和 ab2 的交点，容易解得),21,23(C此时 f(2)取到最小值. 5212234所以 5f(2)10【评析【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一练习练习 83一、选择题一、选择题1原点(0，0)和点(1，1)在直线 xya0 的两侧，则 a 的取值范围是 ()Aa0 或 a2Ba0 或 a2C0a2D0a22若 x0，y0，且 xy1，则 zxy 的最大值是()A1B1C2D23已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件. 72,
32、 2,10 xyxyx则 z2x3y 的最小值是()A24B14C13D11.54根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北)20(方向行走段时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不定如图 837假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 可以用不等式组表示为()图 837A200200yxB2040022yxyxC0040022yxyxD202020yxyx二、填空题二、填空题5在平面直角坐标系中，不等式组20202xyxyx表示的平面区域的面积是_6若实数 x、y 满足2001xxyx，则xy的取
33、值范围是_7点 P(x，y)在直线 4x3y0 上，且满足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是_8若当实数 x，y 满足axyxyx005时，zx3y 的最小值为6，则实数 a 等于_三、解答题三、解答题9如果点 P 在平面区域0102022yxyxyx内，点 Q(2，2)，求|PQ|的最小值10制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和 50(%100投资额盈利额盈利率)，可能的最大亏损率分别为 30和 10(投资额亏损额亏损率 %100)，投资人计划投资金额不超过 10
34、万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11设 a，bR，且 b(ab1)0，b(ab1)0(1)在平面直角坐标系 aOb 中，画出点(a，b)所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，指出 a 的取值范围84圆的方程圆的方程【知识要点】【知识要点】1圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中点(a，b)为圆心，r 为半径(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，其中圆心为)2,2(ED，半径为21.422FED2点和圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆的圆心距离为 d，则dr点在圆外；dr
35、点在圆上；dr点在圆内3直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母 y，得关于 x 的一元二次方程，则0方程组有两解直线和圆相交；0方程组有一解直线和圆相切；0方程组无解直线和圆相离(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离 d，设圆的半径为 r，则dr直线和圆相交；dr直线和圆相切；dr直线和圆相离4圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为 R，r(Rr)，两圆的圆心距为 d(d0)，则dRr两圆相离；dRr两圆外切；RrdRr两圆相交；dRr两圆内切；dRr两圆内含【复习要求】【复习要求】1掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程2能根据给定直线、圆的方程
36、，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题【例题分析】【例题分析】例例 1 根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是 A(3，2)，B(4，1)；(2)经过两点 A(1，1)和 B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上；(3)经过两点 A(4，2)和 B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2【分析】【分析】求圆的方程，可以用待定系数法若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问解：解：(1)由题意圆心为 AB 的中点 M)212,243(，即)23,21(M，因为,50) 12()43(|22A
37、B所以圆的半径250|21ABr所以，所求圆的方程为225)23()21(22yx(2)方法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则222222)1 ()1()1()1 (02rbarbaba，解得2,11rba所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦 AB 的垂直平分线上易得 AB 的垂直平分线为yx由题意，解方程组02yxxy，得圆心 C 为(1，1)，于是，半径 rAC|2，所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24(3)设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，因为圆过点 A，B，所以4D2EF200，D3EF100，在圆的方程中，令
38、 y0，得 x2DxF0，设圆在 x 轴上的截距为 x1，x2，则 x1x2D在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0，设圆在 y 轴上的截距为 y1，y2，则 y1y2E由题意，得D(E)2，解，得 D2，E0，F12，所以，所求圆的方程为 x2y22x120【评析【评析】以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量例例 2(1)点 P(a，b)在圆 C：x2y2r2(r0)上，求过点 P
39、的圆的切线方程；(2)若点 P(a，b)在圆 C：x2y2r2(r0)内，判断直线 axbyr2与圆 C 的位置关系解解：(1)方法一：因为切线 l 与半径 OP 垂直，又可求出直线 OP 的斜率，所以可得切线 l 的斜率，再由点斜式得到切线方程但要注意斜率是否存在(详细过程略)方法二：设 Q(x，y)为所求切线上任一点，则0OPPQ，即(xa，yb)(a，b)0整理得 axbya2b2，又因为 P 在圆上，所以 a2b2r2，故所求的切线方程为 axbyr2(2)由已知，得 a2b2r2，则圆心 O(0，0)到直线 axbyr2的距离.|22222rrrbard所以此直线与圆 C 相离【评析
40、【评析】随着点 P(a，b)与圆 C：x2y2r2的位置关系的变化，直线 l：axbyr2与圆 C 的位置关系也在变化当点 P 在圆 C 上时，直线 l 与圆 C 相切；当点 P 在圆 C 内时，直线 l 与圆 C 相离；当点 P 在圆外时，直线 l 与圆 C 相交例例 3已知点 A(a，3)，圆 C：(x1)2(y2)24(1)设 a3，求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程；(2)设 a4，直线 l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为 23，求直线 l 的方程；(3)设 a2，直线 l1过点 A，求 l1被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 l1的方程解：解：(1)如图 841，此时
