1、1 / 7三角形的面积三角形的面积【设计理念】【设计理念】本课教学基于数学史展开。早在 19 世纪，德国生物学家海克尔就提出：一个个体的发育史会重蹈其种族的发展史。这表现在数学学习中，就是学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似。本课教学，将三角形面积的数学史融入整个探究过程，既提高学生的学习兴趣，又作为间接经验，丰富数学活动经验，促进学生对知识的理解，切实感受数学课也是理性与感性齐飞，思维与人文共舞的场所。【教学内容】【教学内容】西师版五年级上册第五单元 P 82。【教材分析】【教材分析】三角形的面积是西南师大版五年级上册 “多边形的面积”单元的第二节。从知识体系来看，它是三年级下册“面
2、积和面积单位”和四年级下册“三角形”的延伸，又是继长方形、正方形、平行四边形面积学习之后的又一个平面图形的面积学习，还将为后续学习梯形面积、圆面积和立体图形表面积打下知识和思想方法的基础。从知识结构来看，平行四边形的面积学习既为本节课打下了认知基础，也奠定了思维基础，即转化思想。然而，上一节主要体现在剪拼，本节课却主要突出倍拼，转化方式略有不同。从知识的应用价值来看，面积公式的学习可以计算和解决我们实际生活中很多关于面积的一些问题。【学情分析】【学情分析】学生已经了解三角形的特征，掌握面积概念和平行四边形面积计算公式及推导方法，能将简单图形进行平移和旋转，对探究学习并不陌生，但在探究学习过程中
3、，往往是盲目探究，因此，组织学习素材，让学生形成合理的猜想，进行有方向的探究也是教学中需要关注的问题。【教学目标】【教学目标】1.在具体情景中通过剪、拼等活动，理解并掌握三角形面积计算公式，能运用公式正确计算三角形的面积。2.经历猜想、操作、验证、归纳等过程，培养观察、分析、创新、概括等能力，发展空间观念，感悟转化和辩证思想。3.通过情景串培养探究、合作、批判、创新精神，感受数学文化的魅力，提高学习数学的兴趣。【教学重点】【教学重点】通过转化理解并掌握三角形的面积计算公式。【教学难点】【教学难点】通过转化推导三角形的面积计算公式。2 / 7【教学准备】【教学准备】带方格和不带方格的锐角、直角、
4、钝角三角形，探究题单，剪刀若干。【板书设计】【板书设计】【教学流程】【教学流程】一、情景引入，揭示课题一、情景引入，揭示课题1.情景激趣同学们，今天，罗老师要带领大家穿越时空，来一场说走就走的数学之旅。你准备好了吗？第一站：中国古代秦国。（PPT 出示秦国街道告示及录音）2.引入课题（PPT 出示老王、老李、老刘三人思考图）他们都特别着急想算自家土地面积。谁来帮他们算算？只列算式。你是怎么想的？到底谁才是对的呢？今天，我们就一起来研究三角形的面积（板书课题）。3.唤醒经验刚才这位同学提到了平行四边形，那三角形的面积与平行四边形的面积之间、与平行四边形面积公式的推导方法之间有没有什么联系呢？三角
5、形的面积图图图图底高2底（高2）倍拼法剪拼法122012202（底2）高3 / 7都说温故可知新。我们先来回顾一下平行四边形面积公式的推导过程。（PPT 出示平行四边形面积公式流程图）小结：沿平行四边形的一条高剪开，通过平移，将它转化为一个和它面积相等的长方形，长方形的长和宽分别相当于平行四边形的底和高。因为长方形的面积长宽，所以平行四边形的面积底高。二、合作探究，推二、合作探究，推导公式导公式学以致用是王道。 能不能借助平行四边形的面积公式及其推导方法来推导三角形的面积公式呢？请利用老师为大家准备的学习工具和材料展开研究。1.独立思考，寻找策略你准备选择什么？怎么研究？2.合作探究，验证猜想
6、接下来，请 4 人小组合作探究。首先，请了解合作要求。PPT 出示：探究目的：推导出三角形的面积公式。合作提示：第 1 步：小声交流，确定方案。第 2 步：选材探究，及时记录。探究题单：我们选择了三角形。我们的方法是我们发现三角形的面积公式是看明白了就开始行动吧！3.汇报交流，得到公式大家都研究得特别认真。我们选择几个小组作代表，来为大家展示。预设:（1）倍拼法（锐）4 / 7师：大家还有什么疑问吗？预设： 为什么要用两个完全一样的三角形拼？如果不用两个完全一样的三角形拼行吗？拼成的平行四边形的底、 高和面积与原来三角形的底、 高和面积分别有什么关系？哪些组也选了两个完全一样的锐角三角形？和他
7、们结论相同吗？有没有用两个完全一样的直角三角形来拼的？结论一样吗？请你们组派个代表把它贴到黑板上给大家看看。有没有用两个完全一样的钝角三角形来拼的？结论相同吗？请你们组也派个代表把它贴到到黑板上给大家看看。师小结：看来，不管我们用两个完全一样的锐角、直角还是钝角三角形来拼，最终都能转化为一个平行四边形。平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高底相当于三角形的高，平行四边形的面积相当于三角形的面积，因为平行四边形的面积等于底乘高，所以三角形的面积等于底乘高除以 2。（手指板书，梳理，板书大括号）质疑：奇怪了，分明是研究三角形的面积公式，为什么要用两个完全一样的三角形来拼成和它等底等高的平行
