1、12 0 2 02 0 2 0 年年高校强基计划数学试题及其解析3目目录录1 . 2 0 2 0 年北京大学强基计划数学试题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 . 2 0 2 0 年清华大学强基计划数学试题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 . 2 0 2 0 年复旦大学强基计划数学试题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4 . 2 0 2 0 年上海交通大学强基计划数学试题. . . . . . . . . .
2、. . . . . . . . 2 6 5 . 2 0 2 0 年中国科学技术大学创新班初试数学试题. . . . . . . . . . . 3 1 6 . 2 0 2 0 年武汉大学强基计划数学试题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7 . 2 0 2 0 年北京大学强基计划数学试题解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 8 . 2 0 2 0 年清华大学强基计划数学试题解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 9 . 2 0 2 0 年复旦大学
3、强基计划数学试题解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 1 0 . 2 0 2 0 年上海交通大学强基计划数学试题解析. . . . . . . . . . . . . 7 6 1 1 . 2 0 2 0 年中国科学技术大学创新班初试数学试题解析. . . . . . 8 5 1 2 . 2 0 2 0 年武汉大学强基计划数学试题解析. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 04强强基基计计划划简简介介一一、强强基基计计划划2020 年 1 月，教育部（教学）1 号文件指出，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生
4、改革试点（也称强基计划），取代原有的高校自主招生，突出基础学科的引领作用，重点在数学、物理、化学、生物、历史及哲学等相关专业招生. 强基计划的主要目标是选拔并培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的人才.二二、3 36 6 所所强强基基计计划划试试点点高高校校名名单单北京大学、中国人民大学、清华大学、北京航空航天大学、北京理工大学、中国农业大学、北京师范大学、中央民族大学、南开大学、天津大学、大连理工大学、吉林大学、哈尔滨工业大学、复旦大学、同济大学、上海交通大学、华东师范大学、南京大学、东南大学、浙江大学、中国科学技术大学、厦门大学、山东大学、中国海洋大学、武汉大学、华中
5、科技大学、中南大学、中山大学、华南理工大学、四川大学、重庆大学、电子科技大学、西安交通大学、西北工业大学、兰州大学、国防科技大学.三三、强强基基计计划划重重点点专专业业强基计划重点在数学、物理、化学、生物及历史、哲学、古文字学等相关专业招生.5四四、录录取取方方式式高校强基计划以考生综合成绩择优录取，大部分高校校测成绩占综合成绩的15%，高考成绩占综合成绩的 85%.高校强基计划主要考笔试、面试，考试时间集中安排 1-2 天内进行，考生在高考后得知自己是否入围，并决定是否参加高校校测.另外，五大学科竞赛银牌及以上的考生可以通过强基计划破格入围生报考，部分高校会给予破格入围考生校测满分.五五、培
6、培养养模模式式强基计划不仅聚焦拔尖人才的选拔，更注重人才的培养.按照“一校一策”的原则，高校对通过强基计划录取的学生单独制定培养方案，单独编班，配备一流的师资和学习条件，实行导师制、小班化等培养模式，探索本-硕-博衔接培养模式.六六、时时间间安安排排3 月底前，高校公布招生简章；4 月，考生网上报名；6 月，考生参加统一高考；6 月 25 日前，各省（区、市）提供高考成绩；6 月 26 日前，高校确定参加考核的考生名单；7 月 4 日前，高校组织考核；7 月 5 日前，高校根据考生的高考成绩、高校综合考核结果及综合素质评价等折合成综合成绩，择优录取.62 20 02 20 0 年年北北京京大大
7、学学强强基基计计划划数数学学试试题题共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5分，选错或不选得 0 分1.已知wzyx,均为正实数，且满足wyx和wzyx2，则yzxw的最小值等于（）A.43B.87C.1D.前三个答案都不对2在20212019 2020的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）A16B31C32D前三个答案都不对3已知整数列 na（1n）满足11a ，24a ，且对任意2n有21112nnnnaaa，则2020a的个位数字是（）A8B4C2D前三个答案都不对4.设a，b，c，d是方程432234
