1、专题十三专题十三相似三角形定理与圆幂定理相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理【知识要点】【知识要点】1相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形相似比：相似三角形对应边的比2相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
2、形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)3直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于
3、相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方5相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例， 则此直线与三角形的第三边平行6弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半7圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角8圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条
4、线段长的积相等切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B、C、D 则有 PAPBPCPD【复习要求】【复习要求】1了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理2理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论3掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理【例题分析】【例题分析】例例 1如图，在ABC 中，BAC90，E 为 AC 中点，ADBC 于 D，DE 交 BA 的延长线于
5、F求证：BFDFABAC【分析【分析】欲证AFDFACAB，虽然四条线段可分配于ABC 和DFB 中，由于ABC 和FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证 RtBACRtBDA，得出ACABADBD，于是只需证出ADBDAFDF，进而须证DFBAFD 即可证明：证明：ABAC，ADBC，RtABDRtCAD，DACB，ADBDACAB又ADBC，E 为 AC 中点，DEAE，DAEADE，BADE，又FF，FADFDB，DFBFADBD，由得DFBFACAB【说明【说明】由于ABC 和FBD 这两个三角形一个是直角
6、三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要例例 2ABC 中，A60，BD，CE 是两条高，求证：BCDE21【分析】【分析】欲证BCDE21，只须证21BCDE由已知易得21ABAD，于是只须证明,ABADBCDE进而想到证明ADEABC，这可以由21ACAEABAD证得证明：证明：A60，BD，CE 是两条高，ABDACE30A
7、BAD21，ACAE21，21ACAEABAD，又AAADEABC，BCDEABADBCDE2121.【说明】【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理例例 3已知： 如图， ABC 中， ADBC 于 D， CEAB 于 E， AD、 EC 交于 F， 求证BDFDADCD【分析【分析】CD、FD 在FDC 中，AD、BD 在BDA 中，所以证FDC 与BDA 相似便可以得到结论证明：证明：ADBC 于 D，CEAB 于 E，ADCADB90，BADB90，BCEB90，BADBCE，FDCBDA，BDFDADCD【说明】【说明】为什么
8、找到FDC 与BDA 相似呢?从求证的比例式出发， “竖看” ，线段 CD、AD在ADC 中，但线段 FD、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧” ，CD、FD 在FDC，AD、BD在BDA 中，所以证FDC 与BDA 相似便可以得到结论小结为“横瞧竖看分配相似三角形” 例例 4如图，平行四边形 ABCD，DEAB 于 E，DFBC 于 F，求证：ABDEBCDF【分析【分析】化求证的等积式为比例式：DEDFBCAB，又因为 CDAB，ADBC，即证明比例式DEDFADCD证明：证明：平行四边形 ABCD，CA，DEAB 于 E，DFBC 于 F，AEDDFC90，CFDAED，DEDFADC
9、DCDAB，ADBC，DEDFBCAB即 ABDEBCDF【说明】【说明】DEDFBCAB， “横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CDAB，ADBC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDFADCD，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中例例 5AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC60，P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 CDOC 交 PQ 于点 D(1)求证：CDQ 是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求 BPPO 的值【分析】【分析】证明CDQ 是等腰三角形，只需证明DCQQ
