1、1第三章第三章概率概率的进一步认识的进一步认识3.3. 2 2 用频率估计概率用频率估计概率一、学情分析一、学情分析学生的知识技能基础：在七年级学生已经初步认识了频率与概率之间的关系，并掌握了求简单的随机事件概率的方法. 在本章第 1 节，学生又进一步学习了求涉及两步试验随机事件概率的方法画树状图和列表， 学生对频率与概率的理解随着数学活动经验的不断积累已初步得到发展， 完全具备进一步学习较为复杂随机事件的能力和知识基础.学生的活动经验基础：在之前的学习中，学生已经经历了一些统计活动，用频率估计简单事件发生的概率， 在这一活动中获得本节课所需要的一些活动经验. 同时，他们也积累了一定的合作学习
2、经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、任务分析二、任务分析本节课是让学生经历实验、统计等活动过程，进一步丰富活动经验，并深刻体会统计与概率的联系。本节课的具体学习任务：估计 50 人中有 2 个人生日相同的概率，用实验频率来估计复杂事件发生的概率.三、教学目标三、教学目标1、经历收集数据、试验、统计等活动过程，积累活动经验，体会概率与统计的关系，进一步发展合作交流的意识和能力.2、进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；能用试验的方法估计一些随机事件发生的概率.3、通过有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.四、教学重、难
3、点四、教学重、难点本节课的重点本节课的重点是掌握试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。本节课的难点本节课的难点是设计试验方案.五、教学过程五、教学过程2第一环节：课前准备，收集数据（提前布置）第一环节：课前准备，收集数据（提前布置）内容：内容：以 5 人合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查 10 个人的生日、生肖. （数据统计要方便使用）目的目的：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学， 能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性，同时启发学生思考：怎样做可以使数据的统计更有效率，统计结果更便于使用？以此突出本节课的教学重点，切实
4、提高课堂效率. 另一方面，也锻炼了学生的社交能力.预期预期：学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课前准备时，教师提醒尽量避免调查相同的人，如：本班同学等。第二环节：情境引入第二环节：情境引入内容：内容：播放电视剧红楼梦中贾宝玉过生日片段.目的目的：以电视剧片段开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣.预期：预期：学生置身于情境之中，并陷入思考：为什么“便这等巧？”第三环节：提出问题，认知冲突第三环节：提出问题，认知冲突内容：内容：教师提出问题串（1）400 位同学中，一定有 2 同学的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢？（2）300 位同学中，一定有 2 同学的
5、生日相同（可以不同年）吗？（3）可有人说“50 个同学中，就很可能有 2 个同学的生日相同. ”你同意这种说法吗？目的目的：生日问题紧紧贴近学生生活，迅速吸引学生的注意力，极大地调动了学生的积极性和参与意识. 问题（3）的提出与学生的直觉形成强烈认知冲突，激发学生探究欲望.预期预期:对于问题（1） ，学生能给予肯定的回答“一定” ，对于能力比较强的学3生可以用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学生会给出如下的解释： “一年最多 366 天，400 个同学中一定会出现至少 2 人出生在同月同日，相当于 400 个物品放到 366 个抽屉里， 一定至少有 2 个物品放在同一抽屉里抽屉原理： 把 m个
6、物品任意放进 n 个空抽屉里（mn） ，那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个物品” 。 （若学生能用“抽屉原理”解释，教师应给予表扬. ）对于问题（2） ，学生会给出“不一定”的答案。此时学生凭直觉会断定可能性较大.对于问题（3） ，学生会表示怀疑，认为“不太可能” ，与问题中的观点形成强烈的反差. 此时教师提出问题：该问题中，每个人的生日有多少种等可能的结果？50 个人的生日有多少种等可能的结果？是 366 种吗？在学生感悟到这一事件的复杂性，处于困顿与迷茫中，顺势引出下一环节.第四环节：交流碰撞，明确方法第四环节：交流碰撞，明确方法内容：内容：1、 “50 个人中有 2 人生日相同”的可