8、50 xxxx的4个复根，则11112222abcdabcd的值为（）A43B23C23D前三个答案都不对75设等边ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线，交AB的延长线于点D，ADBD，则BCD的面积为（）A6 23 316B4 23 316C3 22 316D前三个答案都不对6设x，y，z均不为12k，其中k为整数，已知sin yzx，sin xzy，sin xyz成等差数列，则依然成等差数列的是（）Asin x，sin y，sinzBcosx，cos y，coszCtan x，tan y，tan zD前三个答案都不对7方程19934xyxy的整数解个数为（）A4B8C16D前三
9、个答案都不对8从圆224xy上的点向椭圆C：2212xy引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A2B3C4D前三个答案都不对9使得512xxy a xy对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（） A8B9C10D前三个答案都不对810设P为单位立方体1111ABCDABC D的面对角线1AB上的一点，则11PAPC的最小值为（）A22B22 2C222D前三个答案都不对11设数列1nna满足11a ，29a ，且对任意1n有214320nnnaaa，其前n项和为nS，则nS的最大值等于（）A28B35C47D前三个答案都不对12设直线3yxm与椭圆
10、2212516xy交于A，B两点，O坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A8B10C12D前三个答案都不对13正整数3n称为理想的，若存在正整数11k n 使得1Ckn，Ckn，1Ckn构成等差数列，其中!C!knnknk为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）A40B41C42D前三个答案都不对914在ABC中，150A，1D，2D，2020D依次为边BC上的点，且11223BDD DD D201920202020DDDC 设11BAD，122D AD， ，201920202020DAD，20202021DAC，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为（）A1
11、1010B12020C12021D前三个答案都不对15 函数 2232 3coscos52 3coscos4sinf的最大值为 （） A23B2 23C22 3D前三个答案都不对16方程5412211xxxx的实根个数为（）A1B2C3D前三个答案都不对17凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知:5:4BF FD ，:1:1AG GD ，:2:2:3CF FG GE ，CFDS和ABES分别为CFD和ABE的面积，则:CFDABESS等于（）A8：15B2：3C11：23D前三个答案都不对1018设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式 5f xxp
12、xq的个数为（）A99B133C150D前三个答案都不对19满足对任意1n有123nnnaa且严格递增的数列1nna的个数为（）A0B1C无穷个D前三个答案都不对20设函数, ,xyzf x y zxyyzzx，其中x，y，z均为正实数，则有（） Af既有最大值也有最小值Bf有最大值但无最小值Cf有最小值但无最大值D前三个答案都不对112 20 02 20 0 年年清清华华大大学学强强基基计计划划数数学学试试题题共 35 道选择题，为不定项选择题1若221xy，则22xxyy的取值范围是（）A33,22B1,1C55,22D2,22设a，b，c为正实数，若一元二次方程20axbxc有实根，则（
13、）A1max, ,2a b cabcB4max, ,9a b cabcC1min, ,4a b cabcD,m n1,3ia b cabc3. 在非等边ABC中，BCAC，若O和P分别为ABC的外心和内心，D在线段BC上，且满足ODBP，则下列选项正确的是（）AB，D，O，P四点共圆BODACCODABDPDAC4已知集合, ,1,2,3,2020A B C ，且ABC，则有序集合组, ,A B C的个数是（）A20202B20203C20204D20205125已知数列 na满足00a ，11iiaaiN，则201kkAa的值可能是（）A0B2C10D126已知点P在椭圆22143xy上，1
14、,0A，1,1B，则PAPB的最大值是（） A4B43C45D67已知P为双曲线2214xy上一点（非顶点），2,0A ，2,0B，令PAB，PBA，下列表达式为定值的是（）AtantanBtantan22CtanPABSDcotPABS8甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了”乙说：“甲做对了”丙说：“我做错了”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）A甲做对了B乙做对了C丙做对了D无法确定谁做对了139在RtABC中，2ABC，3AB ，1BC ，PAPBPCPAPBPC 0 ，则下列说法正确的是（）A2