10、，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为 1，简化计算(1)证明证明：由已知得ACB90，ABC30，Q30，BCOABC30CDOC，DCQBCO30，DCQQ，CDQ 是等腰三角形(2)解：设O 的半径为 1，则 AB2，OC1，. 3, 121BCABAC等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等，CQBC331CQACAQ，,23121AQAPAPABBP2332312231AOAPPO2131，3:POBP【说明】【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧例例 6ABC 内接于圆 O
11、，BAC 的平分线交O 于 D 点，交O 的切线 BE 于 F，连结 BD，CD求证：(1)BD 平分CBE；(2)ABBFAFDC【分析【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出由条件及(1)的结论，可知 BDCD，因此欲求 ABBFAFDC，可求BFBDAFAB，因此只须求ABFBDF 即可证明：证明：(1)CADBADFBD，CADCBD，CBDFBD，BD 平分CBE(2)在DBF 与BAF 中，FBDFAB，FF，ABFBDF，BFBDAFAB，ABBFBDAF又BDCD，ABBFCDAF例例 7O 以等腰三角形 ABC 一腰 AB 为直径，它交另一腰 AC 于 E，交 BC
12、于 D求证：BC2DE【分析】【分析】由等腰三角形的性质可得BC，由圆内接四边形性质可得BDEC，所以CDEC，所以 DECD，连结 AD，可得 ADBC，利用等腰三角形“三线合一”性质得 BC2CD，即 BC2DE证明：证明：连结 ADAB 是O 直径ADBCABACBC2CD，BCO 内接四边形 ABDEBDEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角)CDECDEDCBC2DE例例 8O 内两弦 AB，CD 的延长线相交于圆外一点 E，由 E 引 AD 的平行线与直线 BC 交于F，作切线 FG，G 为切点，求证：EFFG【分析】【分析】由于 FG 切圆 O 于 G，则有 FG2FBFC，因此
13、，只要证明 FE2FBFC 成立即可证明：证明：在BFE 与EFC 中有BEFAC，又BFEEFC，BFEEFC，FEFCFBFE，FE2FBFC又FG2FBFC，FE2FG2，FEFG习题习题 13一、选择题一、选择题1在ABC 中，ABC123，CDAB 于 D，ABa，则 DB（）A4aB3aC2aD43a2 如图， AD 是ABC 高线， DEAB 于 E， DFAC 于 F， 则(1)AD2BD CD(2)AD2AE AB(3)AD2AFAC(4)AD2AC2ACCF 中正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个3如图，AB 是O 的直径，C，D 是半圆的三等分点，则CED()A1
14、35B110C145D1204如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于 D，连结 AD，那么()ABADCAD90BBADCADCBADCADDBADCAD二、填空题二、填空题5在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，AB2，DB1，则 DC_，AD_6在 RtABC 中，AD 为斜边上的高，SABC4SABD，则 ABBC_7如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，CDAB 于点 D，且 AD3DB，设COD，则 tan22_8如图，AB 是O 的直径，CB 切O 与 B，CD 切O 与 D，交 BA 的延长线于 E若 AB3，ED2，则 BC 的长为_三、解答题三、解
15、答题9如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，O 为内切圆，E 为切点，()求AOD 的度数；()若 AO8 cm，DO6 cm，求 OE 的长10如图，在ABC 中，C90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的O 经过点 D(1)求证：BC 是O 切线；(2)若 BD5，DC3，求 AC 的长11如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连结 AC、OC、BC(1)求证：ACOBCD；(2)若 BE2，CD8，求 AB 和 AC 的长专题十三专题十三相似三角形定理与圆幂定理参考答案相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题习题 13一、选择题
16、：一、选择题：1A2C3D4C二、填空题二、填空题53, 361273183三、解答题三、解答题9()ABCD，BADADC180.O 内切于梯形 ABCD，AO 平分BAD，有DAO21BAD，又 DO 平分ADC，有ADO21ADCDAOADO21(BADADC)90，AOD180(DAOADO)90()在 RtAOD 中，AO8cm，DO6cm，由勾股定理，得.cm1022 DOAOE 为切点，OEAD有AEO90，AEOAOD又CAD 为公共角，AEOAODcm8 . 4,ADODAOOEADAOODOE.10(1)连接 ODOAOD，AD 平分BAC，ODAOAD，OADCADODACADODACODBC90BC 是O 的切线(2)过 D 作 DEAB 于 EAEDC90又ADAD，EADCAD，AEDACDAEAC，DEDC3在 RtBED 中，BED90，由勾股定理，得422DEBDBE，设 ACx(x0)，则 AEx在 RtABC 中，C90，BCBDDC8，ABx4，由勾股定理，得x282(x4)2解得 x6即 AC611(1)连结 BD，AB 是O 的直径，CDAB，12又OAOC，1A12即：ACOBCD(2)由(1)问可知，A2，AECCEBACECBECEAEBECECE2BEAE又 CD8，CEDE4AE8AB10AC. 548022CEAE
