第四章 图形的相似-4 探索三角形相似的条件-利用角的关系判定三角形相似-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：72244).zip

4.4. 1 探索三角形相似的条件（1）1、根据相似多边形的定义，同学们能不能说、根据相似多边形的定义，同学们能不能说出相似三角形的定义？出相似三角形的定义？三角分别相等，三边成比例的两个三三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。角形叫做相似三角形。问题引入问题引入2、请同学们回顾一下，探索三角形全等的条、请同学们回顾一下，探索三角形全等的条件是从哪些方面去探究的？件是从哪些方面去探究的？3、全等三角形的判定最少需要几个条件？具、全等三角形的判定最少需要几个条件？具体有哪几种方法？体有哪几种方法？4、同学们，你认为探索三角形相似应该从哪、同学们，你认为探索三角形相似应该从哪些方面去探究？相似三角形的判定最少需些方面去探究？相似三角形的判定最少需要几个条件？要几个条件？问题引入问题引入三三角角：角角边边一边一边：两边两边：三边三边：边角边角一角一边一角一边：两角一边：两角一边：角角边边边角边角一角相等：一角相等：两角相等：两角相等：三三角角相等：相等：一边一边：两边两边成比例：成比例：三边三边成比例：成比例：一边一角：一边一角：一边两角：一边两角：两边一角：两边一角：根据三角形内角和定理，可将根据三角形内角和定理，可将三角问题与两角问题化归为同三角问题与两角问题化归为同一种情况。一种情况。由于一边无法对应成比例，因由于一边无法对应成比例，因此一边问题不去探究。此一边问题不去探究。由于一边无法对应成比例，因由于一边无法对应成比例，因此一边一角、一边两角化归为此一边一角、一边两角化归为一角和两角。一角和两角。类比猜想类比猜想三三角角：角角边边一边一边：两边两边：三边三边：边角边角一角一边一角一边：两角一边：两角一边：角角边边边角边角一角一角相等：相等：两角相等：两角相等：两边两边成比例：成比例：三边三边成比例：成比例：两边一角：两边一角：两边对角：两边对角：两边夹角：两边夹角：类比猜想类比猜想活动探究活动探究探究探究1、一角对应相等的两个三角形相似吗？一角对应相等的两个三角形相似吗？不相似不相似！活动探究活动探究探究探究2、两角对应相等的两个三角形相似吗？两角对应相等的两个三角形相似吗？两人一组，两人一组，一人画一人画ABC，另一，另一人画人画A1B1C1，使使A=A160B=B145同组画出的这两个三角形相似同组画出的这两个三角形相似吗？吗？与其他组的同学画出来的图形是否相似？与其他组的同学画出来的图形是否相似？ 请依据下列条件画三角形：请依据下列条件画三角形：活动探究活动探究相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。几何语言：几何语言：A=A1,B=B1ABCA1B1C1新课讲解新课讲解BA1C1B1AC要把对应点的要把对应点的字母写在对应字母写在对应的位置的位置5030100 30 301、下面两组图形中的两个三角形是否相似？、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60课堂练习一课堂练习一（1 1）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。( ( ) )（2 2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。( ( ) ) （3 3）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。( ( ) ) （4 4）有一个角是有一个角是100100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。( ( ) )（5 5）有一个角是）有一个角是7070 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。( ( ) ) （6 6）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。( ( ) ) 2 2、判断下列说法是否正确？并说明理由。、判断下列说法是否正确？并说明理由。课堂练习一课堂练习一例例如图：点如图：点D、E分别在分别在ABC的边的边AB、AC上，且上，且DE/BC。图中有哪些相等的角？图中有哪些相等的角？找出图中的相似三角形，并说明理由。找出图中的相似三角形，并说明理由。写出三组成比例的线段。写出三组成比例的线段。经典例题经典例题变式变式ABCDEF1、如图：在平行四边形如图：在平行四边形ABCD中，中，E是是BC延延长线上一点，长线上一点，AE交交DC于点于点F，试找出图中的相似，试找出图中的相似三角形。三角形。ADFECF，EBAECF，ADFEBA。