15、3APBB23BPCC2PCPBD2PAPC10求值：212limarctannnkk（）A2B34C54D3211从 0 到 9 这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde（a可以等于 0），则396 abcde的概率为（）A1396B1324C1315D121012随机变量1,2,3,X ，0,1,2Y ，满足12kP Xk，且mod3Yx，则 E Y （）A47B87C127D1671413已知向量a，b，c满足1a，1b，22abcab，则下列说法正确的是（）Ac的最大值为4 2Bc最大值为2 5Cc的最小值为 0Dc的最小值为 214若存在x，*yN，使得2xky与2ykx均为完全
16、平方数，则正整数k可能取值为（）A2B4C5D61531sin arctan1 arccosarcsin105（）A0B12C22D116已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为，侧棱与底面夹角为，则（）A2costan1B2sectan1 C2cos2tan1D2sec2tan1 17已知函数 e2esin2,2exxxf xx x ，则 f x的最大值与最小值的和是（）A2BeC3D41518已知函数 f x的图像如图所示， f x的图像与直线xa，xt atc ，x轴围成图形的面积为 S t，则下列说法正确的是（）A S tcf bB fS taC fS tbD fS tc19我们称数列
17、 na为“好数列”，若对任意*nN存在*mN，使得nmaS，其中1nniiSa，则下列说法正确的是（）A若21,1,2,2,nnnan，则数列 na为“好数列”B若nna k（k为常数），则数列 na为“好数列”C若 nb， nc均为“好数列”，则nnnabc为等差数列D对任意等差数列 na，存在“好数列” nb， nc，使*nnnabcnN2022440sindsincosxxxx（）AB2C2D51621.在ABC中，1AC ，3BC ，2AB ，设M为AB中点，现将ABC沿CM折起，使得四面体BACM的体积为212，则折起后AB的长度可能为（）A1B2C3D222设复数1z，2z在复平面
18、内对应的点分别为1Z，2Z，O为坐标原点，若11z ，221212520zzz z，则12OZ Z的面积为（）A1B3C2D2 323使得sin115cos1n 成立的最小正整数n等于（）A3B4C5D624已知实数x，y，z满足323232111931119311193xyyyzzzxx，则（）A, ,x y z有 1 组B, ,x y z有 4 组Cx，y，z均为有理数Dx，y，z均为无理数1725设实数1221,x xx满足01 1,2,21ix ，则212111ikikxx 的最大值为（）A110B120C220D24026在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有
19、顶点都是格点的多边形称为格点多边形若一个格点多边形的内部有 8 个格点，边界上有 10 个格点，则这个格点多边形的面积为（）A10B11C12D1327设复数z满足37i3z ，则2221izzz 的（）A最大值为83B最大值为73C最小值为43D最小值为2328设，为锐角，且sincossin，则tan的最大值为（）A24B33C1D21829 已知函数 e1xf xa xb在区间1,3上存在零点， 则22ab的最小值为 （）Ae2BeC2e2D2e30设A，B分别是x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线240 xy相切，则圆C面积的最小值为（）A5B25C45D31已知实数a，b满
20、足3331abab，设ab的所有可能值构成的集合为M，则（）AM为单元素集BM为有限集，但不是单元素集CM为无限集，且有下界DM为无限集，且无下界32已知数列 na的前n项和1132nnnnSan ，且实数t满足10nntata，则t的取值范围是（）A3 11,4 4B3 11,4 5C3 11,5 4D3 11,5 51933红楼梦，三国演义，水浒传和西游记四部书分列在四层架子的书柜的不同层上小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是红楼梦，三国演义在第四层则（）A水浒传一定陈列在第二层 B西游记一定陈列在第一层C小孙借
21、阅的一定是第三层的书籍 D小李借阅的一定是第四层的书籍34设多项式 f x的各项系数都是非负实数，且 11111ffff，则 f x的常数项的最小值为（）A12B13C14D1535已知 1051051112f zzzzz，则（）A 0f z 存在实数解B 0f z 共有 20 个不同的复数解C 0f z 复数解的模长均为 1D 0f z 存在模长大于 1 的复数解202 20 02 20 0 年年复复旦旦大大学学强强基基计计划划数数学学试试题题1 设抛物线22ypx， 过焦点F作直线， 交抛物线于A，B两点， 满足3AFFB 过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点1A，准线交x轴于点C，若11
22、2 3CFAS，则p _2已知实数x，y，满足221xxy，求22xy的最小值3已知 sin 2cos 2sin 4cos 4f xaxbxcxdx，若 122fxf xfx，则在a，b，c，d中能确定的参数是_4若三次方程32450 xaxx有一个根是纯虚数，则a _5在102311xyxy的展开式中，常数项为_6111lim1 42 53nn n_217点4,5绕点1,1按顺时针方向旋转 60 度，所得的点的坐标为_8方程5 cos43 cos20 所表示的曲线形状是_9设x， ,4 4y ，若333cos20,24sincos0,xxayyya则cos2xy_10实数x，y满足221xy