7、能性大吗？怎样说明你的观点是否正确？与同伴交流.2、如果我们班 50 个同学中有 2 个同学生日相同，那么说明 50 人中有 2 人生日相同的概率是 1 吗？为什么？3、如果我们班 50 个同学中没有 2 个同学生日相同，那么说明 50 人中有 2人生日相同的概率是 0 吗？为什么？目的目的：通过前面环节的铺垫，在此以开放性的问题促进学生进一步思考，在交流与碰撞中，水到渠成地使学生感悟到“用实验的方法估计这一复杂事件的概率”的必要性.预期：预期：问题（1）学生在交流中，会回顾上节学过的求概率的方法，出现两种可能情况： （1）有的学生会试图用画树状图或列表求概率的理论值，但很快就感受到其复杂性而
8、终止. （2）还有的同学会从家人中，同学中寻找是否有生日相同的. 对于这两种不同的思路， 教师都应该给予积极地引导性评价. 例如，“你们发现这一事件的本质是等可能事件；认识到概率与统计之间有关系. ”问题（2） 、问题（3）学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如：随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，说它的确概率为 1，国徽面4朝下的概率为 0. 显然是错误的， 我们知道它们的概率均为 0. 5. 随意抛掷一枚骰子， “6 朝上”时我们说“6 朝上”的概率为 1，6 朝下的概率为 0，显然也是错误的，我们知道它们的概率为 1/6. 在此基础上，教师还应继续追问：通过对家人和
9、同学的调查，你能由此确定“50 个人中有 2 人生日相同”的概率吗？如何得较为准确的结论？在教师的追问中，学生就会想到通过大量重复试验，用频率来估计“50 个人中有 2 人生日相同”的概率，顺利进入下一环节.第五环节：合作交流，设计方案第五环节：合作交流，设计方案内容：内容：请你尝试设计试验方案，估计“50 个人中有 2 个人生日相同”的概率，并与同伴交流.（教师在学生试验后，展示自己课前调查的学校 50 人班级学生生日. ）目的目的： 通过具体收据数据、 实验、 统计结果过程， 丰富学生的数学活动经验，对本节课有更直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大.预期预
10、期：在这一环节中，教师要鼓励学生进行设计和表达，在交流讨论中完善实验方案. 基于课前学生的调查、讨论和交流，以及前几个环节的学习，学生已理解了这一事件的本质，实验方案也已形成，表现的时刻终于到来，一次学生积极性会很高. 教师要引导学生反思每种方案的注意事项以及其优劣，加深学生对设计方案的的理解，突破难点.结果可解释红楼梦生日相同“遇的巧”的问题.学生可能要设计的方案：方案一：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取 50 个数据进行实验（如 2520） ，从某行某列开始，自左而右，自上而下， ，选出 50 个数）.方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机
11、抽取.方案三：从 50 个同学手里随机抽取一个调查数据，组成 50 个数据.方案四：全班分成 10 个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取 5 个，然后 10 个小组的结果放在一组成 50 个数据. 激励学生提出更好的活动方案，如：产生 1366 之间某一自然数随机数的方法；分工制作 1366 自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回5去，再随机抽取，直至抽出 50 张；在不透明袋中放入 366 个球，分别标上 1366，除颜色外，其余都相同，随机摸出一球，记下号码，放回摇匀再随机摸，直至摸出 50 个，多次重复试验，并估计出 50 人中有 2 人生日相同的概率，此为模
12、拟试验. （学生如有提出这个方案，教师应给予导向性评价，如： “思维很深刻，发现这一事件的本质，操作简单”等）试验结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉： 人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情， 试验结果频率却很大. 这时再出示“n 个人中至少有 2 人生日相同”的概率大小表：npnpnpnpnp200. 4114290. 6810380. 8641470. 9548560. 9883210. 4437300. 7105390. 8781480. 9606570. 9901220. 4757310. 7305400. 8912490. 9658580. 9917230. 507
13、3320. 7533410. 9032500. 9704590. 9930240. 5383330. 7750420. 9140510. 9744600. 9941250. 5687340. 7953430. 9239520. 9780260. 5982350. 8144440. 9329530. 9811270. 6269360. 8322450. 9410540. 9839280. 6545370. 8487460. 9483550. 9836第六环节：方法提炼，变式探究第六环节：方法提炼，变式探究内容：内容：(1)同学们设计的实验方案可以分几类?谈谈你的看法.(2)在这之前的概率学习中,