课堂练习二课堂练习二 2 2、RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高，图上的高，图中有几对相似三角形？请找出它们，并说中有几对相似三角形？请找出它们，并说明理由。明理由。ABCACD，ACDCBD，ABCCBD。课堂练习二课堂练习二 如图：如图：AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距距墙墙80cm，梯上点，梯上点D距墙距墙70cm，BD长长55cm，你可，你可以计算出梯的长度吗？以计算出梯的长度吗？思考题思考题解：解：BCACBCAC， DEACDEACAA ED=ACBED=ACB又又A A为公共角。为公共角。ADEABCADEABC（两角对应相等两个三角形相似）（两角对应相等两个三角形相似） （相似三角形的对应边成比例）（相似三角形的对应边成比例）又又AB=AD+BD=AD+55AB=AD+BD=AD+55 ，BC=80BC=80，DE=70DE=70(AD+55)/AD=80/70(AD+55)/AD=80/70解得：解得：AD=385AD=385AB=AD+55=440AB=AD+55=440梯子的长度为梯子的长度为440440 cmcm。通过本节课的学习与探究通过本节课的学习与探究,你你有哪些收获有哪些收获?还有什么疑问还有什么疑问?现在请同学们回顾一下，把现在请同学们回顾一下，把你本节课的学习收获与小组成你本节课的学习收获与小组成员交流一下，把你的疑问让小员交流一下，把你的疑问让小组成员帮你解决一下。组成员帮你解决一下。课堂小结课堂小结4.4. 1 探索三角形相似的条件（1）1、根据相似多边形的定义，同学们能不能说、根据相似多边形的定义，同学们能不能说出相似三角形的定义？出相似三角形的定义？三角分别相等，三边成比例的两个三三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。角形叫做相似三角形。问题引入问题引入2、请同学们回顾一下，探索三角形全等的条、请同学们回顾一下，探索三角形全等的条件是从哪些方面去探究的？件是从哪些方面去探究的？3、全等三角形的判定最少需要几个条件？具、全等三角形的判定最少需要几个条件？具体有哪几种方法？体有哪几种方法？4、同学们，你认为探索三角形相似应该从哪、同学们，你认为探索三角形相似应该从哪些方面去探究？相似三角形的判定最少需些方面去探究？相似三角形的判定最少需要几个条件？要几个条件？问题引入问题引入三三角角：角角边边一边一边：两边两边：三边三边：边角边角一角一边一角一边：两角一边：两角一边：角角边边边角边角一角相等：一角相等：两角相等：两角相等：三三角角相等：相等：一边一边：两边两边成比例：成比例：三边三边成比例：成比例：一边一角：一边一角：一边两角：一边两角：两边一角：两边一角：根据三角形内角和定理，可将根据三角形内角和定理，可将三角问题与两角问题化归为同三角问题与两角问题化归为同一种情况。一种情况。由于一边无法对应成比例，因由于一边无法对应成比例，因此一边问题不去探究。此一边问题不去探究。由于一边无法对应成比例，因由于一边无法对应成比例，因此一边一角、一边两角化归为此一边一角、一边两角化归为一角和两角。一角和两角。类比猜想类比猜想三三角角：角角边边一边一边：两边两边：三边三边：边角边角一角一边一角一边：两角一边：两角一边：角角边边边角边角一角一角相等：相等：两角相等：两角相等：两边两边成比例：成比例：三边三边成比例：成比例：两边一角：两边一角：两边对角：两边对角：两边夹角：两边夹角：类比猜想类比猜想活动探究活动探究探究探究1、一角对应相等的两个三角形相似吗？一角对应相等的两个三角形相似吗？不相似不相似！活动探究活动探究探究探究2、两角对应相等的两个三角形相似吗？两角对应相等的两个三角形相似吗？两人一组，两人一组，一人画一人画ABC，另一，另一人画人画A1B1C1，使使A=A160B=B145同组画出的这两个三角形相似同组画出的这两个三角形相似吗？吗？与其他组的同学画出来的图形是否相似？与其他组的同学画出来的图形是否相似？ 请依据下列条件画三角形：请依据下列条件画三角形：活动探究活动探究相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。几何语言：几何语言：A=A1,B=B1ABCA1B1C1新课讲解新课讲解BA1C1B1AC要把对应点的要把对应点的字母写在对应字母写在对应的位置的位置5030100 30 301、下面两组图形中的两个三角形是否相似？、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60课堂练习一课堂练习一（1 1）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。( ( ) )（2 2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。( ( ) ) （3 3）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。