23、，若262xyaaxy 的值与x，y无关，则a的取值范围是_11在ABC中，1cos3BAC，若O为ABC的内心，且满足AOxAByAC ，则xy的最大值为_12已知直线m：cosyxa和n：3xyc，则有（）Am与n可能重合Bm与n不可能垂直C直线m上存在一点P，使得直线n以P为中心旋转后与m重合D以上都不对 cta322213. 如图 15-2 所示，抛物线23yx的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为 30 度，则A点横坐标为_14已知P为直线6014xy 上一点，且P到2,5A和4,3B的距离相同，则P点坐标为_15已知x，1,2,3,4,5,6,7,8,9y且yx，连接原
24、点O和,A x y，,B y x两点，则12arctan3AOB的概率为_16143 23arcsinarcsin84_17已知三棱锥PABC的体积为 10.5，且6AB ，4ACBC，10APBP，则CP的长度为_2318在ABC中，9AB ，6BC ，7CA，则BC边上中线的长_19若 21f xx，则 ff x的图象大致为_20定义 1,1,MxMfxxM令 1MNMNx fx fx ，已知2Ax xx，330Bx x xx，则AB_21方程34122020 xyz的非负整数解的组数为_22已知m，nZ，且011n ，若满足202020212312mn，则n_23若四边形ABCD是凸四边
25、形，则BACBDC是DACDBC 的_条件24设函数 33xxf x的反函数为 1yxf，则 111g xfx在3,5上的最大值和最小值的和为_2425若4k ，直线2280kxyk与222440 xk yk和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是_26已知A，B，C，D四点共圆，且1AB ，2CD ，4AD ，5BC ，P为AD，BC的交点，则PA的长度为_27给定 5 个函数，其中 3 个奇函数，2 个偶函数，在这 5 个函数中任意取 3 个，其中既有奇函数，又有偶函数的概率为_28下列不等式恒成立的是（）A2211xxxxB12xyxyC12xyxyD.xyxzyz29向量数列 na满足1n
26、naad，且满足13a，132 a d，令11nniiSaa，则当nS取最大值时，n的值为_2530某公司安排甲、乙、丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有_种31直线1l，2l交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线1l，2l的距离，则称, p q为点M的距离坐标已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是_（1）若0pq，则距离坐标为0,0的点有且仅有 1 个（2）若0pq ，且0pq，则距离坐标为0,0的点有且仅有 1 个（3）若0q ，则距离坐标为, p q的点有且仅有 4 个32Give
27、n two sets1,2,3,4,5Aand3,4,5,6,7B , then the intersectionset of A and B is （）A1,2B3,4,5C1,2,3,4,5,6,7D.6,733Which number of that number 5 is the cubic root of?（）A3B 5C25D.125262 20 02 20 0 年年上上海海交交通通大大学学强强基基计计划划数数学学试试题题1已知函数 f x的定义域为0,1，若10,2c，则函数 gf xcf xxc的定义域为_2已知方程2sin1xx，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有
28、数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于 1其中错误的判断有_3在小于 1000 的正整数中，既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有_个4 已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上， 满足13ADBEa，连接AE，CD，则AE与CD的夹角为_5已知ABC的顶点坐标分别为3,4A，6,0B，5, 2C ，则角A的平分线所在的直线方程为_276从 2 个红球，3 个黑球，5 个白球（同色球完全相同）中任意取 6 个，有_种不同的取法7已知曲线2yaxbxc过点3,4A ，5,4B，则2ab_8过抛物线220ypx p的焦点F作直线m，交抛物线于A，B两点，若A，
