1、1中考第一轮复习中考第一轮复习课题：课题：相似三角形复习相似三角形复习（1）1.考纲要求考纲要求（1）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似（2）了解相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方（3）会利用相似三角形解决一些简单的实际问题2.教材分析教材分析知识层面知识层面：相似三角形是初中几何的重要内容之一，全等是相似的一种特殊情况，所以相似三角形的知识是全等三角形知识的拓广和发展。相似三角形作为工具，应用广泛，在“锐角三角函数”和“投影与视图”中要用到相似的知识，与三角形、
2、四边形、方程、函数、圆联系紧密，是几何综合题中主要的算证手段，另外在实际生活中，比如测高测距等方面也都要用到相关的知识，因此这一内容的复习对学生具有重要意义，是中考第一轮复习的关键教学点。能力层面能力层面：本节课由动手画图的引子引出一组相似的基本模型，培养学生归类的能力；利用这组基本模型对相似三角形的判定和性质进行复习，培养学生在解题时提炼基本模型（ “A”型和“X”型）的能力；通过基本模型的运动变换关系的演示，让学生了解图形的联系和变化，培养学生的图感，会用全等变换的眼光去认识和观察图形，提升空间与图形的能力；对典型例题及变式题的探究，提炼出了“三垂直”模型。进一步培养学生从几何图形中发现相
3、似基本模型，并利用基本模型来解决简单问题，培养学生观察分析，提炼模型，解决问题，总结归纳的能力.思想层面：思想层面：本节课的教学始终贯穿着数形结合的思想，把几何问题转化为方程、函数等代数问题来解决，渗透了分类讨论的思想和一般与特殊的思想.3.3.学情分析学情分析本节课之前学生已经复习了方程、函数、三角形的全等和图形的全等变换等，学生已经积累了一定的数学复习经验，具备了一定的综合分析和知识的融会贯通的能力，为本节课的复习奠定了基础，相似三角形在第一轮的复习中安排 2 课时，本节课作为第一课时主要面向全体学生，立足于模型的认识和理解、基础知识的系统化和基本技能的牢固化，为下一节课较为综合问题的解决
4、及在复杂图形中发现相似三角形做好充分的准备。【教学目标】知识与技能知识与技能：掌握相似三角形的基本模型，了解相似三角形的性质和判定，能够充分发挥模型的作用结合相似三角形的相关知识进行证明、计算及解决一些实际生活中的简单问题，提高解决问题的能力.过程与方法：过程与方法：通过对基本模型的提炼、变换、应用和拓展，对相似三角形的相关知识进行了回顾，对常见模型进行归类总结，培养学生观察分析，总结归纳能力，主要体验了数形结合思想方法的运用,渗透分类讨论及特殊与一般的思想.情感与态度：情感与态度：让学生动手操作以及多媒体的动画直观演示，让学生体验学习数学的轻松与快乐，激发学习的兴趣；在学习过程中适当渗透数学
5、与实际生活的联系，让学生体会学习数学的价值；让学生在经历动手、观察、分析、解决问题、归纳总结中获取知识的系统化。【教学重点教学重点】相似三角形的重要基本模型的构建、变换和提炼，并利用基本模型解决问题。【教学难点教学难点】理解相似三角形的基本模型，能从几何图形中发现或构造基本模型.【教学策略教学策略】引导式教学，利用截三角形，多媒体的动画直观演示和典型例题来突破难点.【教学过程教学过程】2第一环节第一环节 例题引课，梳理知识框架例题引课，梳理知识框架（一）动手操作，引出一组基本模型（一）动手操作，引出一组基本模型（ “A”型和型和“X”型）型）在ABC中，ABAC,过 AB 上一点 D 作直线交
6、 AC 边于点 E， ，使所得的三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.再问：平移你所画的直线 DE，使之与 AB、AC 的延长线相交,你又能画出满足条件的图形吗？收集学生不同的画法如下：平截型相似斜截型相似（板书整理出这一组基本模型）（板书整理出这一组基本模型）【设计意图】【设计意图】让学生通过画图自己构造出这一组相似的基本模型，对模型有了直观的认识，让学生通过画图自己构造出这一组相似的基本模型，对模型有了直观的认识，无论无论 DE 在三在三角形的内部还是外面，角形的内部还是外面， 归结起来就是两种情形：一种是平行截使归结起来就是两种情形：一种是平行截使ACBAED；一种是斜截，使；一种是
7、斜截，使ABCAED,让学生通过作图，体验学习几何的轻松，并学会把复杂问题归类让学生通过作图，体验学习几何的轻松，并学会把复杂问题归类.（二）梳理知识点（二）梳理知识点ACBDEACBD（E）ACBDEACBEDDEACBACBDACBDEACBED3定义三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比.一般用k来表示， （当1k时，两三角形全等，全等是相似的一种特殊情况）性质边，角ABCDEFDAEBFCDFACEFBCDEAB对应线段相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比周长相似三角形的周长比等于相似比面积相似三角形的面积比等于相似比的平方判