( ( ) ) （4 4）有一个角是有一个角是100100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。( ( ) )（5 5）有一个角是）有一个角是7070 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。( ( ) ) （6 6）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。( ( ) ) 2 2、判断下列说法是否正确？并说明理由。、判断下列说法是否正确？并说明理由。课堂练习一课堂练习一例例如图：点如图：点D、E分别在分别在ABC的边的边AB、AC上，且上，且DE/BC。图中有哪些相等的角？图中有哪些相等的角？找出图中的相似三角形，并说明理由。找出图中的相似三角形，并说明理由。写出三组成比例的线段。写出三组成比例的线段。经典例题经典例题变式变式ABCDEF1、如图：在平行四边形如图：在平行四边形ABCD中，中，E是是BC延延长线上一点，长线上一点，AE交交DC于点于点F，试找出图中的相似，试找出图中的相似三角形。三角形。ADFECF，EBAECF，ADFEBA。课堂练习二课堂练习二 2 2、RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高，图上的高，图中有几对相似三角形？请找出它们，并说中有几对相似三角形？请找出它们，并说明理由。明理由。ABCACD，ACDCBD，ABCCBD。课堂练习二课堂练习二 如图：如图：AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距距墙墙80cm，梯上点，梯上点D距墙距墙70cm，BD长长55cm，你可，你可以计算出梯的长度吗？以计算出梯的长度吗？思考题思考题解：解：BCACBCAC， DEACDEACAA ED=ACBED=ACB又又A A为公共角。为公共角。ADEABCADEABC（两角对应相等两个三角形相似）（两角对应相等两个三角形相似） （相似三角形的对应边成比例）（相似三角形的对应边成比例）又又AB=AD+BD=AD+55AB=AD+BD=AD+55 ，BC=80BC=80，DE=70DE=70(AD+55)/AD=80/70(AD+55)/AD=80/70解得：解得：AD=385AD=385AB=AD+55=440AB=AD+55=440梯子的长度为梯子的长度为440440 cmcm。通过本节课的学习与探究通过本节课的学习与探究,你你有哪些收获有哪些收获?还有什么疑问还有什么疑问?现在请同学们回顾一下，把现在请同学们回顾一下，把你本节课的学习收获与小组成你本节课的学习收获与小组成员交流一下，把你的疑问让小员交流一下，把你的疑问让小组成员帮你解决一下。组成员帮你解决一下。课堂小结课堂小结探索三角形的相似条件（1） 教学设计 一、教材内容分析：探索三角形的相似条件（1） 选自课程标准实验教科书北师大版数学九年级上册第四章相似图形。本章是初中数学学习的重要内容之一，是研究全等图形的继续和深化，图形由全等进入相似，使认识扩大到了一个新的领域，具体表现在：线段关系从相等发展到成比例。全等三角形是相似形的特殊情况，从这个意义上讲，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，这一章所研究的问题实际上是在全等三角形知识基础上的拓宽与发展。同时，后续知识三角函数的概念、解直角三角形、圆的一些性质也是以相似形为基础的。所以图形的相似在整个教材中起着承上启下的作用。此外，在其它学科中，也要运到相似三角形的有关知识。本节课是探索三角形相似条件第一课时的内容，它是在学生学习了全等三角形的性质与判定，相似三角形的定义以及两个三角形相似对应角相等，对应边成比例这些知识的基础上进行的。在直观认识形状相同的图形基础上，探索与理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。因此这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。新课程标准强调：教师的有效教学应指向学生有意义的数学学习，有意义的数学学习又必须建立在学生的主观愿望和意识经验基础之上。为此，本节课以问题式教学与探索性学习为主。从简单的问题引入，以探索三角形全等判定条件为引子，然后过渡到三角形相似判定条件的探索。学生按教师所提出的问题进行思考，并在教师的启发下进行自主探索与合作交流。最后总结得出：两角对应相等的两个三角形相似的判定条件。通过练习学会用此结论去解决实际问题。通过本节课的学习，还可培养学生猜想、实验、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用。二、教学目标设置：1、通过运用三角形全等条件的探索方法，探索得出两角对应相等的两个三角形相似，并会用这一结论解决一些简单的问题。