29、B横坐标之和为 5，则直线m的条数为_9用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为_10若三条直线1l：220 xy，2l：2x ，3l：0 xky将平面划分成 6 个部分，则k可能的取值情况是（）A只有唯一值 B有两个不同的值 C 有三个不同的值 D无数个值11已知非零实数a，b，c，若bca，acb，abc成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）AbacB2bacC2bacD222abc2812函数 f x的定义域为D，若对于任意的xD，都存在唯的yD，使得 4f xfy，则称 f x在D上的和为 4，给出下列函数：（1） lnf xx，51,eex；（2）
30、21f xx，1,6x ；（3） 1xfxx，1x ；（4） exf xx其中和为 4 的有_个13若集合M中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为 0）的运算结果都在M中，则称M是封闭集合，下列集合：（1）R；（2）Q；（3）RQ；（4）2,x xmnm nZ其中封闭集合的序号为_14方程211x xy 的正整数解有_15若a，0b ，且满足111abab，则ab_16若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为_2917 设 m a是函数 2f xxa在区间1,1上的最大值， 则 m a的最小值为_18 在正 方 体 8 个 顶 点 任意
31、2 个 顶 点 所在 的 直 线 中 ， 异面 直 线 共 有_对19若空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有_条20用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为_21已知矩形ABCD的边2AB ，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点，沿着AC将矩形翻折，使得二面角BACD成直角，则BD的长度为_22平面上给定五个点，任意三个点不共线，过任意两个点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过五个点中任意一个点向另外四个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的五点）个数至多有_个3023若实数a，b满足591ab
32、 ，601ab，则601nnnab_24甲、乙、丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）25函数4sincos3sincosxxyxx， 3,44x 的最小值是_312 20 02 20 0 年年中中国国科科学学技技术术大大学学创创新新班班初初试试数数学学试试题题1若1zz，则1i1zz 的取值范围是_2若569111xyxy，则其围成图形的面积S _3 13xf xx的离心率是_4若11a ，23a ，21122nnnnaaaa，则na _5若2224xyp，x，y为正整数，p为素数，则33xy_6若20202020a ，2
33、021201920192021b ，202120191201920212c ，则a，b，c的大小顺序是_7若 221f xxk，且a，b，0,1c， f a， f b， f c为三角形的三边，则k的取值范围是_328已知12,na aa为1,2,n的排列，若ij且ijaa，则,ija a为顺序对，设X为12,na aa的顺序对的个数，则 E x _9已知0,2x，求23sin2sin22sincosyxxxx的取值范围10 已知 321f xxaxxa ， 求所有aR， 使得对1,1x ， fxx恒成立11已知32121nC n，证明：当23C 时，不等式成立，且当23C 时，该不等式不成立3
34、32 20 02 20 0 年年武武汉汉大大学学强强基基计计划划数数学学试试题题不定项选择题：共 15 小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得 0 分.1. 设圆O的半径为 3，其一条弦4AB ，P为圆O上任意一点，则AB BP 的最大值为（）A. 0B. 1C. 3D. 42. 设实数xy、满足22545xxyy，则222xy的最小值为（）A. 0B. 2C.53D.563. 过椭圆22149xy的中心作两条互相垂直的弦AC和BD， 顺次连接, ,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A. 10B. 12C. 14D. 164. 设ABC的内角, ,A B C
35、的对边分别为, ,a b c.若3cos( sin1) 0a cbCa c bC （），则（）A.3BB.4BC.ABC的面积最大值为3 316D.ABC的周长最大值为3 32345. 设正整数k使得关于x的方程sinkxx在区间33 ，内恰有5个实根12345xxxxx，则（）A.123450 xxxxxB.5295122xC.55tanxxD.2x，4x，5x成等差数列6. 两个半径为r实心球体，它们的球心相距d.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为( )V d，则3( )limdV dd（）A.8B.6C.D.437. 空间图形, ,01x y zxyz的体积为（）A.112B.16
