第二章 一元二次方程-1 认识一元二次方程-一元二次方程的概念-ppt课件-(含教案)-省级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：01280).zip

一元二次方程一元二次方程第一课时 教学内容教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目 1通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2一元二次方程的一般形式及其有关概念 3解决一些概念性的题目 4态度、情感、价值观 4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点关键重难点关键 1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动：列方程 问题（1） 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为 x尺，那么，这个门的宽为_尺，根据题意，得_ 整理、化简，得：_问题（2）如图，如果，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点ACCBABACBCA 如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=_，根据题意，得：_ 整理得：_ 问题（3）有一面积为 54m2的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理 二、探索新知二、探索新知 学生活动：请口答下面问题 （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 例例 1 1将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0） 因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得： 40-16x-10 x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22 例例 2 2 （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2） （x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2） （x+2）=1 化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P32 练习 1、2 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3 3求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+170 即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+10，即（m-4）2+10 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 五、归纳小结五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业六、布置作业 1教材 P34 习题 221 1、2 2选用作业设计 作业设计作业设计 一、选择题一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2） （x+5）=x2-1 3x2-=05x A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数 二、填空题二、填空题 1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？3 2关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？ 3一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的： 设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3 所以，_x_第二步： x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_x_ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分； （2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_，十分位为_实际问题 1. 正方形桌面的面积是 m2 ，求它的边长。可以直接计算出结果。提示根据正方形面积公式 S = a2 ，得到cm 可以用列方程求解吗？a2 = 新课导入2.两个连续正奇数的积是 255，求这两个数。实际问题 可以直接计算出结果吗？1，2，3，4，5，6 ?可以用列方程求解。提示设前一个奇数为 x ， 则后一个奇数为 x + 2x（ x 2 ） = 255整理，得x2 2x = 255 【知识与能力】 了解一元二次方程的概念、一般式 ax2 bx c = 0（a0）及其派生的概念。 应用一元二次方程概念解决一些简单题目。通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。 教学目标 【过程与方法】 通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。 【情感态度与价值观】 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型。 一元二次方程概念、一般形式及有关概念。 判定一个数是否是方程的根。 由实际问题列出的一元二次方程，解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。教学重难点x2 2x = 255 像这样的方程有广泛的应用，继续解决一些实际问题，总结一元二次方程的概念。 3. 用 11 cm长的铁丝，折成一个面积为 30 cm2的矩形，求这个矩形的长与宽.实际问题设矩形的长为 x cm，则宽为（11x ） cm ，x（ 11x）整理，得x2 11x = 30提示根据矩形的面积为30 cm2，得= 30几何图形面积问题 4. 长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m。若梯子底端向左滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。实际问题5 m3 m勾股定理问题3 m5 m设梯子滑动的距离为 x m， 则滑动后梯子顶端离地面（4x ）m ，梯子底端离墙（3x）m， 根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面 4 m，提示(4x)2 (3x)2滑动后，三边仍符合勾股定理，得= 525 mx4xx整理，得2x2 2x = 0实际问题 5. 你遇到过下面的难题吗？你知道竹竿有多长吗？请看动画。整理，得设竹竿的长为 x 尺， 根据勾股定理，得(x3)2 (x6)2= x2x218x45 = 0提示勾股定理问题3尺6尺x 3x 6观 察x2 2x = 255a2 = x2 11x = 302x2 2x = 0 x218x45 = 0这些方程有什么共同点？ 方程两边都是整式。 方程中只含有一个未知数。 未知数的最高次数是2。知识要点一元 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程（quadratic equation in one unknown）。二次 抢答抢答 下列哪些是一元二次方程？ 判断一个方程是否为一元二次方程，不能只看表面，能化简时应先化简。一元二次方程必须符合三个条件n 整式方程。n 一个未知数。n 未知数的最高次数为 2。x2 2x = 255a2 = x2 11x = 302x2 2x = 0 x218x45 = 0 一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？ax2 + bx +c = 0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a0一元二次方程的一般形式知识要点 当 a = 0 时，方程变为 bxc = 0 ，不再是一元二次方程。为什么要限制a0，b、c 可以为零吗？的强调ax2 + bx +c = 0n “ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有。n “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列。n “ = ”右边必须整理为 0。例题 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。 其中二次项系数为 4，解：去括号，得：移项，合并同类项，得一般形式为：一次项系数为 26，常数项为 22。例题 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。 其中二次项系数为 2，解：去括号，得：移项，合并同类项，得一般形式为：一次项系数为 2，常数项为4。x 两个连续正奇数的积是 255，求这两个数。设前一个奇数为 x ， 则后一个奇数为 x + 2，x（ x 2 ） = 255整理，得x2 2x = 255前面的“实际问题2”中：回顾1311143131951525511172551519500前面的“实际问题 4”中：回顾x 001 02 43 124 24 5 406 607845 m3 m设梯子滑动的距离为 x m，2x2 2x = 0 长 5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m。若梯子底端向左滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。x =17归纳当时，x = 15当时，x2 2x = 255x = 0当时，x = 1当时，2x2 2x = 0 x =17，x = 15 都是方程 x2 2x = 255 的解。x = 0，x = 1 都是方程 2x2 2x =0 的解。 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）。知识要点x =17，x = 15 都是方程 x2 2x = 255 的解。x = 0，x = 1 都是方程 2x2 2x =0 的解。两个连续正奇数的积是 255，求这两个数。x =17，x = 15 都是方程 x2 2x = 255 的解。 这两个解都是该实际问题的答案吗？观 察只有 x = 15 是该题的答案。即这两个正奇数为 15、17。注意 由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解。 抢答抢答 下列方程的根是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。1.一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的一般形式: 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 （a，b，c为常数，a0）的形式，称为一元二次方程的一般形式。课堂小结 也叫做一元二次方程的根。3. 一元二次方程的解： 4. 实际问题与一元二次方程的联系： 将实际问题转化为一元二次方程并得出解后，要考虑是否符合题目要求及实际情况。 1. 求证：关于 x 的方程（m28m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程。 证明： 即二次项系数不等于 0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程。随堂练习 2. 根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 ； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 ； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 ； （4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长 ； 3. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。原方程一般形式二次项系数一次项系数常数项514481042583174. 下面哪些数是方程 的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4 解：将上面的这些数代入后， 只有2和3满足方程的等式，所以 x =2或 x =3是一元二次方程的两根。 5. 试写出方程 的根，你能写出几个？根分别为0，1。习题答案1. （1）3x26x1= 0，3，-6，1 （2）4x25x81= 0，4，5，81 （3）x25x = 0，1，5，0 （4）x22x1= 0，1，2，1 （5）x210 = 0，1，0，10 （6）x22x2= 0，1，2，2