2、经历“类比猜想探索总结-应用”的活动过程，探索两角对应相等的两个三角形相似，进一步领悟类比的思想方法。3、在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究合作、交流意识，以及动手动脑和谐一致的习惯。重点：三角形相似条件的探索与应用。难点：三角形相似条件在运用时，如何找准相等的两组对应角。为此我引导学生用类比、探究等方法寻求判定两个三角形相似的条件，突出教学重点；采用基本图形的各种变式训练，强化三角形相似条件的应用，分解教学难点。三、学生学情分析学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在七年级下册已经接触过对三角形全等条件的探索，初步体会了类比方法在数学学习中的作用，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。教学过程中，创设直观形象，利于操作的问题情境，引起学生的极大关注，有利于学生对内容的较深层次的理解。多为学生创设自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究。但需承认学生之间的个体差异，对学有余力的学生要有提高、拓展的机会。对学困生要有一定的展示平台，在难点的突破上，要让他们最大程度的参与其中。四、教学策略分析数学新课程标准纲要指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现数学新课程标准纲要的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法。五、教学过程：活动一：创设情境，类比猜想同学们：前面我们用全等三角形的学习方法探究学习了相似三角形的定义与性质，请同学们口述一下？（定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；性质：三角对应相等，三边对应成比例）我们探究相似三角形依然离不开组成三角形的元素-边和角。本节课我们利用学习全等三角形判定的方法探究相似三角形的判定。（板书：探索三角形的相似条件（1）设问、交流：（1）探究三角形全等条件是从哪些方面去探究的？（角、边、边角结合三方面）（2）全等三角形的判定方法有几种？（角边角、边角边、角角边、边边边，直角三角形还可以用斜边直角边来判定。）（3）你认为探究三角形相似应该从哪些方面去探究？（角、边、边角结合三方面）（4）三角形全等最多需要几个条件？（3 个），你认为三角形相似最多需要几个条件？（3 个） 下面就请同学们从角、边、边角结合三方面具体探究一下，共有几种探索方案？（可小组交流讨论）角：一角对应相等的两个三角形是否相似两角对应相等的两个三角形是否相似三角对应相等的两个三角形是否相似（对于三角问题，根据三角形内角和，可将三角问题与二角问题化归为同一种情况。 ）边：一边对应成比例的两个三角形是否相似两边对应成比例的两个三角形是否相似三边对应成比例的两个三角形是否相似（由于一边对应不能成比例，因此一边问题不去探究）边角：一边对应成比例且一角对应相等的两个三角形是否相似一边对应成比例且两角对应相等的两个三角形是否相似两边对应成比例且一角对应相等的两个三角形是否相似（由于一边对应不能成比例，因此一边一角、一边两角问题也不去探究，而两边一角可以是两边对角，也可以是两边夹角）总结方案：一角：两角:角边两边：三边：边角:两边一角两边对角：两边夹角：【设计意图】：情境导入的目的是设疑激趣。这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情境之中，引导学生类比全等三角形判定的探究方法具体制定三角形相似判定的探索方案，在此渗透分类讨论、转化等数学思想。活动二：活动探究，得出结论我们首先从角开始探索：1、探究：一角对应相等的两个三角形是否相似？（学生举例或画图后，教师演示）得出结论：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件，一个角对应相等的三角形不一定相似。【设计意图】：这里降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象。2、探究：两角对应相等的两个三角形是否相似？请同学们依据下列条件画三角形：两人一组，一人画ABC，另一人画A1B1C1，使A=A160 ， B=B1 45 。 画完后，思考：这两个三角形是否相似？ 为什么？在这里，由于画图、度量的误差，学生会出现两种结果，一种认为相似，另一种认为不相似。这时教师引出几何画板，让学生在几何画板上画三角形ABC 和A1B1C1，并通过度量计算得出两个三角形是相似的。在此基础上，教师出示课前在几何画板上画的满足两角对应相等的两个三角形，再次让学生度量计算得到这两个三角形也是相似的。最后教师演示：当改变角的大小，但始终保持两角对应相等，让学生观察知道:角的大小在变，边的长度也在变，但三边对应的比值始终保持相等这一事实。从而总结得出结论：两角对应相等的两个三角形相似。结合图形你能用符号语言描述吗？