36、C.14D.138. 如图，延长圆O的一条弦AB至C，过点C作圆O的切线CM，CN，切点分别为M，N，Q为AB上一点，满足AMQCNB ，则下列结论正确的是（）A.CBMCMAB.AQMNBMC.MANMQBD.MANBQN359. 设A是集合12 3 4 5 6 7 8910， ， ， ， ， ， ， ， ，的子集，只含有 3 个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）A. 32B. 56C. 72D. 8410. 已知直线1211:22lyxlyx ，动点P在椭圆22221(0)xyabab上，作1/ /PMl交2l于点M，作2/ /PNl交1l于点N.若22PMPN为定值，则（）
37、A.2ab B.3ab C.2abD.3ab11. 设函数( )f x 3,43 ,xxx,xaxa则（）A. 当( )f x有极小值时，12a B. 当( )f x有极大值时，12a C. 当( )f x连续时，a的可能值有 3 个D. 当( )f x有 2 极值点时，0a 或112a12. 圆周上有 10 个等分点，以这 10 个等分点的 4 个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）A. 10B. 20C. 40D. 603613. 设复数z的实部和虚部都是整数，则（）A.2zz的实部都能被 2 整除B.3zz的实部都能被 3 整除C.4zz的实部都能被 4 整除D.5zz的实部都能被
38、5 整除14. 设12zz，是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则121 2zzz z（）A. 最小值为2B. 没有最小值C. 最大值为 2D. 没有最大值15. 设函数( )sin sin2f xxx，则下列错误的是（）A. 方程7( )9f x 有解B. 方程( )f xa在0 2，内解的个数为偶数C.( )f x的图像有对称轴D.( )f x的图像有对称中心372 20 02 20 0 年年高高校校强强基基计计划划数数学学试试题题及及其其解解析析382 20 02 20 0 年年北北京京大大学学强强基基计计划划数数学学试试题题解解析析共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个
39、选项符合题目要求，选对得 5分，选错或不选得 0 分1.已知wzyx,均为正实数，且满足wyx和wzyx2，则yzxw的最小值等于（）A.43B.87C.1D.前三个答案都不对参参考考答答案案：D解解析析：由题知，22wyxz，因而，21222ywyxxwywyxxwyzxwxxyyxxyxywyx212212212212xyyx，等号成立当且仅当zwyxwyyx2,2.2在20212019 2020的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）A16B31C32D前三个答案都不对参参考考答答案案：C解解析析：由于任意两个因数的乘积都不是平方数，可得任
40、意两个因数的素因数分解式中至少有一个素因数的指数的奇偶性是不同的因为2021202122019 202023 5 101 673 ，所以可以选取的素因数为231016735， ，共计 5 个.5 个素因数的不同的奇偶组合共有52种393已知整数列 na（1n）满足11a ，24a ，且对任意2n有21112nnnnaaa，则2020a的个位数字是（）A8B4C2D前三个答案都不对参参考考答答案案：A解解 析析 ： 由 于21112nnnnaaa， 因 而 对 任 意3n有22122nnnnaa a. 则2211122nnnnnnaaaaa a，整理得212nnnnaaaa11+2nnaa.反证
41、法证明每一个0na .设s为最小的正整数使得=0sa.根据上述递推关系可得3102=aa，但由于31=14a，因而矛盾.则112311222214244nnnnnnaaaaaaaaa， 因此有1142nnnaaa 由1a，2a Z，可得na Z列举 na前27项的个位数为：1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4发现其个位数字具有周期性，周期为24.由于1na的个位数由na，1na所确定，因而202048 mod10aa4.设a，b，c，d是方程43223450 xxxx的4个复根，则11112222abcdabcd的值为（）B
42、43B23C23D前三个答案都不对参参考考答答案案：A解解析析：111111114322222222abcdabcdabcd，接下来构造以12a，12b，12c ，12d 为4个复根的方程， 再利用韦达定理求解 因为2不是原方程的根，令12yx，则12xy，代入43223450 xxxx，得4321111222324250yyyy整理得4329160yymynyl （其中常数m，n，l与本题的计算无关）40由韦达定理，可得11111622229abcd因而1111422223abcdabcd 本题也可先使用韦达定理，再把所求表达式进行通分计算转化，但计算量较大.5设等边ABC的边长为1，过点C
43、作以AB为直径的圆的切线，交AB的延长线于点D，ADBD，则BCD的面积为（）A6 23 316B4 23 316C3 22 316D前三个答案都不对参参考考答答案案：C解解析析：如图所示，设AB中点为O，CD切圆O于E，则CEOCOD可得CECOOEOD，得64OD 可知624BD，因而13 22 3=216BCDSBD BO6设x，y，z均不为12k，其中k为整数，已知sin yzx，sin xzy，sin xyz成等差数列，则依然成等差数列的是（）Asin x，sin y，sinzBcosx，cos y，coszCtan x，tan y，tan zD前三个答案都不对参参考考答答案案：C解