14、用过类似的方法吗?(3)请你课下设计一个方案,估计 6 个人中有 2 个人生肖相同的概率.目的目的: :这一环节起到承上启下的作用. 问题(1)和问题(2)逐步引导学生感悟模型思想. 问题(3)将生日问题替换成生肖问题,既可以巩固方案设计的认识和理解,又能深刻体会方法的迁移,为下一环节做好铺垫.预期预期: :对于问题(1),学生能较为顺利地将设计方案分成两大类:一类是真实调查,一类是模拟实验.对于问题(2)学生能联想到掷骰子、转转盘、摸球、摸纸牌等游戏，认识这些游戏的共同之处.6对于问题（3）教师应鼓励学生勇于表达，如有不完善之处，不应给予告知答案，而应请其他同学补充完善.第七环节：方法迁移，
15、类比应用第七环节：方法迁移，类比应用内容：内容：（1）一个口袋中有 3 个红球，7 个白球。这些球除颜色外都相同. 从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？（2）将问题(1)口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色并放回，不断重复这一过程，共模了 100 次球，大约会有多少次红球？多少次白球？（3）一个不透明的袋子中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同.如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计红球和白球的比例呢？（4）你还能提出并解决那些与问题（3）类似的问题？目的目的：这一环节将复杂的生日问题换成一个简单的摸球实验，呈现 4 个不同梯度的问题，逐层递进，问
16、题（1）与问题（2）引导学生再次体会概率与频率之间的关系，进一步感受统计推断的合理性. 问题（3）通过“摸球试验”与“生日相同的试验”类比，体会两者质检方法的联系，应用频率与概率的关系求解比例或者数量问题，培养学生知识和方法的迁移能力. 问题（4）引导学生将此类方法进行延伸，进一步发展学生发现问题、提出问题的意识和能力，以及用统计概率解决问题的能力.预期：预期：对于问题（1）和问题（2） ，学生能顺利得出正确结论，从而为问题（3）的解决扫清障碍，奠定基础. 问题（2）应让学生当堂试验验证，在试验中进一步体会统计推断的合理性. 对于问题（3）学生会用字母表示比例，同时受前面环节的影响，学生会想到
17、用统计的方法估计红球与白球的比例. 对于问题（4） ，学生一般能想到可以估计数量. 比如一个口袋中有 8 个红球和若干个白球， 如果不将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗？如果口袋中只有若干个白球，没有其他颜色的球，而且不将球倒出来数，那么你如何估计出袋中的白球数？如果学生缺乏思路，教师可适当进行点拨或留给学生课下思考.第八环节：归纳小结，思维升华第八环节：归纳小结，思维升华内容：内容：师生共同总结本节内容7（1）请从知识、方法角度谈谈你的收获.（2）你的困惑是什么？你还想继续研究什么问题？（3）哪位同学的表现值得你学习获让你惊喜？目的目的：帮助学生养成归纳总结的良好习惯，培养反思意识，
18、在归纳总结中加深对知识和方法的理解与感悟. 问题（2）给学有余力的同学搭建平台，激发学生继续思考，大胆探索. 问题（3）鼓励学生善于学习他人的优点，勇于表达自己的观点.预期：预期：学生从知识、方法、学习品质等不同角度畅谈自己的收获与感想.对于问题（1） ，学生会总结如下：本节课经历了猜想、调查、试验、统计结果、合作交流的过程，知道了用大量重复试验的频率来估计一些复杂随机事件的概率. 当试验次数较多时，试验频率稳定于理论概率. 知道了“直觉并不可靠” ， 本节 “50 人中有 2 人生日相同” 的概率竟高达 0. 97， 这有违我们的“常识. 生活中有很多看似巧合，实则平凡的现象，如果我们用科学
19、的方法研究一下其概率，就会“透过现象看到本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的唯物主义世界观.对于问题（2） ，部分学有余力的学生会提出“假如不知总量，如何用试验的方法估计总量？”这也许就是学生要继续研究模拟试验. 对于学生的表现，教师应从不同的角度予以具体的引导性评价.第九环节：布置作业，巩固应用第九环节：布置作业，巩固应用内容：内容：（1） 、课本 P71习题 3. 4（2）收集有关概率的文章，体会生活中的概率.（3）写一篇有关生日相同概率的小文章，谈谈你的体会与发现.六、教学反思六、教学反思1、教材是教与学的素材，可以充分利用、拓展、丰富、创新. 本节课教材提出的生
20、日相同的问题，教师可充分发挥学生的想象能力，发散思维，设计多种多样的活动方案，完成本节教学任务，更重要的是发展学生的学习能力，合作与交流的能力.82、学生是学习的主体，课堂也就应以学生为主体，教师起主导作用，多用积极导向性的评价、恰当的引导，激发学生的学习兴趣，提高学习数学的积极性、主动性，让学生成为课堂学习的主人. 同时也为学有余力的学生课后探究做好了预设，将研究延伸到课下更广阔的天地中.3、应注意的问题：由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张，需要在活动过程中老师加以引导，以便节省时间，按计划完成本节课教学任务. 对学困生在小组里的表现应予以更多关注，多鼓励其参与，并给予指导，使其完成一些力所能及的任务，产生成就感.
