1、专题二专题二函函数数函数是中学数学中的重点内容， 是描述变量之间依赖关系的重要数学模型 本章内容有两条主线： 一是对函数性质作一般性的研究， 二是研究几种具体的基本初等函数一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等21函函数数【知识要点】【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念1、设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素 x，在B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A
2、到集合 B 的映射记作 f：AB，其中 x 叫原象，y 叫象2、设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种映射叫做集合 A 上的一个函数记作 yf(x)，xA其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域函数的值域由定义域与对应法则完全确定3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心【复习要求】【复习要求】1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射
3、会求映射中指定元素的象与原象2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数3掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号 f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域【例题分析】【例题分析】例例 1设集合 A 和 B 都是自然数集合 N 映射 f： AB 把集合 A 中的元素 x 映射到集合B 中的元素 2xx，则在映射 f 作用下，2 的象是_；20 的原象是_【分析】【分析】由已知，在映射 f 作用下 x 的象为 2xx所以，2 的象是 2226；设象 20 的原象为 x，则 x 的象为 20，即 2xx20由于 xN，2x
4、x 随着 x 的增大而增大，又可以发现 24420，所以 20 的原象是 4例例 2设函数, 0, 22, 0, 1)(2xxxxxxf则 f(1)_；若 f(0)f(a)2，则 a的所有可能值为_【分析】【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则所以 f(1)3又 f(0)1，所以 f(a)1，当 a0 时，由 a11 得 a0；当 a0 时，由a22a21，即 a22a30 得 a3 或 a1(舍)综上，a0 或 a3例例 3下列四组函数中，表示同一函数的是()(A)22)(,tyxy(B)2|,|tyxy(C)1,112xyxxy(D)xxyxy2,【分析】【分析】(
5、A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数(B)中两个函数的定义域相同，化简后为 yx及 yt，法则也相同，所以选(B)【评析【评析】 判断两个函数是否为同一函数， 就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同一般有两个步骤： (1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域， 看定义域是否一致 (2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致例例 4求下列函数的定义域(1); 11xy(2);3212xxy(3);) 1()3lg(0 xxxy(4);2|2 |12xxy解解：(1)由x110，得x11，所以 x11 或 x11，所以 x2 或x0所以，所求函数的定义域为xx2 或
6、 x0(2)由 x22x30 得，x1 或 x3所以，所求函数的定义域为xx1 或 x3(3)由 , 01, 0, 03xxx得 x3，且 x0，x1，所以，所求函数的定义域为x|x3，且 x0，x1(4)由 , 4, 0, 112|2|01, 02|2|0122xxxxxxx且即，得，所以1x1，且 x0所以，所求函数定义域为x1x1，且 x0例例 5已知函数 f(x)的定义域为(0，1)，求函数 f(x1)及 f(x2)的定义域【分析【分析】此题的题设条件中未给出函数 f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：定义域是指 x 的取值范围；受对应法则 f 制
7、约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的那么由 f(x)的定义域是(0，1)可知法则 f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数 f(x1)中，受 f 直接制约的是 x1，而定义域是指 x 的范围，因此通过解不等式 0 x11 得1x0，即 f(x1)的定义域是(1，0)同理可得 f(x2)的定义域为x1x1，且 x0例例 6如图，用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 2x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并指出定义域解：解：根据题意，AB2x22,xxlADx所以，.)22(2122222lxxxxxlxy根据问题的实际意义AD0，x0
8、解.20, 022, 0lxxxlx得所以，所求函数定义域为20|lxx【评析】【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题(1)给出函数解析式求定义域(如例 4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有： 分式中分母不为零； 偶次方根下被开方数非负； 零次幂的底数要求不为零； 对数中的真数大于零， 底数大于零且不等于 1；ytanx，则2 kx，kZ(2)不给出 f(x)的解析式而求定义域(如例 5)其解决办法见例 5 的分析(3)在实际问题中求函数的定义域(如例 6)在这类问题中除了考虑解析式
9、对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域例例 7(1)已知21)1(xxxf，求 f(x)的解析式；(2)已知221)1(xxxxf，求 f(3)的值；(3)如果 f(x)为二次函数，f(0)2，并且当 x1 时，f(x)取得最小值1，求 f(x)的解析式；(4)*已知函数 yf(x)与函数 yg(x)2x的图象关于直线 x1 对称，求 f(x)的解析式【分析【分析】(1)求函数 f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种
