1、第二章 一元二次方程配方法（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在初二上学期已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经
2、历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上， 提出了本课的具体学习任务：用配方法解二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课配方法内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标： “让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学
3、习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：、会用开方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的一元二次方程；、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；、体会转化的数学思想方法；、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节：复习回顾活动内容：1、如果一个数的平方等于 4，则这
4、个数是 ，若一个数的平方等于 7，则这个数是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。3、用估算法求方程 x2-4x+2=0 的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入地思考，通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式， 通过后一个问题的回答让学生进一步体会用估计法解一元二次方程较麻烦，激发学生的求知欲，为学生后面配方法的学习作好铺垫。实际效果：第 1 和第 2 问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。第 3 问由学生独立练习，通过练习，学生既复习了估算法，同时又进一步体会到了估算法较麻烦
5、，达到了激发学生探索新解法的目的。第二环节：情境引入活动内容：（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2 正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为 ；若它的面积为 75CM2，则其边长应为 。（选 1 个同学口答）（2）如果一个正方形的边长增加 3cm 后，它的面积变为 64cm2，则原来的正方形的边长为 。若变化后的面积为 48cm2 呢？（小组合作交流）（3）你会解下列一元二次方程吗？（独立练习）x2=5； (x+2)2=5； x2+12x+36=0。（4）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离 x(m)满足方程 x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的解题
6、过程,求出 x 的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?（合作交流）活动目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。实际效果：在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第 1 问，为解决第二问做好了准备。 第 2 问让学生合作解决， 学生在交流如何求原来正方形的边长时，产生了不同的方法， 有的学生直接开方先求出了新正方形的边， 再减增加的边长，求出原来的正方形的边长；有的同学用了方程，设原正方形的边长为 xcm，根据题意列出了一元二次方程(x+3)2=64;(x+3)2=
7、48 然后两边开方，根据实际情况求出了原来正方形的边长，这样，再一次经历了用一元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的简单应用。在第 2 问的基础上，学生很快解决了第 3 问。但学生在解决第 4 问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x+m)2=n (n0)的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解， 那么如何解决这样的方程问题呢？这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔。第三环节：讲授新课活动内容 1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）填上适当的数，使下列等式成立。（选 4 个学生口答）x2
8、+12x+_=(x+6)2 x2-6x+_=(x-3)2x2+8x+_=(x+_)2 x2-4x+_=(x-_)2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2+ax的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系， 为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。实际效果：由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填
9、空题。通过小组的合作交流，学生发现要把形如 x2+ax 的式子 a如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上()2 即可。而 2且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使如何配成完全平方式的方法更加透彻。事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法， 这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。 活动内容 2：解决例题（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）解:可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x9两边都
10、加上（一次项系数 8 的一半的平方），得x2+8x42=942.（x+4）2=25开平方，得 x+4=5,即 x+4=5,或 x+4=-5.所以 x1=1, x2=-9.（2）解决梯子底部滑动问题：x2+12x-15=0（仿照例 1，学生独立解决）解：移项得 x2+12x=15，两边同时加上 62 得，x2+12x+62=15+36，即(x+6)2=51两边开平方，得 x+6=51 所以：x1=-6,x2=-51-6，但因为 x 表示梯子底部滑动的距离所以 x2=-51-6 不合题意舍去。 答：梯子底部滑动了(51-6)米。活动内容 3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？
11、其关键又是什么？ （小组合作交流）活动目的：通过对例 1 和例 2 的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成(x+m)2=n(n0)形式，同时通过例 2 提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解， 但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性， 对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。实际效果：学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，体现学生学习的主动性。活动内容 4、应用提高例 3：如图，在一块长和宽分别是 16 米和 12 米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度。（先独立思考，再小组合作交流）活动目的：在前两个例题的基础上，通过例 3 进一步提高学生分析问题解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