41、A(3，3)，图 841设切线为 y3k(x3)或 x3，验证知 x3 符合题意；当切线为 y3k(x3)，即 kxy3k30 时，圆心(1，2)到切线的距离, 21|332|2kkkd解得,43k所以，切线方程为 3x4y210 或 x3(2)如图 842，此时 A(4，3)，图 842设直线 l 为 y3k(x4)或 x4(舍)，设弦 PQ 的中点为 M，则, 3|PMCP|r2，所以, 1|22PMCPCM，即圆心到直线 l 的距离为 1，于是11|342|2kkkd，解得 k0 或43，所以，直线 l 的方程为xy43或 y3(3)如图 843，此时 A(2，3)，设所截得的线段为 D
42、E，圆心到直线 l1的距离为 d，图 843则222|)|21(rdDE，即,42|2dDE因为直线 l1过点 A，所以圆心到直线 l1的距离为 d|CA,2故当 d2时，22|minDE，此时 ACl1，因为, 11223ACk所以1lk1，故直线 l1方程为 y3(x2)，即 xy50【评析】【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：比较圆心到直线的距离与半径的大小；如图 842，在由弦心距、半径及弦组成的 RtCMP 中，有CM|2MP|2CP2，CMMP 等；如图 841，由切线段、半径组成的
43、 RtABC例例 4已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：mxym0求证：不论 m 取何值，直线l 与圆 C 恒交于两点【分析】【分析】要证明直线 l 与圆 C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去 y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大如果能说明直线 l 恒过圆内一定点，那么直线 l 与圆 C 显然有两个交点解：解：因为直线 l：mxym0 可化为 ym(x1)，所以直线 l 恒过点 A(1，0)，又圆 C：(x1)2(y2)225 的圆心为(1，2)，半径为 5，且点 A 到圆 C 的圆心的距离等于, 522)2() 11(
44、22所以点 A 为圆 C 内一点，则直线 l 恒过圆内一点 A，所以直线 l 与圆 C 恒交于两点例例 5四边形 ABCD 的顶点 A(4，3)，B(0，5)，C(3，4)，D).1 ,62(O 为坐标原点(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；(2)记ABC 的外接圆为 W，过 W 上的点 E(x0，y0)(x00，y00)作圆 W 的切线 l，设 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 P、Q，求OPQ 面积的最小值【分析【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为 180，此题此法不易做如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那
45、么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解解：解：(1)设ABC 的外接圆为 W，圆心 M(a，b)，半径为 r(r0)则 W 为：(xa)2(yb)2r2由题意，得222222222)4()3()5()0()3()4(rbarbarba，解得500rba，所以 W：x2y225将点 D 的坐标代入 W 的方程，适合所以点 D 在ABC 的外接圆 W 上，故四边形 ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为 x2y225(2)设切线 l 的斜率为 k，直线 ME(即 OE)的斜率为 k1，圆的切线 l 垂直于过切点的半径，,11kk,00001yxkxyk切线)(:000
46、0 xxyxyyl，整理得而202000yxyyxx，点 E(x0，y0)在圆 W 上，即252020 yx，切线 l：x0 xy0y25在 l 的方程中，令 x0，得)25, 0(,2500yQyy，同理).0 ,25(0 xPOPQ 的面积,26252525210000yxyxSOPQ002020225yxyx，(其中 x00，y00).2525625262500yxSOPQ当且仅当22500 yx时，等号成立即当)225225(，E时，OPQ 的面积有最小值 25练习练习 84一、选择题一、选择题1以点(2，1)为圆心且与直线 3x4y50 相切的圆的方程为()A(x2)2(y1)23B
47、(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)292圆 x2y24x4y60 截直线 xy50 所得的弦长等于()A6B225C1D53若直线1byax与圆 x2y21 有公共点，则()Aa2b21Ba2b21C11122baD11122ba4圆(x2)2y25 关于点(1，2)对称的圆的方程为()A(x4)2(y2)25B(x4)2(y4)25C(x4)2(y4)25D(x4)2(y2)25二、填空题二、填空题5由点 P(1，4)向圆 x2y24x6y120 所引的切线长是_6若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线)0(33xxy相切，则这个圆的方程为_7圆 x2
48、y22x4y30 上到直线 xy10 的距离为2的点共有_个8若不等式 x22xay22y 对任意的实数 x、y 都成立，则实数 a 的取值范围是_三、解答题三、解答题9已知直线 l：xy20 与圆 C：(xa)2(y2)24 相交于 A、B 两点(1)当 a2 时，求弦 AB 的垂直平分线方程；(2)当 l 被圆 C 截得弦长为32时，求 a 的值10已知圆满足以下三个条件：截 y 轴所得的弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线 l：x2y0 的距离为55求该圆的方程11已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：mxym0求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短
49、长度，以及此时 l 的方程85曲线与方程曲线与方程【知识要点】【知识要点】1轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程2曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x，y)0 之间有如下关系：(1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x，y)0 的解；(2)以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上那么，曲线 C 叫做方程 F(x，y)0 的曲线，方程 F(x，y)0 叫做曲线 C 的方程3曲线的交点已知两条曲线 C1和 C2的方程分别是 F(x，y)0，G(x，y)0，那么求两条曲线 C1和 C2的交点坐标，只要求方程组
50、0),(0),(yxGyxF的实数解就可以得到【复习要求】【复习要求】1了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想2会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质【例题分析】【例题分析】例例 1已知点 A(1，0)，B(2，0)，动点 P 到点 A 的距离与它到点 B 的距离之比为 2，求动点P 的轨迹方程解：解：设 P(x，y)，则2|PBPA，即, 2)2() 1(2222yxyx化简得 x2y26x50，所以动点 P 的轨迹方程为 x2y26x50【评析】【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：建立平面直角坐标系；设所求动点的坐标为(x，y)；找出动点满足的