8、定已知条件图形几何语言2 角2 边 1 角3 边【设计意图【设计意图】在数学复习课中在数学复习课中，回顾整理知识是复习的起点回顾整理知识是复习的起点，由于新课学习与总复习间隔一段时间了由于新课学习与总复习间隔一段时间了，所所以通过表格帮助学生进行知识系统化的梳理，唤起其对已学过知识的回忆以通过表格帮助学生进行知识系统化的梳理，唤起其对已学过知识的回忆.第二环节第二环节基础技能固化基础技能固化，加强理解，加强理解1.若两个相似三角形的相似比是 1：2，则较小三角形与较大三角形对应高的比为_.2.如图，在ABC中，DE/BC,23DBAD,那么._BCEDADESS四边形ABCDFEABCDEFA
9、BCDEFABCDFEADEBCEABDOCABDCAEBD第 2 题第 3 题第 4 题第 5 题CDEFABCEBEFBCDEABDEFABCEBDADEFABCDFACEFBCDEAB43.如图，在ABC中，BD , CE 分别是边 AC , AB 上的中线，BD 与 CE 相交于点 O , 则._ODOB4.如图，点 D 在边 AB 上，AD=4，BD=5,BACD,则 AC 的长_.5.如图， 为了估算某河的宽度， 在河的对岸选定一个目标点 A， 在近岸取点 B,C,D,使得BCCDBCAB,点 E 在 BC 上， 并且点 A,E,D 在同一直线上.若测得 BE=20m , CE=1
10、0m , CD=20m , 则河的宽度 AB 等于_（给学生时间独立完成，嘱咐先做完的学生考虑一下这几个图形与黑板上的模型有什么关系）【设计意图】此环节设置的题型与第一环节模型和知识点的归纳联系紧密，【设计意图】此环节设置的题型与第一环节模型和知识点的归纳联系紧密， 利用模型解题利用模型解题，后后 4 题属于基础达标训练，是题属于基础达标训练，是“A 型型”和和“X 型型”的典型题目，通过这的典型题目，通过这 4 题引导学生在判断题引导学生在判断相似时，应注意利用图形中的公共角、公共边等隐含条件，要充分发挥基本模型的作用，依相似时，应注意利用图形中的公共角、公共边等隐含条件，要充分发挥基本模型
11、的作用，依据基本模型对相对复杂的图形进行分解，培养学生观察图形，分析问题，运用所学知识解决据基本模型对相对复杂的图形进行分解，培养学生观察图形，分析问题，运用所学知识解决问题的能力。问题的能力。第三环节：基本模型之间的运动变换关系第三环节：基本模型之间的运动变换关系及提炼双垂直模型及提炼双垂直模型(几何画板动画演示）几何画板动画演示）重点分析以下两个特殊模型两组特殊边之间的数量关系重点分析以下两个特殊模型两组特殊边之间的数量关系： （公共边是共线边的比例中项）（公共边是共线边的比例中项）【设计意图【设计意图】 利用相似三角形证明问题利用相似三角形证明问题， 关键要能够从复杂的图形中发现和寻找相
12、似关键要能够从复杂的图形中发现和寻找相似， 这也是学生的难点这也是学生的难点，而复杂的图形基本上都可以看成由基本图形组成的，所以如果能够熟悉一些基本图形，则往往目的明确而复杂的图形基本上都可以看成由基本图形组成的，所以如果能够熟悉一些基本图形，则往往目的明确，事半功倍事半功倍。此环节通过构造不同的基本图形此环节通过构造不同的基本图形，并利用多媒体的动画直观演示几个相似模型之间的关系以及并利用多媒体的动画直观演示几个相似模型之间的关系以及相似与平移相似与平移、旋转旋转、轴对称等图形运动的联系轴对称等图形运动的联系，并且对常考的重点模型边的数量关系较详细分析并且对常考的重点模型边的数量关系较详细分
13、析，加深对加深对相似基本能图形的理解相似基本能图形的理解，体现数形结合的思想体现数形结合的思想，渗透分类讨论的思想渗透分类讨论的思想，培养学生的图感和全面思考问题的培养学生的图感和全面思考问题的ACBD1ADBCACBD（E）“X”型ADBC特殊情况ACBDEACBDEDEACBACBED旋转翻折E 与 C 重合旋转“A”型“双垂直” 型及拓展图BDADCDABBDBCABADAC2225习惯，有效突破难点习惯，有效突破难点.第四环节第四环节典例分析典例分析，提炼三垂直模型，提炼三垂直模型例题：如图，在平面直角坐标系中，例题：如图，在平面直角坐标系中，) 10(),03(， BA， 在第一象限
14、内有一点在第一象限内有一点 C 满足满足AABAC于,且且102AC, 则点则点 C 的坐标为的坐标为_.在此题基础上提炼出“三垂直模型” ： （板书画出）变式：在直角梯形 ABCD 中，AD/BC,90ABC,AB=8，AD=3，BC=4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则 AP 的长是_.【设计意图】做辅助线构造相似，是学生的难点，例题以直角坐标系中求点的坐标作为背景，设计意图】做辅助线构造相似，是学生的难点，例题以直角坐标系中求点的坐标作为背景， 有利于引有利于引导学生过点导学生过点 C 作作 X 轴的垂线，从而构造出轴的垂线，从而构造出“三垂直模型三垂直模型