44、解析析：由题可知，2sinsinxzyyzxsin xyz整理得sincoscossinsincosxzyxzyyxz因而sincoscoscossin2sincos cosxzyxzxzyyxz整理得sin coscoscos cos sin2sincos cosxyzxyzyxz因而tantan2tanxzy417方程19934xyxy的整数解个数为（）A4B8C16D前三个答案都不对参参考考答答案案：B解解析析：由19934xyxy，因式分解可得4934193 1931xy观察到4933 mod4x ，4191 mod4x ，因而4933x ，19，31，3 1931，1，3 19 ，3
45、31 ，3 1931 ，经验证都符合题意，共8组8从圆224xy上的点向椭圆C：2212xy引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A2B3C4D前三个答案都不对参参考考答答案案：A解解析析：如图，设2cos ,2sinP为圆上任意一点，切点弦的直线方程是cos2sin1xy该直线为椭圆2241xy的切线系方程，因而其面积为2ab9使得512xxy a xy对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（） A8B9C10D前三个答案都不对参参考考答答案案：B42解解析析：方方法法一一：参参变变量量分分离离法法由于0, 0yx，因而512xxyaxy.进一步
46、得，5121xyxya.换元，令512xty， 显然，5t因而，225121441441449169101692 169105110112ttxttttyxty，等号成立当且仅当13t，即94yx.因而9a .方方法法二二：待待定定系系数数法法引入参数0A，651251256yyxxyxAxA xAA，令656AA，可得32A.因而5129xxyxy，得9a .10设P为单位立方体1111ABCDABC D的面对角线1AB上的一点，则11PAPC的最小值为（）A22B22 2C222D前三个答案都不对参参考考答答案案：A解解析析：图1图2将图1中的11AA B和矩形11BC DA放置于同一个平
47、面内，如图2所示，则11111 12cos13522PAPCAC ，当且仅当P在线段线段11AC上时等号成立.4311设数列1nna满足11a ，29a ，且对任意1n有214320nnnaaa，其前n项和为nS，则nS的最大值等于（）A28B35C47D前三个答案都不对参参考考答答案案：A解解析析：由题可得21103101nnnnaaaa，可得1+1102 3nnnaa因而当3n时，10nnaa因为11a ，29a ，313a ，45a ，当5n时，0na ，故428S 最大12设直线3yxm与椭圆2212516xy交于A，B两点，O坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A8B10C12D前三
48、个答案都不对参参考考答答案案：B解解析析：方方法法一一、设5cos ,4sinA，5cos,4sinB，可得001cossin15cos4sin11010 sin()10cossin25cos4sin1OABS当2 ，及4 sinsin35 coscosk时，可取到等号方方法法二二、联立方程可得22241150254000 xmxm.可得42121202411010224110mmmSAB dxx，等号成立时当且仅当2241=2m.13正整数3n称为理想的，若存在正整数11k n 使得1Ckn，Ckn，1Ckn构成等差数列，其中!C!knnknk为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）A4
49、0B41C42D前三个答案都不对参参考考答答案案：C44解解析析：根据112CCCkkknnn，可得224420knknn，解得22nnk因而2n 是完全平方数计算得52022的完全平方数共42个14在ABC中，150A，1D，2D，2020D依次为边BC上的点，且11223BDD DD D201920202020DDDC 设11BAD，122D AD， ，201920202020DAD，20202021DAC，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为（）A11010B12020C12021D前三个答案都不对参参考考答答案案：D解解析析：如图，可知112232020
50、2021BACBADD ADD ADDACSSSSSVL则1232020123420192020132021242020sinsinsin2sinsinsin2021BADD ADDACBACD ADD ADDADSSSABACSSSSLLLL因而132021242020sinsinsin1sinsinsin4042LL15 函数 2232 3coscos52 3coscos4sinf的最大值为 （） A23B2 23C22 3D前三个答案都不对参参考考答答案案：C解解析析： 23cos23cos2 62 2cos4sinf263cos23cos2 62 6cosarcsin33cos23co