8、四边形呢？这不是舍近求远吗？数学就是这么有意思，当我们不能直接得到三角形的面积公式时，可以采用迂回术，借用平行四边形的面积公式来推导。实践证明三角形的面积真的和平行四边形的面积有关系。（2）剪拼法师：大家还有什么疑问吗？预设：为什么要从那里剪开？换个地方剪可以吗？拼成的平行四边形的底、高和面积与原三角形的底、高和面积分别有什么关系？小结： 你的意思也就是要先找到两条边的中点， 连起来， 再沿这条线剪开， 只有从这儿剪，才能保证得到的小三角形和梯形一样高， 当我们把小三角形绕这个点顺时针方向旋转 180 度之后，才能拼成一个平行四边形。平行四边形的底相当于原三角形的底，平行四边形的高相当于原三角
9、形高的一半，所以三角形的面积=平行四边形的面积=底（高2）。5 / 7这种方法真是与众不同，就像平行四边形面积公式的推导方法一样，从图形的内部入手，将其转化成与它面积相等的平行四边形，从而推导出三角形的面积公式。实践证明：真的可以利用平行四边形面积公式推导的方法来研究三角形的面积公式。像这样用两个完全一样的三角形来拼的方法称作倍拼法， 把一个三角形先剪后拼的方法称为剪拼法。（板书：倍拼法、剪拼法）4.古今对比，感悟思想（PPT 出示九章算术相关内容）我们现在所在的秦国，也有人会算三角形的面积。这一方法还被记入了中外闻名的数学专著九章算术。不过，他们可没你们聪明。他们只知其然不知其所以然。几百年
10、来，数学家们孜孜不倦地探索。直到魏晋时期，大数学家刘徽才作出了证明。一起来到第二站：中国古代魏晋时期（PPT 视频播放刘徽的出入相补原理）刘徽割补术也是剪拼法的一种，看完之后，有没有什么想说的？同样是剪拼法，他的推导过程和我们的推导过程有什么相同之处？是呀！思想是数学的灵魂，转化思想能帮助我们把新知识变成旧知识，复杂问题变成简单问题。有什么不同之处呢？刘徽可是大名鼎鼎的数学家呀！他那么聪明，为什么不像我们一样转化为平行四边形，反而要用如此复杂的方法，转化为长方形呢？5.多重对比，优化公式（1）深化理解有比较才有鉴别。这 3 个公式，都有除以 2，表示的意思一样吗？（2）归纳优化为了方便交流，我
11、们把三角形的面积公式统一为“底高2”。这也体现了数学的统一美。用字母可以表示为： s=ah2三、巩固练习，深化三、巩固练习，深化认知认知1.基础练习，呼应开课再来看看老刘家那块田，刚才谁算对啦？针对 12202：针对 1220 追问：没有除以 2，算的是什么？6 / 7针对 1221 追问：问题出在哪儿？2.强化练习，回归生活三角形的面积公式不仅在古代有用，在现代同样有用。试试吧！（1）三角形交通警示牌：底 8dm，高 7dm.（2）三角手摇旗：底 15cm，高 20cm，斜边 25cm。独立完成，汇报交流。追问：87 算的是什么？小结：你的意思也就是算的用两个和它完全一样的三角形拼成的平行四
12、边形的面积，对吧？）为什么要用 1520？而不用 2520？小结：由此可见，用面积公式计算三角形的面积时需要用一组对应的底和高。3.提升练习，深化理解有视野才有高度。了解完中国古今三角形面积计算的发展，那么，外国又如何呢？接下来，一起来到第三站：数学发源地之一的古埃及。PPT 配图简介：古埃及的尼罗河定期泛滥，淹没土地，洪水退后，土地界线不明，人们只好重新测量。正是这些经验的积累，才孕育了 “几何”的诞生。既然来到古埃及，有没有信心挑战一下历史名题？PPT 出示题目：三角形的底是 4 海特，“边”是 10 海特，求面积。（1）独立思考（2）交流思辨预设：4102=20你的做法和原书的记载一模一
13、样。有不同想法的吗？只有当它是一个什么三角形时才可以这样做呢？当它是直角三角形时，可以这样算，否则，错。（3）归纳小结看来，历史也不一定完全正确，需要我们去不断发现问题，并进行改进和创新。你们太了不起啦！居然敢于质疑历史、批判历史，我不得不佩服你们的勇气和智慧。此处必须有掌声。（4）深入思考7 / 7如果它不是直角三角形，要算面积，你还需要知道什么？（高）你认为高可能是多少？你是怎么想的？（5）补充再算到底是多少呢？我们一起来看看？给出高（9.7）独立计算，汇报交流。49.72追问先算 42 的同学：42 算的是什么？他用的是谁的办法？小结：你看，虽然公式是统一的，但意义却是丰富的，解决实际问题时，我们可以灵活运用。四、四、反思总结，课后延反思总结，课后延伸伸通过今天的学习，你有什么收获？还有什么疑问？今天， 我们知道了三角形的面积=底高2， 为什么要用底乘对应的高呢？除了这种方法，还有没有其它方法呢？希望你们走出课堂，还能带着研究热情，继续去研究更多的关于三角形，甚至梯形、任意多边形面积的知识！