15、” ，有效突破难点；动点产生的相似三角形的问题，有效突破难点；动点产生的相似三角形的问题是教学难点是教学难点，是分类讨论的重要题型是分类讨论的重要题型，变式题是为了更好的突破这一难点变式题是为了更好的突破这一难点，同时也是同时也是“三垂直模型三垂直模型”的典的典型题目。型题目。第五环节：第五环节：技能巩固，能力技能巩固，能力提升提升1、如图，CD 是O的弦，AB 是直径，且ABCD ,垂足为 P.求证：PBPAPC2【设计意图】【设计意图】第第 5 题属于中档题，需要添加常见辅助线构造出题属于中档题，需要添加常见辅助线构造出“双垂直双垂直”模型模型.AOCBxyEACBDDAPBCCBADPO
16、62、如左下图，点如左下图，点 B,P,CB,P,C 在同一直线上，若在同一直线上，若901CB，则，则ABPPCD成立成立.（1）模型拓展如图（1） ，点 B,P,C 在同一直线上，若CB1，则ABPPCD成立吗？为什么？（2)模型应用如图（2） ，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，点 P 是 BC 上的一点，且 BP=2 ，作BAPQ,PQ 交 AC 于点 Q，求 CQ 的长.如图（3） ，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是 BC 上的动点，作90APQ，PQ 交 CD 于 Q，当 P在何处时，线段 CQ 最长？最长是多少？【设计意图【设计意图】此题主要考查的是相似判定和性质此
17、题主要考查的是相似判定和性质、正方形的性质和二次函数最值的综合运用正方形的性质和二次函数最值的综合运用，主要是三垂主要是三垂直模型及拓展图的应用，把几何问题转化为方程、函数等代数问题，主要体验数形结合的思想方法直模型及拓展图的应用，把几何问题转化为方程、函数等代数问题，主要体验数形结合的思想方法.此题中提炼出了三垂直型的拓展图：第六环节：课堂小结第六环节：课堂小结师生共同小结：这节课你收获了什么？1. 认识了常见的相似三角形的基本模型，通过图形的运动变换感受到了图形之间的关系；（表格归纳总结展示）2. 会利用相似三角形的判定和性质进行计算和证明；3. 能利用相似三角形解决简单的实际问题；4.
18、进一步体会了数学解题中的重要思想方法，数形结合思想方法等.EABDC1AB1PDC(1)1CDAPBQCPBA(2)BACPDQ（3）7模型归纳总结模型归纳总结模型模型图形图形条件条件结论结论“A”型型BCDE /ADEABCC1BAED或ADEACB“X”型型BCDE /CDBE或ADEACB双垂直型及拓展图双垂直型及拓展图90ADCACBABADAC2ABBDBC2BDADCD2B1ACDABCABADAC2三垂直型及拓展图三垂直型及拓展图（一线三等角）（一线三等角）90DABECACBBDEDC1ACBBDE第七环节：课后反馈作业第七环节：课后反馈作业导与练第导与练第 6163 页共页共
19、 15 题（其中第题（其中第 14、15 题是综合性较强的几何图，作为选做题）题是综合性较强的几何图，作为选做题）ACBDEACBDE1ACBEDADBCEACBDEABDC1ACBD1DEACBABCADE8【教学反思】【教学反思】相似三角形作为工具，应用广泛，是中考中的重要考点，而且难度较大，是几何综合题中主要的算证手段，但在复杂的几何图形中发现或构造相似三角形，是学生的难点，而复杂的图形基本上都可以看成由基本图形组成的，所以如果能够熟悉一些基本图形，那么在解决一些综合题时就可以套用模型，往往事半功倍，所以模型的重要性不言而喻，因此作为相似三角形复习课的第一课时，我侧重于相似三角形重要基本
20、模型的认识、归类和简单运用.本节课的设计条理清晰，重点突出，即模型的生成并利用模型解决问题；借助学生动手画图，几何画板直观演示，典型例题剖析等手段有效突破难点.从简单的作图构造出基本模型，到图形的运动变换中提炼特殊双垂直模型，再到典型例题中的作辅助线构造相似三角形从而提炼出三垂直模型，最后到模型的拓展和运用，由易到难，层层深入，利用多媒体技术辅助教学，调动学生的学习积极性，丰富了感观，培养了图感，提高学习效率，虽然容量大，但是问题设置难度适中，问题的解析侧重中偏下能听懂，所以每一环节的进行都显得水到渠成，虽然本节课是校外交流课，跟学生事先没有任何的沟通交流，但是课堂效果还是很不错的，学生的完成情况基本在预设之中，让学生在较为轻松愉快的学习过程中获得进步，符合新课程标准的要求.本节课采用的是启发式教学，体现了以教师为主导、学生为学习主体，作为复习课，给学生充分的时间和空间独立解决问题.