10、方法解决(1)这样的问题方法一1)1(111)1(2xxxxxf通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f 是“原象对应于原象除以原象的平方减 1” 所以，1)(2xxxf方法二设tx1，则tx1则1111)(22tttttf，所以1)(2xxxf这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么(2)用“凑型” 的方法，. 7)3(, 2)(. 2)1(1)1(2222fxxfxxxxxxf所以(3)因为 f(x)为二次函数，并且当 x1 时，f(x)取得最小值1，所以，可设 f(x)a(x1)21，又 f(0)2，所以 a(01)212，所以 a3f(x)3(x1)213x26x2(4)
11、这个问题相当于已知 f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数 f(x)的解析式所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求 f(x)的解析式设 f(x)的图象上任意一点坐标为 P(x，y)，则 P 关于 x1 对称点的坐标为 Q(2x，y)，由已知，点 Q 在函数 yg(x)的图象上，所以，点 Q 的坐标(2x，y)满足 yg(x)的解析式，即 yg(2x)22x，所以，f(x)22x【评析【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法值得注意的是(4)中所用的解析法在求函数解析式或者
12、求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系例例 8已知二次函数 f(x)的对称轴为 x1， 且图象在 y 轴上的截距为3， 被 x 轴截得的线段长为 4，求 f(x)的解析式解：解：解法一设 f(x)ax2bxc，由 f(x)的对称轴为 x1，可得 b2a；由图象在 y 轴上的截距为3，可得 c3；由图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x1，x3 均为方程 ax2bxc0 的根所以 f(1)0，即 abc0，所以 a1f(x)x22x3解法二因为图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x1，x3 均为方程 f(x)0 的根所以，设 f(
13、x)a(x1)(x3)，又 f(x)图象在 y 轴上的截距为3，即函数图象过(0，3)点即3a3，a1所以 f(x)x22x3【评析】【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重二次函数的解析式有三种形式：一般式 yax2bxc；顶点式 ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式 ya(xx1)(xx2)，其中 x1，x2为函数图象与 x 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根例例 9某地区上年度电价为 0.8 元kWh，年用电量为 akWh本年度计划将电价降到 0.55 元kWh 至 0.75 元kWh 之间，而用户期望电价为 0.40 元kWh经测
14、算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的成本价为 0.30 元kWh(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式；(2)设 k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20?解：解：(1)依题意，当实际电价为 x 元kWh 时，用电量将增加至,4 . 0axk故电力部门的收益为)75. 055. 0)(3 . 0)(4 . 0(xxaxky(2)易知，上年度的收益为(0.80.3)a，依题意，%),201)(3 . 08 . 0()3 . 0)(4 . 02 . 0(axaxa且 0.55
15、x0.75，解得 0.60 x0.75所以，当电价最低定为 0.60 元kWh 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20练习练习 21一、选择题一、选择题1已知函数xxf11)(的定义域为 M，g(x)ln(1x)的定义域为 N，则 MN()(A)xx1(B)xx1(C)x1x1(D)2图中的图象所表示的函数的解析式为()(A)20( |1|23xxy(B)20( |1|2323xxy(C)20( |1|23xxy(D)y1x1(0 x2)3已知 f(x1)x22x，则)1(xf()(A)xx212(B)112x(C)22143xxx(D)212xx 4已知2,3, 21, 1, 3)(2
16、xxxxxxxf若 f(x)3，则 x 的值是()(A)0(B)0 或23(C)3(D)3二、填空题5给定映射 f：(x，y)(x2y，x2y)，在映射 f 下(0，1)的象是_；(3，1)的原象是_6函数2|3)(xxxf的定义域是_7已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出x123x123f(x)131g(x)321则 fg(1)的值为_；满足 fg(x)gf(x)的 x 的值是_8已知函数 yf(x)与函数 yg(x)2x的图象关于点(0，1)对称，则 f(x)的解析式为_三、解答题三、解答题9已知 f(x)2xx1，),0( 1),0()(2xxxxxg求 g(1)，gf(1)的值1
17、0在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 A(0，9)，其轨迹方程为 yax2c(a0)，D(6，7)为 x 轴上的给定区间为使物体落在区间 D 内，求 a 的取值范围11如图，直角边长为 2cm 的等腰 RtABC，以 2cms 的速度沿直线 l 向右运动，求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y(cm2)与时间 t 的函数关系(设 0t3)， 并求出 y 的最大值22函数的性质函数的性质【知识要点】【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等本章着重研究后四个方面的性质本节的重点在于理解与函数性质有关的概念， 掌握有关判断、 证明的
