第二章 一元二次方程- 5 一元二次方程的根与系数的关系-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：d03ac).zip

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系教学目标教学目标：1、 巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用；2、 会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。教学过程：教学过程：一、问题情一、问题情境，导入新课：境，导入新课：解下列方程，并填写表格：方 程1x2x+1x2x12xxx2-7x+12=02340 xxx2+3x+2=0观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于 x 的方程的两根，与系220(40)xpxqpqq、为常数，p1x2x数 p，q 之间有什么关系？（2）关于 x 的方程的两根，与系数 a，b，c 之间又20(0)axbxca1x2x有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知：二、探究新知：1、根与系数关系：（1）关于 x 的方程的两根，与系220(40)xpxqpqq、为常数，p1x2x数 p，q 的关系是：， 。12xxp 12x xq引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为 1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如的方程，如果，两根为，引20(0)axbxca240bac1x2x导学生利用上面的结论猜想，与各项系数 a、b、c 之间有何关系。1x2x方 程1x2x+1x2x12xx2x25x+2=0然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)axbxca0a 20bcxxaa，12bxxa 12cx xa对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。证明：，当时根为：20(0)axbxca240bac242bbacxa 设，则2142bbacxa 2242bbacxa 2212442222bbacbbacbbxxaaaa 2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa 学生思考、归纳并回答下列问题：（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？（2）运用根与系数的关系要注意些什么？得出韦达定理：如果方程得出韦达定理：如果方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是X1 , X2 ,那么那么 X1 + X2= -b/a , X1 X2= c/a三、应用举例三、应用举例基础应用基础应用1、不解方程，求出下列方程的两根和与两根积：(1)x2-2x+1=0 (2) x2-9x+10=0(3) 2x2-9x+5=0 (4) 2x2-5x=2 (5) x2-1=02、判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。2x2-3x+1=0 （3，1） 3x2+5x-2=0 （5/3， -2/3）3、已知关于 x 的方程 x2-（m+1）x+2m-1=0当 m= 时,此方程的两根互为相反数.当 m= 时,此方程的两根互为倒数.4、已知 x1,x2 是方程 3x2+px+q=0 的两个根，根据下列条件求出 p 和 q 的值(1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6(3) x1 = , x2 = (4) x1 = -2+ , x2 = -2-77555、设 x1,x2 是方程 2x24x3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。提升提升：已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值。（先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：） 解法 1：设方程的另一个根为 x1.把 x=2 代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得 x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k 的值是2解法 2：设方程的另一个根为 x1.由根与系数的关系，得 x1 2= k+1 x1 2= 3k解这方程组，得 x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k 的值是2。从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？4、归纳小结归纳小结1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？5、课后提升课后提升当当 k 为何值时，方程为何值时，方程 2x2-(k+1)x+k+3=0 的两根差为的两根差为 1六、课后作业：六、课后作业：相应练习册温故而知新一元二次方程有哪些解法？一元二次方程有哪些解法？ 配方法配方法 公式法：公式法： 因式分解法因式分解法一元二次方程的的解的情况怎样确定？一元二次方程的的解的情况怎样确定？请在请在三秒三秒内口答下列方程的两根之和与两根之积。内口答下列方程的两根之和与两根之积。x1+x2=99x1x2=1024（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3) x2+3x+2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 x2+3x+2=0341271-3- 4- 42-2探索新知探索新知观察：观察：方程系数的特点？方程系数的特点？根与系数有何关系？根与系数有何关系？根与系数关系根与系数关系 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是 , ,则则:结论一般化如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ?动手动手操作操作比较观察比较观察x1+x2, x1x2的值的值 与相应的方程的系与相应的方程的系数，想一想你能得出怎样的规律？数，想一想你能得出怎样的规律？求出下列方程的两根求出下列方程的两根x x1 1 和和x x2,2,，并计，并计算算x x1 1+x+x2 2, , x x1 1x x2 2 的值，填入下表。的值，填入下表。方方 程程x1x2x1+x2x1x22x25x+2=021结论一般化如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2 , X1x2为多少？ 猜想猜想?一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+=-X1x2=证明结论韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为论称为“韦达定理韦达定理”）。）。 韦达在欧洲被尊称为韦达在欧洲被尊称为“代数学之父代数学之父”。 任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1 + X2= , X1 X2= -（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0韦达（韦达（15401603）=韦达定理的作用：韦达定理的作用：练习练习：说出下列方程的两根的和与两根的积各：说出下列方程的两根的和与两根的积各为多少？为多少？(1)(1) x x2 2-2x+1=0-2x+1=0 (2)(2) x x2 2-9x+10=0-9x+10=0(3)(3) 2x2x2 2-9x+5=0-9x+5=0 (4)(4) 2x2x2 2-5x=2-5x=2 (5)(5) x x2 2-1=0-1=0解：解：两根之积为：两根之积为：1 1(2)(2) 两根之和为：两根之和为：9 9两根之积为：两根之积为：1010两根之积为：两根之积为：(3)(3) 两根之和为：两根之和为：两根之积为：两根之积为：-1 -1(4)(4) 两根之和为：两根之和为：(5)(5) 两根之和为：两根之和为：0 0两根之积为：两根之积为：-1 -1（1 1）两根之和为：）两根之和为：2 2（验根验根）判定下列各方程后面的判定下列各方程后面的 两个数是不是它的两个根。两个数是不是它的两个根。 123已知关于已知关于x的方的方程程当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数.11分析分析:1.2.活学活用2、已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6(3) x1 = - , x2 =(4) x1 = -2+ , x2 = -2-由根与系数的关系，得解：x1+x2= - , x1 x2=p= -3(x1+x2) q=3 x1 x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 q= -21 (4)p= 12 q= -3 快问快答1、设、设x1,x2是方程是方程2x24x3=0的的两个根，求两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。的值。解：解：由韦达定理，得由韦达定理，得x1+x2= - 2 , x1 x2= (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解1： 设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。1、一元二次方程根与系数关系2、利用此关系解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a0（2）根的判别式b2-4ac0课堂小结1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2= , x1x2=解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。