符号表述： A=A ，B=B ， ABCA BC 。【设计意图】：这里学生通过动手操作验证结论时，出现了思维的碰撞，借机教师用几何画板让学生进一步验证结论，比较直观和形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角形相似这一结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣。同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程。而且在动手操作、合作交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解不断加深。并引导学生将文字语言转化成图形语言和符号语言。CCBBAA活动三：初步应用，达成目标题组练习一：1、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？50301003030ACBA1C1B1DEFABC602、判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）所有的直角三角形都相似。( )（2）所有的等腰直角三角形都相似。( ) （3）所有的等腰三角形都相似。( ) （4）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。( )（5）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。( ) （6）所有的等边三角形都相似。( )【设计意图】第1题让学生首先独立思考，在此基础上进行合作交流；第2题让学生思考、举反例，渗透反证法的思想。做到规范说理要求，达到初步应用三角形相似条件的目的。活动四：典例示范，应用拓广例 1、如图，点 D、E 分别是ABC边 AB、AC 上的点，且DEBC。ECBAD（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由。（3）写出三组成比例的线段。变式一：如图，当点 D、E 分别移动到边 AB、AC 的延长线上时，且 DEBC，ADE 与ABC 相似吗？为什么？ECBAD变式二：如图，当点 D、E 分别移动到边 BA、CA 的延长线上时，且 DEBC，ADE 与ABC 相似吗？为什么？ ECBAD我们在刚才做练习时，要说明两个三角形相似的关键是什么？（找两个角对应相等） ，而平行线正好可以创造出角相等-同位角相等，内错角相等。因此，我们以后做题时，看到平行线就要找一找图中是否有相似三角形，以便帮助我们解决问题。变式三：如图，当 DE 不平行于 BC 时，ADE 与ABC 还可能相似吗？满足什么条件时可以相似？CEABD 【设计意图】：这里我把教科书作为学生数学学习的素材，并利用图形的多种变换让学生初步感受相似形的几何模型。引导学生主动观察、猜想、推理、合作与交流，使学生在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识理解的有效学习策略。题组练习二：1、 如图：在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 延长线上一点，AEDCBA交 DC 于点 F，试找出图中的相似三角形。FDACBE2、在RtABC中，CD是斜边AB上的高，图中有几对相似三角形？请找出它们，并说明理由。【设计意图】：以上 2 个问题旨在让学生进一步熟悉相似形的几何模型，让学生独立完成后展示交流，体现了对学生思维、说理的教学，培养学生逻辑思维能力。题组练习三： 如图：AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm，BD 长 55cm，你可以计算出梯的长度吗？解：BCAC， DEACA ED=ACB=900 又A 为公共角。ADEABC（两角对应相等两个三角形相似）(（相似三角形的对应边成比例）DEBCADAB又 AB=AD+BD=AD+55，BC=80，DE=70(AD+55)/AD=80/70解得：AD=385AB=AD+55=440梯子的长度为 440 cm【设计意图】：这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化。使学生创造性的将数学知识应用于实践，并在实践中获得创造的成功感。更重要的是学生的创造思维在实践中得到了锻炼，培养了学生数学建模的意识。活动五：课堂小结，能力提升：现在请同学们回顾一下，把你本节课的学习收获与小组成员交流一下，把你的疑问让小组成员帮你解决一下。【设计意图】：这里通过小组交流方式小结本节知识，使学生领悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐步养成学习、总结的好习惯。本节课我们从角的方面探究得到：两角对应相等的两个三角形是相似的。课后有兴趣的同学从边的方面探究一下，看边要满足什么条件两个三角形也可以相似。