18、基本方法以及简单的应用数形结合是本节常用的思想方法1设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对于 D 内的任意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数设函数 yg(x)的定义域为 D， 如果对于 D 内任意一个 x， 都有xD， 且 g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数由奇函数定义可知，对于奇函数 yf(x)，点 P(x，f(x)与点P(x，f(x)都在其图象上又点 P 与点P关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 通过同样的分析可以得到， 偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形2一般地，设函数 yf(x)的定义域为 A，区间
19、 MA如果取区间 M 中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间 M 上是增函数；当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间 M 上是减函数如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性，区间 M 称为单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的3一般的，对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域中的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数 yf(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期4一般的，对于
20、函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 a，使得当 x 取定义域中的每一个值时，f(ax)f(ax)都成立，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称【复习要求】【复习要求】1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2了解函数奇偶性的含义能判断简单函数的奇偶性3了解函数周期性的含义4了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题【例题分析】【例题分析】例例 1判断下列函数的奇偶性(1);1)(xxxf(2); 11)(xxf(3)f(x)x33x；(4);11lgxxy(5)1212xxy解：解：(1
21、)解01xx，得到函数的定义域为xx1 或 x0，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数(2)函数的定义域为xx0，但是，由于 f(1)2，f(1)0，即 f(1)f(1)，且 f(1)f(1)，所以此函数为非奇非偶函数(3)函数的定义域为 R，又 f(x)(x)33(x)x33xf(x)，所以此函数为奇函数(4)解011xx，得1x1，又),(11lg11lg)(1)(1lg)(xfxxxxxxxf所以此函数为奇函数(5)函数的定义域为 R，又)(21211212)(xfxfxxxx，所以此函数为奇函数【评析】【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：一个函数是奇(或偶)
22、函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；f(x)是奇函数，并且 f(x)在 x0 时有定义，则必有 f(0)0；既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为 f(x)0判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：判断函数的定义域是否关于原点对称；考察 f(x)与 f(x)的关系由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类例例 2设函数 f(x)在 R 上有定义，给出下列函数：yf(x)；yxf(x2)；yf(x)；yf(x)f(x)其中必为奇函数的有_(填写所有正确答案的序号)【分析【分析】 令 F(x)f(x)， 则 F(x)f(x)， 由于 f(x)与
23、f(x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定令 F(x)xf(x2)，则 F(x)xf(x)2xf(x2)F(x)，所以 F(x)为奇函数令 F(x)f(x)，则 F(x)f(x)f(x)，由于 f(x)与 f(x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定令 F(x)f(x)f(x)，则 F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，所以 F(x)为奇函数所以，为奇函数例例 3设函数 f(x)在 R 上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的 x，yR，恒有 f(xy)f(x)f(y)，则函数 f(x)的奇偶性为_解：解：令 xy0，则 f(0)f(0)f(0)，所以 f(0)0，再令 y
24、x，则 f(0)f(x)f(x)，所以 f(x)f(x)，又 f(x)的值不恒为零，故 f(x)是奇函数而非偶函数【评析【评析】关于函数方程“f(xy)f(x)f(y)”的使用一般有以下两个思路：令 x，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令 xy0 得到了 f(0)0当然，如果令 xy1 则可以得到f(2)2f(1)，等等令 x，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令 yx得到 f(2x)2f(x)，在某些情况下也可令 yx1，yx，等等总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气例例 4已知二次函数 f(x)x2bxc 满足 f(1x)f(1x
25、)，求 b 的值，并比较 f(1)与f(4)的大小解：解：因为 f(1x)f(1x)，所以 x1 为二次函数图象的对称轴，所以12b，b2根据对称性，f(1)f(3)，又函数在1，)上单调递增，所以 f(3)f(4)，即 f(1)f(4)例例 5已知 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)x22x，(1)求 f(1)的值；(2)当 x0 时，求 f(x)的解析式解：解：(1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)(1221)1(2)方法一：当 x0 时，x0所以，f(x)f(x)(x)22(x)x22x方法二：设(x，y)是 f(x)在 x0 时图象上一点，则(x，y)一定在 f(x
26、)在 x0 时的图象上所以，y(x)22(x)，所以 yx22x例例 6用函数单调性定义证明，函数 yax2bxc(a0)在区间),2(ab上为增函数证明：证明：设),2(21abxx、，且 x1x2f(x2)f(x1)(ax22bx2c)(ax12bx1c)a(x22x12)b(x2x1)a(x2x1)(x2x1)b(x2x1)(x2x1)a(x1x2)b因为 x1x2，所以 x2x10，又因为),2(21abxx、，所以0)(,2121bxxaabxx，所以 f(x2)f(x1)0，函数 yax2bxc(a0)在区间),2(ab上为增函数例例 7已知函数 f(x)是定义域为 R 的单调增函
27、数(1)比较 f(a22)与 f(2a)的大小；(2)若 f(a2)f(a6)，求实数 a 的取值范围解：解：(1)因为 a222a(a1)210，所以 a222a，由已知，f(x)是单调增函数，所以 f(a22)f(2a)(2)因为 f(x)是单调增函数，且 f(a2)f(a6)，所以 a2a6，解得 a3 或 a2【评析【评析】回顾单调增函数的定义，在 x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：xx2x1的符号；yf(x2)f(x1)的符号；函数 yf(x)在区间上是增还是减由定义可知：对于任取的 x1，x2，若 x2x1，且 f(x2)f(x1)，则函数 yf(x)在区间上是
28、增函数；不仅如此，若 x2x1，且函数 yf(x)在区间上是增函数，则 f(x2)f(x1)；若 f(x2)f(x1)，且函数 yf(x)在区间上是增函数，则 x2x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系请结合例 5 例 6体会这一点函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意例例 8设 f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，且它在区间(，0)上是减函数(1)试比较 f(2)与f(3)的大小；(2)若 mn0，且 mn0，求证：f(m)f(n)0解：解：(1)因为 f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)，又 f
29、(x)在区间(，0)上是减函数，所以 f(3)f(2)，即f(3)f(2)(2)因为 mn0，所以 m，n 异号，不妨设 m0，n0，因为 mn0，所以 nm，因为 n，m(，0)，nm，f(x)在区间(，0)上是减函数，所以 f(n)f(m)，因为 f(x)是奇函数，所以 f(m)f(m)，所以 f(n)f(m)，即 f(m)f(n)0例例 9函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)x2，x1，1(1)求 f(7.5)的值；(2)求 f(x)在区间2n1，2n1上的解析式解：解：(1)因为函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，所以 f(x2k)f(x)，kZ所以 f(7.5)f
30、(0.58)f(0.5)41(2)设 x2n1，2n1，则 x2n1，1所以 f(x)f(x2n)(x2n)2，x2n1，2n1练习练习 22一、选择题一、选择题1下列函数中，在(1，)上为增函数的是()(A)yx24x(B)yx(C)xy1(D)yx22x2下列判断正确的是()(A)定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(1)f(1)，且 f(2)f(2)，则 f(x)是偶函数(B)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则 f(x)在 R 上不是减函数(C)定义在 R 上的函数 f(x)在区间(，0上是减函数，在区间(0，)上也是减函数，则 f(x)在 R 上是减函数(D)不
31、存在既是奇函数又是偶函数的函数3 已知函数 f(x)是 R 上的奇函数， 并且是周期为 3 的周期函数， 又知 f(1)2 则 f(2)()(A)2(B)2(C)1(D)14设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是()(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数二、填空题二、填空题5若函数 f(x)4x2mx5 在区间2，)是增函数，则 m 的取值范围是_；f(1)的取值范围是_6已知函数 f(x)是定义在(，)上的偶函数当 x(，0)时，f(x)xx4，则当 x(0，)时，f(x)_7设函数xaxxxf)
32、(1()(为奇函数，则实数 a_8已知函数 f(x)x2cosx，对于2,2上的任意 x1，x2，有如下条件：x1x2；;2221xx x1x2其中能使 f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是_三、解答题三、解答题9已知函数 f(x)是单调减函数(1)若 a0，比较)3(aaf与 f(3)的大小；(2)若 f(a1)f(3)，求实数 a 的取值范围10已知函数)., 0()(2R axxaxxf(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)当 a1 时，证明函数 f(x)在区间2，)上是增函数11定义在(0，)上的函数 f(x)满足f(2)1；f(xy)f(x)f(y)，其中 x，y 为任意正实数，
33、任意正实数 x，y 满足 xy 时，(xy)f(x)f(y)0 恒成立(1)求 f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数 f(x)的单调性；(3)如果 f(x)f(x3)2，试求 x 的取值范围23基本初等函数基本初等函数()本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图掌握初等函数一般包括以下一些内容： 首先是函数的定义， 之后是函数的图象和性质 函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的
34、变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质【知识要点】【知识要点】1一次函数：ykxb(k0)(1)定义域为 R，值域为 R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k0 时，函数为增函数，k0 时，函数为减函数；(4)当且仅当 b0 时一次函数是奇函数一次函数不可能是偶函数(5)函数 ykxb 的零点为kb2二次函数：yax2bxc(a0)通过配方，函数的解析式可以变形为abacabxay44)2(22(1)定义域为 R：当 a0 时，值域为),442
35、abac；当 a0 时，值域为44,(2abac；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx2，顶点坐标为)44,2(2abacab当 a0 时，抛物线开口向上；当 a0 时，抛物线开口向下(3)当 a0 时，2,(ab是减区间，),2ab是增区间；当 a0 时，2,(ab是增区间，),2ab是减区间(4)当且仅当 b0 时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数(5)当判别式b24ac0 时，函数有两个变号零点aacbb242；当判别式b24ac0 时，函数有一个不变号零点ab2；当判别式b24ac0 时，函数没有零点3指数函数 yax(a0 且 a1)(1)定义域为 R；值域为(0，)(
36、2)a1 时，指数函数为增函数；0a1 时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，也没有零点4对数函数 ylogax(a0 且 a1)，对数函数 ylogax 与指数函数 yax互为反函数(1)定义域为(0，)；值域为 R(2)a1 时，对数函数为增函数；0a1 时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为 15幂函数 yx(R)幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上
37、是增函数；(3)如果0，则幂函数在区间(0，)上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地接近 y 轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地接近x 轴要注意：因为所有的幂函数在(0，)都有定义，并且当 x(0，)时，x0，所以所有的幂函数 yx(R)在第一象限都有图象根据幂函数的共同性质， 可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象， 再根据幂函数的定义域和奇偶性， 我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象， 这样就能够得到这个幂函数的大致图象6指数与对数(1)如果存在实数 x，使得 xna(aR，n1，nN)，则 x 叫做 a 的 n 次方根负数没有偶次
38、方根), 1()(Nnnaann；为偶数时当为奇数时当nanaann|,|,)(2)分数指数幂，)0(1aaann；, 0()(aaaanmmnnmn，mN*，且nm为既约分数)*N, 0(1mnaaanmnm，且nm为既约分数)(3)幂的运算性质aaa，(a)a，(ab)ab，a01(a0)(4)一般地，对于指数式 abN，我们把“b 叫做以 a 为底 N 的对数”记为 logaN，即 blogaN(a0，且 a1)(5)对数恒等式：Naa logN(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是 1，1 的对数是 0(7)对数的运算法则及换底公式：NMNMNMMNa
39、aaaaalogloglog;loglog)(logMMaaloglog；bNNaablogloglog.(其中 a0 且 a1，b0 且 b1，M0，N0)【复习要求】【复习要求】1掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握 yx，yx2，yx3，21,1xyxy这五个具体的幂函数的图象与性质2准确、熟练的掌握指数、对数运算；3整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题【例题分析】【例题分析】例例 1化简下列各式：(1)31522732；(2)0312)27102(412；(3)21)972()71()027. 0(231；(4)log2lo
40、g3(log464)；(5)4015018lg5lg2lggg解：解：(1)3432)3()2(2732123135253152(2)41243232)2764()49(2)27102()412(31210315 . 0(3)443549310)925(49)103()972()71()027. 0(21313321231(4)log2log3(log464)log2log3(log443)log2log33log210(5). 145lg45lg4050lg852lg40150lg8lg5lg2lgg【评析【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键例
41、例 2已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值为 8，试确定 f(x)的解析式解：解：解法一设 f(x)ax2bxc(a0)，依题意, 7, 4, 4, 8441, 1242cbaabaccbacba解之得解之得所以所求二次函数为 f(x)4x24x7解法二f(x)a(xh)2k(a0)，为 f(2)1，f(1)1，所以抛物线的对称轴为212) 1(2x，又 f(x)的最大值为 8，所以8)21()(2xaxf.因为(1，1)点在抛物线上，所以8)211(12a，解得 a4所以所求二次函数为7448)21(4)(22xxxxf.例例 3(1)如果二次函数 f(x
42、)x2(a2)x5 在区间(2，)上是增函数，则 a 的取值范围是_(2)二次函数 yax24xa3 的最大值恒为负，则 a 的取值范围是_(3)函数 f(x)x2bxc 对于任意 tR 均有 f(2t)f(2t)，则 f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_解：解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴22ax或与直线 x2 重合，或位于直线 x2 的左侧，于是有222a，解之得6a.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数 a0，且判别式0” ，即0)3(416, 0aaa，解得 a(，1)(3)因为对于任意 tR 均
43、有 f(2t)f(2t)，所以抛物线对称轴为 x2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得 f(2)f(1)f(4)例例 4已知函数 f(x)mx2(m3)x1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的范围解：解：当 m0 时，f(x)3x1，其图象与 x 轴的交点为)0 ,31(，符合题意；当 m0 时，注意到 f(0)1，又抛物线开口向下，所以抛物线与 x 轴的两个交点必在原点两侧所以 m0 符合题意；当 m0 时，注意到 f(0)1，又抛物线开口向上，所以抛物线与 x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则, 0232, 04)3(2mmabmm解得
44、 0m1综上，m(，1【评析【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握例 2、3、4三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用例例 5(1)当 a0 时，函数 yaxb 与 ybax的图象只可能是()(2)函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象分别是图中的、，则 a，b，c，d 的大小关系是_【分析】【分析】(1)在选项(A)中，由 yaxb 图象可知 a0，b1，所以 bab01(根据以为底的指数函数的性质)，所以 ybax(ba)x应为减函数在选项
45、(B)中，由 yaxb 图象可知 a0，b1，所以 bab01，所以 ybax(ba)x应为增函数在选项(C)中，由 yaxb 图象可知 a0，0b1，所以 bab01，所以 ybax(ba)x应为减函数与图形提供的信息相符在选项(D)中，由 yaxb 图象可知 a0，0b1，所以 bab01，所以 ybax(ba)x应为增函数综上，选 C(2)如图，作直线 y1 与函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象依次交于 A，B，C，D 四点，则 A，B，C，D 四点的横坐标分别为 a，b，c，d，显然，cdab【评析】【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到
46、了至关重要的作用这里， 对基本初等函数图象的熟悉是前提， 对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例 4 中“注意到 f(0)1” ，例 5 中“作直线 y1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线 y1” 例例 6已知幂函数)()(22123Zkxxfkk(1)若 f(x)为偶函数，且在(0，)上是增函数，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)在(0，)上是减函数，求 k 的取值范围解：解：(1)因为 f(x)在(0，)上是增函数，所以021232kk，解得1k3，因为 kZ，所以 k0，1，2，又因为 f(x)为偶函数，所以 k
47、1，f(x)x2(2)因为 f(x)在(0，)上是减函数，所以021232kk，解得 k1，或 k3(kZ)例例 7比较下列各小题中各数的大小(1)21log, 0 , 6 . 0log6 . 02；(2)lg2 与 lg(x2x3)；(3)0.50.2与 0.20.5；(4)332与；(5)21log,32,)21(3131；(6)amam与 anan(a0，a1，mn0)【分析】【分析】(1)函数 ylog2x 在区间(0，)上是增函数，所以 log20.6log210，函数 ylog0.6x 在区间(0，)上是减函数，所以01log21log6 . 06 . 0所以216 . 0log0
48、6 . 0log2.(2)由于2411)21(322xxx，所以 lg2lg(x2x3)(3)利用幂函数和指数函数单调性0.50.20.20.20.20.5(4)因为9)3( , 8)2(636.根据不等式的性质有. 323(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131即所以比较32与 log32，只需比较3233log与 log32，因为 ylog3x 是增函数，所以只需比较323与 2 的大小，因为3332289)3(，所以2332，所以2log323，综上，. 2log32)21(331(6) 1)(1)(nmnmnmnnmmaaaaaaaa，当 a1 时，因为 m
49、n0，aman，amn1，所以 amamanan；当 0a1 时，因为 mn0，aman，amn1，所以 amamanan综上，amamanan例例 8已知 a2，b2，比较 ab，ab 的大小【分析】【分析】方法一(作商比较法)baabba11，又 a2，b2，所以211,211ba，所以1abba，所以 abab方法二(作差比较法)2()2(21)2()2(21)222(21abbaabbabaabbaabba，因为 a2，b2，所以 2a0，2b0，所以 abab0，即 abab方法三(构造函数)令 yf(a)abab(1b)ab，将 y 看作是关于 a 的一次函数，因为 1b0，所以此
50、函数为减函数，又 a(2，)，y最大f(2)(1b)2b2b0，所以 abab0，即 abab【评析】【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法” ，如例 8 的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例 7(1)(2)(3)，例 8 的方法三)如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例 7(4)(5)(6)例例 9若 log2(x1)2，则 x 的取值范围是_解：解：log2(x1)2，即 log2(x1)log24，根据函数 ylog2x 的单调性，可得 x1
